Группы симметрии геометрических объектов

Введение

Группы симметрии геометрических объектов
Группа преобразований, при которых объект остается неизменным

В теории групп группа симметрии геометрического объекта — это группа всех преобразований, при которых объект остается неизменным, снабженная групповой операцией композиции. Такое преобразование представляет собой обратимое отображение окружающего пространства, которое переводит объект в себя и сохраняет всю существенную структуру объекта. Распространенное обозначение группы симметрии объекта X — G = Sym(X). Для объекта в метрическом пространстве его симметрии образуют подгруппу группы изометрий окружающего пространства. В данной статье в основном рассматриваются группы симметрии в евклидовой геометрии, но понятие может изучаться и для более общих типов геометрических структур.

Введение

Мы считаем, что "объекты", обладающие симметрией, являются геометрическими фигурами, изображениями и узорами, такими как рисунок обоев. Для симметрии физических объектов можно также учитывать их физический состав как часть узора. (Узор может быть формально задан как скалярное поле, функция положения со значениями в наборе цветов или веществ; как векторное поле; или как более общая функция на объекте.) Группа изометрий пространства индуцирует групповое действие на объекты в нем, а группа симметрии Sym(X) состоит из тех изометрий, которые отображают X на себя (а также отображают любой другой узор на себя). Мы говорим, что X инвариантен относительно такого отображения, и это отображение является симметрией X. Вышеописанное иногда называют полной группой симметрии X, чтобы подчеркнуть, что она включает в себя изометрии, меняющие ориентацию (отражения, скользящие отражения и несобственные вращения), если эти изометрии отображают данный X на себя. Подгруппа, сохраняющая ориентацию (переносы, вращения и их композиции), называется его собственной группой симметрии. Объект является хиральным, если у него нет симметрий, меняющих ориентацию, так что его собственная группа симметрии равна его полной группе симметрии. Любую группу симметрии, элементы которой имеют общую неподвижную точку (что верно, если группа конечна или фигура ограничена), можно представить как подгруппу ортогональной группы O(n), выбрав начало координат в качестве неподвижной точки. Собственная группа симметрии тогда является подгруппой специальной ортогональной группы SO(n) и называется группой вращений фигуры. В дискретной группе симметрии точки, симметричные данной точке, не стремятся к предельной точке. То есть каждая орбита группы (образы данной точки при всех элементах группы) образует дискретное множество. Все конечные группы симметрии дискретны. Дискретные группы симметрии бывают трех типов: (1) конечные точечные группы, включающие только вращения, отражения, инверсии и ротоинверсии, то есть конечные подгруппы O(n); (2) бесконечные решетчатые группы, включающие только переносы; и (3) бесконечные пространственные группы, содержащие элементы обоих предыдущих типов и, возможно, дополнительные преобразования, такие как винтовые перемещения и скользящие отражения. Существуют также непрерывные группы симметрии (группы Ли), содержащие вращения на произвольно малые углы или переносы на произвольно малые расстояния. Примером является O(3) – группа симметрии сферы. Группы симметрии евклидовых объектов могут быть полностью классифицированы как подгруппы евклидовой группы E(n) (группа изометрий Rn). Две геометрические фигуры имеют один и тот же тип симметрии, когда их группы симметрии являются сопряженными подгруппами евклидовой группы, то есть когда подгруппы H1, H2 связаны соотношением H1 = g−1H2g для некоторого g из E(n). Например: две 3D-фигуры обладают зеркальной симметрией, но относительно разных зеркальных плоскостей; две 3D-фигуры обладают трехкратной вращательной симметрией, но относительно разных осей; две 2D-модели обладают трансляционной симметрией, каждая в одном направлении; два вектора трансляции имеют одинаковую длину, но разное направление. В следующих разделах мы рассматриваем только группы изометрии, орбиты которых топологически замкнуты, включая все дискретные и непрерывные группы изометрии. Однако это исключает, например, 1D-группу переносов на рациональное число; такую незамкнутую фигуру нельзя нарисовать с разумной точностью из-за ее произвольно мелких деталей.

