Аполлоний Пергский: ежелгі грек математигі мен астрономы

Кіріспе

Көне грек геометрі және астрономы (шамамен б.з.д. 240–190 ж.)

Пергалық Аполлоний ( ; ) – конус пішіндерін зерттеуімен танымал көне грек геометрі және астрономы. Ол Евклид пен Архимедтің осы тақырыптағы бұрынғы еңбектерінен бастап, оларды аналитикалық геометрияның тууына дейінгі деңгейге жеткізді. Оның эллипс, парабола және гипербола терминдерінің анықтамалары бүгінге дейін қолданылып келеді. Аполлоний Евклид пен Архимедпен бірге ежелгі заманның ең ұлы математиктерінің бірі саналады. Геометриядан басқа, Аполлоний астрономияны қоса алғанда, көптеген басқа да тақырыптар бойынша жұмыс істеді. Оның көптеген еңбектері сақталмаған, тек Александриялық Папп сияқты басқа авторлардың сілтемелерінде кездесетін фрагменттер ғана жеткен. Планеталардың түсініксіз қозғалысын түсіндіру үшін эксцентрлік орбиталар туралы оның болжамы Орта ғасырларға дейін қабылданған, бірақ Ренессанс кезінде жаңа теориямен алмастырылды. Ай бетіндегі Аполлоний кратері оның құрметіне аталған.

Өмір

Аполлонийдің математика саласына қосқан зор үлесіне қарамастан, оның өмірбаяны туралы мәліметтер аз. VI ғасырғы грек комментаторы Евтокий Аскалондық Аполлонийдің «Коникалар» еңбегіне қатысты былай деп жазды:

«Аполлоний, геометр, Птолемей III Эуэргет билік құрған дәуірде Памфилиядағы Перга қаласынан келген, – деп жазады Архимедтің өмірбаяны Гераклей».

Осы үзіндіден Аполлонийдің шамамен қай заманда өмір сүргенін анықтауға болады, бірақ қазіргі ғалымдардың айтуынша, оның нақты туған және қайтыс болған жылдары тек болжам ғана. Птолемей III Эуэргет («пейілді») – Диадохтар дәуірінде Египетті билеген үшінші грек әулеті, ол б.з.д. 246–222/221 жылдары тақ отырған. «Дәуірлер» әдетте билеушінің немесе лауазымды тұлғаның атымен белгіленеді, сондықтан Аполлоний б.з.д. 246 жылдан кейін дүниеге келген болуы мүмкін. Гераклей кім екені белгісіз. Перга – Анатолиядағы Памфилиядағы грек мәдениетіне сіңген қала, оның қиратындары бүгінге дейін сақталған. Бұл қала эллинистік мәдениеттің орталығы болған. Евтокий Перганы Египеттің Птолемей әулетімен байланыстырған сияқты. Бірақ б.з.д. 246 жылы Перга Египеттің құрамына кірген жоқ, ол Селевкид империясына қарасты, Селевкид әулеті басқарған тәуелсіз Диадох мемлекетіне тиесілі болды. Б.з.д. III ғасырдың соңғы жартысында Перга бірнеше рет қолы ауысты, Селевкидтер мен солтүстіктегі Пергамондық Аталидтердің билігінде болды. «Пергалық» деген лақапқа ие адамның сол қалада тұрып, жұмыс істегені күтілуі мүмкін, бірақ Аполлоний кейіннен Пергамен байланыстырылған болса, бұл оның тұрғылықты жеріне байланысты емес. Қалған автобиографиялық мәліметтер оның Александрияда өмір сүргенін, оқығанын және жазғанын көрсетеді. Грек математигі және астрономы Гипсиклдің хаты Евклидтің «Элементтер» атты он үш кітабының XIV кітабынан алынған қосымшаның бір бөлігі болған. Тирлік Василид, Протарх, Александрияға келіп, әкеммен кездескенде, математикаға деген ортақ қызығушылықтарының арқасында көп уақытын оныңмен бірге өткізді. Бір күні Аполлонийдің бір-біріне ішкі жатқан додекаэдр мен икосаэдрді салыстыру туралы жазған трактатын қарастырғанда, яғни олардың арақатынасы қандай екені туралы мәселеге келгенде, олар Аполлонийдің осы кітаптағы талқылауының дұрыс емес екеніне келісті. Әкемнен түсінгенімдей, олар оны түзетуге және қайта жазуға кірісті. Бірақ кейіннен Аполлонийдің осы мәселенің шешімін ұсынған тағы бір кітабын таптым, мен оның мәселені зерттеуіне қатты қызығтым. Аполлонийдің бұл кітабы баршаға қолжетімді, өйткені ол кейіннен мұқият өңделген нұсқада кеңінен таралған.

