Введение

Подмножество группы, которое само является группой.

В теории групп, разделе математики, для группы G с бинарной операцией ∗, подмножество H группы G называется подгруппой G, если H также образует группу относительно операции ∗. Более точно, H является подгруппой G, если ограничение операции ∗ на H × H является групповой операцией на H. Это часто обозначается как H ≤ G, что читается как "H является подгруппой G". Тривиальной подгруппой любой группы является подгруппа {e}, состоящая только из нейтрального элемента. Собственной подгруппой группы G называется подгруппа H, которая является собственным подмножеством G (то есть H ≠ G). Это часто обозначается как H < G, что читается как "H является собственной подгруппой G". Некоторые авторы также исключают тривиальную группу из собственных (то есть H ≠ {e}). Если H является подгруппой G, то G иногда называют надгруппой для H.

Те же определения применимы в более общем случае, когда G является произвольной полугруппой, но в данной статье рассматриваются только подгруппы групп.

Испытания подгрупп

Предположим, что G — группа, а H — подмножество G. Пока будем считать, что групповая операция в G записывается умножением, обозначаемым приписыванием. Тогда H является подгруппой G тогда и только тогда, когда H непуста и замкнута относительно умножения и взятия обратных элементов. Замкнутость относительно умножения означает, что для любых a и b из H произведение ab принадлежит H. Замкнутость относительно взятия обратных элементов означает, что для любого a из H обратный элемент a⁻¹ принадлежит H. Эти два условия можно объединить в одно: для любых a и b из H элемент ab⁻¹ принадлежит H, но обычно более естественно и не сложнее проверять условия замкнутости по отдельности. Если H конечно, то проверка может быть упрощена: H является подгруппой тогда и только тогда, когда она непуста и замкнута относительно умножения. Эти условия сами по себе подразумевают, что каждый элемент a из H порождает конечную циклическую подгруппу в H, скажем, порядка n, и тогда обратный к a равен aⁿ⁻¹. Если групповая операция вместо этого обозначается сложением, то замкнутость относительно умножения следует заменить на замкнутость относительно сложения, то есть условие, что для любых a и b из H сумма a + b принадлежит H, а замкнутость относительно взятия обратных элементов следует изменить так, чтобы для любого a из H обратный элемент −a принадлежал H.

Основные свойства подгрупп

Идентичность подгруппы — это идентичность группы: если G — группа с единичным элементом eG, а H — подгруппа G с единичным элементом eH, то 1 = eH = eG. Обратный элемент в подгруппе — это обратный элемент в группе: если H является подгруппой группы G, а a и b — элементы H, такие, что 1 = ab = ba = eH, то 1 = ab = ba = eG. Если H является подгруппой G, то отображение включения H → G, сопоставляющее каждый элемент a из H самому себе, является гомоморфизмом. Пересечение подгрупп A и B группы G снова является подгруппой G. Например, пересечение оси x и оси y в R^2 относительно сложения является тривиальной подгруппой. В более общем случае, пересечение произвольного семейства подгрупп G является подгруппой G. Объединение подгрупп A и B является подгруппой тогда и только тогда, когда A ⊆ B или B ⊆ A. Пример, показывающий это неверно: 2ℤ ∪ 3ℤ не является подгруппой ℤ, поскольку 2 и 3 являются элементами этого подмножества, а их сумма, 5, не принадлежит этому подмножеству. Аналогично, объединение оси x и оси y в R^2 не является подгруппой R^2. Если S — подмножество G, то существует наименьшая подгруппа, содержащая S, а именно пересечение всех подгрупп, содержащих S; она обозначается и называется подгруппой, порожденной S. Элемент G принадлежит тогда и только тогда, когда он является конечным произведением элементов S и их обратных, возможно, повторяющихся. Каждый элемент a группы G порождает циклическую подгруппу. Если изоморфна ℤ/nℤ (целым числам по модулю n) для некоторого положительного целого числа n, то n — наименьшее положительное целое число, для которого 1 = aⁿ = e, и n называется порядком a. Если изоморфна ℤ, то говорят, что a имеет бесконечный порядок. Подгруппы любой заданной группы образуют полную решетку относительно включения, называемую решеткой подгрупп. (В то время как инфимум здесь является обычным пересечением множеств, супремум множества подгрупп — это подгруппа, порожденная объединением множеств подгрупп, а не само объединение множеств.) Если e — единичный элемент G, то тривиальная группа {e} — минимальная подгруппа G, а максимальная подгруппа — сама группа G.

Пример: подгруппы S4

S4 — симметричная группа, элементы которой соответствуют перестановкам из 4 элементов. Ниже перечислены все её подгруппы, упорядоченные по порядку (числу элементов). Каждая группа (за исключением групп порядка 1 и 2) представлена своей таблицей Кейли.

24 элемента

Как и любая группа, S4 является подгруппой самой себя.

12 элементов

В чередующейся группе содержатся только чётные перестановки. Она является одной из двух нетривиальных собственных нормальных подгрупп группы S4. (Другая — её подгруппа Клейна.)

1 элемент

Тривиальная подгруппа — это единственная подгруппа порядка 1.

Другие примеры

Четные целые числа образуют подгруппу 2ℤ кольца целых чисел ℤ: сумма двух четных целых чисел четна, а противоположное число четного целого числа четно. Идеал в кольце R является подгруппой аддитивной группы R. Линейное подпространство векторного пространства является подгруппой аддитивной группы векторов. В абелевой группе элементы конечного порядка образуют подгруппу, называемую торсионной подгруппой.