We consider the "objects" possessing symmetry to be geometric figures, images, and patterns, such as a wallpaper pattern. For symmetry of physical objects, one may also take their physical composition as part of the pattern. (A pattern may be specified formally as a scalar field, a function of position with values in a set of colors or substances; as a vector field; or as a more general function on the object.) The group of isometries of space induces a group action on objects in it, and the symmetry group Sym(X) consists of those isometries which map X to itself (as well as mapping any further pattern to itself). We say X is invariant under such a mapping, and the mapping is a symmetry of X. The above is sometimes called the full symmetry group of X to emphasize that it includes orientation reversing isometries (reflections, glide reflections and improper rotations), as long as those isometries map this particular X to itself. The subgroup of orientation preserving symmetries (translations, rotations, and compositions of these) is called its proper symmetry group. An object is chiral when it has no orientation reversing symmetries, so that its proper symmetry group is equal to its full symmetry group. Any symmetry group whose elements have a common fixed point, which is true if the group is finite or the figure is bounded, can be represented as a subgroup of the orthogonal group O(n) by choosing the origin to be a fixed point. The proper symmetry group is then a subgroup of the special orthogonal group SO(n), and is called the rotation group of the figure. In a discrete symmetry group, the points symmetric to a given point do not accumulate toward a limit point. That is, every orbit of the group (the images of a given point under all group elements) forms a discrete set. All finite symmetry groups are discrete. Discrete symmetry groups come in three types: (1) finite point groups, which include only rotations, reflections, inversions and rotoinversions – i. e., the finite subgroups of O(n); (2) infinite lattice groups, which include only translations; and (3) infinite space groups containing elements of both previous types, and perhaps also extra transformations like screw displacements and glide reflections. There are also continuous symmetry groups (Lie groups), which contain rotations of arbitrarily small angles or translations of arbitrarily small distances. An example is O(3), the symmetry group of a sphere. Symmetry groups of Euclidean objects may be completely classified as the subgroups of the Euclidean group E(n) (the isometry group of Rn). Two geometric figures have the same symmetry type when their symmetry groups are conjugate subgroups of the Euclidean group: that is, when the subgroups H1, H2 are related by 1=H1 = g−1H2g for some g in E(n). For example:

two 3D figures have mirror symmetry, but with respect to different mirror planes. two 3D figures have 3 fold rotational symmetry, but with respect to different axes. two 2D patterns have translational symmetry, each in one direction; the two translation vectors have the same length but a different direction. In the following sections, we only consider isometry groups whose orbits are topologically closed, including all discrete and continuous isometry groups. However, this excludes for example the 1D group of translations by a rational number; such a non closed figure cannot be drawn with reasonable accuracy due to its arbitrarily fine detail.

Группы симметрии в целом

В более широком контексте группа симметрии может быть любой группой преобразований или группой автоморфизмов. Каждый тип математической структуры имеет обратимые отображения, сохраняющие эту структуру. И наоборот, указание группы симметрии может определить структуру или, по крайней мере, уточнить смысл геометрической конгруэнтности или инвариантности; это один из взглядов на эрлангенскую программу. Например, объекты в гиперболической неевклидовой геометрии обладают группами симметрии Фукса, которые являются дискретными подгруппами группы изометрий гиперболической плоскости, сохраняющими гиперболическое, а не евклидово расстояние. (Некоторые из них изображены на рисунках Эшера.) Аналогично, группы автоморфизмов конечных геометрий сохраняют семейства множеств точек (дискретные подпространства), а не евклидовы подпространства, расстояния или внутренние произведения. Подобно евклидовым фигурам, объекты в любом геометрическом пространстве имеют группы симметрии, являющиеся подгруппами симметрий окружающего пространства. Другой пример группы симметрии – комбинаторный граф: симметрия графа – это перестановка вершин, переводящая рёбра в рёбра. Любая конечно представленная группа является группой симметрии своего графа Кейли, а свободная группа – группой симметрии графа бесконечного дерева.

Структура группы с точки зрения симметрии

Теорема Кейли утверждает, что любая абстрактная группа является подгруппой перестановок некоторого множества X и, следовательно, может рассматриваться как группа симметрии X с некоторой дополнительной структурой. Кроме того, многие абстрактные свойства группы (определяемые исключительно в терминах групповой операции) могут быть интерпретированы в терминах симметрий. Например, пусть G = Sym(X) — конечная группа симметрии фигуры X в евклидовом пространстве, и пусть H ⊂ G — подгруппа. Тогда H можно интерпретировать как группу симметрии X+, "декорированной" версии X. Такой декор можно построить следующим образом: добавьте к X некоторые элементы, такие как стрелки или цвета, чтобы разрушить всю симметрию, получив фигуру X# с Sym(X#) = {1}, тривиальной подгруппой; то есть, gX# ≠ X# для всех нетривиальных g ∈ G. Теперь мы получаем:

Нормальные подгруппы также могут быть охарактеризованы в этом контексте. Группа симметрии преобразования gX+ является сопряженной подгруппой gHg−1. Таким образом, H является нормальной, когда:

то есть, когда декор X+ может быть нарисован в любой ориентации относительно любой стороны или особенности X и при этом давать ту же группу симметрии gHg−1 = H.

В качестве примера рассмотрим диэдрическую группу G = D3 = Sym(X), где X — равносторонний треугольник. Мы можем декорировать его стрелкой на одной стороне, получив асимметричную фигуру X#. Пусть τ ∈ G — отражение относительно стороны со стрелкой. Тогда композитная фигура X+ = X# ∪ τX# имеет двунаправленную стрелку на этой стороне, а её группа симметрии — H = {1, τ}. Эта подгруппа не является нормальной, поскольку gX+ может иметь двунаправленную стрелку на другой стороне, что приводит к другой группе отражений. Однако, если H = {1, ρ, ρ2} ⊂ D3 — циклическая подгруппа, порожденная вращением, то декорированная фигура X+ состоит из 3-цикла стрелок с согласованной ориентацией. Тогда H является нормальной, поскольку рисование такого цикла в любой ориентации дает ту же группу симметрии H.