From this passage Apollonius can be approximately dated, but specific birth and death years stated by modern scholars are only speculative. Ptolemy III Euergetes ("benefactor") was third Greek dynast of Egypt in the Diadochi succession, who reigned 246–222/221 BC. "Times" are always recorded by ruler or officiating magistrate, so Apollonius was likely born after 246. The identity of Herakleios is uncertain. Perga was a Hellenized city in Pamphylia, Anatolia, whose ruins yet stand. It was a center of Hellenistic culture. Eutocius appears to associate Perga with the Ptolemaic dynasty of Egypt. Never under Egypt, Perga in 246 BC belonged to the Seleucid Empire, an independent diadochi state ruled by the Seleucid dynasty. During the last half of the 3rd century BC, Perga changed hands a number of times, being alternatively under the Seleucids and under the Attalids of Pergamon to the north. Someone designated "of Perga" might be expected to have lived and worked there; to the contrary, if Apollonius was later identified with Perga, it was not on the basis of his residence. The remaining autobiographical material implies that he lived, studied, and wrote in Alexandria. A letter by the Greek mathematician and astronomer Hypsicles was originally part of the supplement taken from Euclid's Book XIV, part of the thirteen books of Euclid's Elements. Basilides of Tyre, O Protarchus, when he came to Alexandria and met my father, spent the greater part of his sojourn with him on account of the bond between them due to their common interest in mathematics. And on one occasion, when looking into the tract written by Apollonius about the comparison of the dodecahedron and icosahedron inscribed in one and the same sphere, that is to say, on the question what ratio they bear to one another, they came to the conclusion that Apollonius' treatment of it in this book was not correct; accordingly, as I understood from my father, they proceeded to amend and rewrite it. But I myself afterwards came across another book published by Apollonius, containing a demonstration of the matter in question, and I was greatly attracted by his investigation of the problem. Now the book published by Apollonius is accessible to all; for it has a large circulation in a form which seems to have been the result of later careful elaboration.

Өмірбаяндық алғы сөздер

Кейбір автобиографиялық материалдарды Коникалар кітаптарының сақталған алғы сөздерінде табуға болады. Бұл – Аполлонийдің ықпалды достарына жолдаған, оларға хатпен бірге жіберілген кітапты қарап шығуларын сұраған хаттары. Алғашқы екі алғы сөз Пергамдық Эвдемге арналған. Эвдем Пергам мұражайының ғылыми-зерттеу орталығының басшысы болған, немесе болған болуы мүмкін. Грек математикалық мектептері, Афиналық Ликей үлгісінде, білім беру процесінің бір бөлігі болды, оған кітапхана мен мұражайлар тікелей байланысты болды. Мұндай мектептің мемлекетте тек біреуі ғана болды, ол патшалық қолдауында болды. Кітаптар сирек және қымбат болғандықтан, оларды жинау патшаның міндеті еді. Аполлонийдің Коникалар кітабының I алғы сөзінде Эвдемге алғашқы төрт кітаптың элементтерді дамытумен, ал соңғы төртеуі арнайы тақырыптармен айналысқанын жазады. Аполлоний Эвдемге Коникалардың алғашқы нұсқасын Александрияда геометр және қонақ болған Наукрат сұрағанын еске салады, ол тарихқа басқаша белгілі емес. Аполлоний Наукратқа сегіз кітаптың бірінші жобасын ұсынды, бірақ оларды "толыққанды тазартусыз" деп сипаттады және кітаптарды тексеріп, түзетуге ниеттенді, оларды аяқтаған сайын жариялап отыруды жоспарлады. Бұл жоспарды Пергамға келген Аполлонийдің өзінен естіген Эвдем, Аполлонийден әр кітапты жариялаудан бұрын өзіне жіберіп беруін талап етті. Бұл кезде Аполлоний әлі жас геометр болған, Папптың айтуынша, ол Евклидтің шәкірттерімен бірге Александрияда болған (Евклидтің өмірінен көп уақыт өткен соң), бұл оның білімінің соңғы кезеңі болуы мүмкін. Эвдем Аполлонийдің Пергамдағы оқу кезеңіндегі ұстазы болған болуы мүмкін. Бірінші және екінші алғы сөздердің арасында үзіліс бар. Аполлоний екіншісін жеткізу үшін өзінің ұлын, сондай-ақ Аполлоний деп аталғанды жіберді. Ол Эвдемге кітапты арнайы оқу топтарында пайдалануды ұсынды. Аполлоний Лаодикиялық Филонидпен кездескенін айтады, оны Эфесте Эвдемге таныстырды, және ол Эвдемнің шәкірті болды. Филонид б.з.д. II ғасырының бірінші жартысында Сирияда тұрды. Бұл кездесу Аполлонийдің енді Эфесте тұрғанын көрсетеді ме, әзірге белгісіз; Жерорта теңізі аймағының зиялы қауымы халықаралық болды, ал осы "математиканың алтын ғасырындағы" ғалымдар халықаралық жұмыс іздеді, бір-бірін зияраттады, бір-бірінің еңбектерін оқыды және ұсыныстар жасады, студенттерді ұсынды және пошта арқылы байланыс жасады. Сақталған хаттар көп. III кітаптың алғы сөзі жоқ, ал Эвдем осы аралықта қайтыс болды, дейді Аполлоний IV кітаптың алғы сөзінде. IV–VII кітаптардың алғы сөздері формальды, жеке ақпаратты қамтымайды, тек қорытынды ғана келтіреді. Төрт алғы сөз де құпиялы Атталға арналған, Аполлоний айтуынша, "өзіңіздің шығармаларыма ие болуға деген ынтаңыздың арқасында". Көрнекі болжам бойынша, Аттал Аполлонийдің қолжазбаларын алу үшін маңызды тұлға болған. Бір теория бойынша, Аттал – Аттал II Филадельф (б.з.д. 220–138 ж.), Пергамның генералы және қорғаушысы, оның ағасы Евмен II патша болған, ал 160 ж. ағасының ауруынан кейін бірлескен билеуші болып, 158 ж. таққа отырған. Екеуі де өнерді қолдады, кітапхананы халықаралық деңгейге жеткізді. Аттал Филонидтің замандасы болды, ал Аполлонийдің ниеттері Атталдың кітап жинауға бағытталған бастамасына сәйкес келеді. VII алғы сөзінде Аполлоний VIII кітапты "мен сізге мүмкіндігінше тезірек жіберуге тырысатын қосымша" деп сипаттайды. Оның жіберілгені туралы мәлімет жоқ, және Аполлоний оны аяқтамай қайтыс болған болуы мүмкін. Алайда, Александриялық Папп оған леммалар берген, сондықтан ол бір түрде таралған болуы керек.

Some autobiographical material can be found in the surviving prefaces to the books of Conics. These are letters Apollonius addressed to influential friends asking them to review the book enclosed with the letter. The first two prefaces are addressed to Eudemus of Pergamon. Eudemus likely was or became the head of the research center of the Museum of Pergamon, a city known for its books and parchment industry from which the name parchment is derived. Research in Greek mathematical institutions, which followed the model of the Athenian Lycaeum, was part of the educational effort to which the library and museum were adjunct. There was only one such school in the state, under royal patronage. Books were rare and expensive and collecting them was a royal obligation. Apollonius's preface to Book I tells Eudemus that the first four books were concerned with the development of elements while the last four were concerned with special topics. Apollonius reminds Eudemus that Conics was initially requested by Naucrates, a geometer and house guest at Alexandria otherwise unknown to history. Apollonius provided Naucrates the first draft of all eight books, but he refers to them as being "without a thorough purgation", and intended to verify and correct the books, releasing each one as it was completed. Having heard this plan from Apollonius himself, who visited Pergamon, Eudemus insisted Apollonius send him each book before release. At this stage Apollonius was likely still a young geometer, who according to Pappus stayed at Alexandria with the students of Euclid (long after Euclid's time), perhaps the final stage of his education. Eudemus may have been a mentor from Appolonius' time in Pergamon. There is a gap between the first and second prefaces. Apollonius has sent his son, also named Apollonius, to deliver the second. He speaks with more confidence, suggesting that Eudemus use the book in special study groups. Apollonius mentions meeting Philonides of Laodicea, a geometer whom he introduced to Eudemus in Ephesus, and who became Eudemus' student. Philonides lived mainly in Syria during the 1st half of the 2nd century BC. Whether the meeting indicates that Apollonius now lived in Ephesus is unresolved; the intellectual community of the Mediterranean was cosmopolitan and scholars in this "golden age of mathematics" sought employment internationally, visited each other, read each other's works and made suggestions, recommended students, and communicated via some sort of postal service. Surviving letters are abundant. The preface to Book III is missing, and during the interval Eudemus died, says Apollonius in the preface to Book IV. Prefaces to Books IV–VII are more formal, mere summaries omitting personal information. All four are addressed to a mysterious Attalus, a choice made, Apollonius says, "because of your earnest desire to possess my works". Presumably Attalus was important to be sent Apollonius' manuscripts. One theory is that Attalus is Attalus II Philadelphus (220–138 BC), general and defender of Pergamon whose brother Eumenes II was king, and who became co regent after his brother's illness in 160 BC and acceded to the throne in 158 BC. Both brothers were patrons of the arts, expanding the library into international magnificence. Attalus was a contemporary of Philonides and Apollonius' motive is consonant with Attalus' book collecting initiative. In Preface VII Apollonius describes Book VIII as "an appendix which I will take care to send you as speedily as possible." There is no record that it was ever sent, and Apollonius might have died before finishing it. Pappus of Alexandria, however, provided lemmas for it, so it must have been in circulation in some form.

Конустық

Аполлоний өнімді геометр болды, көптеген еңбектер жазды. Олардың тек біреуі – «Коникалар» (Кониктер) ғана сақталған. Оның сегіз кітабының тек алғашқы төртеуі ғана Аполлонийдің аудармалмаған түпнұсқа мәтіндері ретінде жеткен. 5-7 кітаптар Бану Мусаның тапсырысымен Тәбит ибн Құрра жасаған араб тіліндегі аудармада ғана қолжетімді; түпнұсқа грек тілі жоғалып кетті. 8-кітаптың жағдайы белгісіз. Оның алғашқы нұсқасы болған, бірақ соңғы нұсқасы жасалған-жасалмағаны белгісіз. Эдмонд Галлейдің латын тілінде жасаған «қайта құрауы» бар, бірақ оның Аполлонийдің түпнұсқасына қаншалықты дәл екенін білу мүмкін емес. «Коникалардың» грек мәтіні Евклидтік тәртіпте анықтамалар, суреттер және олардың бөліктерін ұсынады; яғни, берілгендер, одан кейін дәлелденуге тиіс теоремалар. I-VII кітаптарда 387 теорема келтірілген. Мұндай тәртіп кез келген заманауи геометрия оқулығында кездеседі. Математика курстарындағыдай, материал өте тығыз және оны қарастыру үшін уақыт керек. Аполлоний әрбір кітапқа жоспар құрған, ол кіріспеде ішінара сипатталған. Кітаптардың тақырыптары немесе жоспарға сілтемелер жеткіліксіз, себебі Аполлоний тақырыптардың логикалық байланысына көбірек сүйенген.

ІІ кітап

ІІ кітапта 53 теорема бар. Аполлоний өз ниетін "диаметрлер мен осьтерге, сондай-ақ асимптоталарға және мүмкін болатын нәрсенің шектеріне қатысты қасиеттерді" қарастыруда айтады. Оның "диаметр" анықтамасы қалыптыдан өзгеше, сондықтан ол анықтама үшін хатты алған адамды өзінің еңбегіне сілтеме жасауға шақырады. Аталған элементтер фигуралардың пішіні мен жасалу жолын анықтайды. Кітаптың соңында жанамалар туралы мәліметтер келтірілген.

ІІІ кітап

III кітапта 56 теорема бар. Аполлоний "қатты локустарды құруға пайдалы" теоремаларды – үш және төрт түзулік локустарды – өзі ашқанын мәлімдейді. Үш түзулік локус проблемасы (Талиафероның III кітапқа қосымшасында келтірілгендей) үш берілген түзу сызықтан арақашықтығындағы нүктелердің локусын анықтайды, мұнда бір арақашықтықтың квадраты әрқашан қалған екі арақашықтықтың көбейтіндісімен тұрақты қатынаста болады. Бұл парабола тудыратын аудандардың қолданылуын дәлелдейді. Төрт түзулік проблема эллипс пен гиперболаға әкеледі. Аналитикалық геометрия алгебраға негіделген қарапайым шарттардан сол локустарды шығарады, бұл үшін Декарт жоғары бағаланды. Ол әдістерімен Аполлонийді басып өтеді.

IV кітап

IV кітапта 57 теорема бар. Алғашқысы Эвдемге емес, Атталға жіберілген, сондықтан ол оның пілген геометриялық ойлауын көрсетеді. Тақырыбы өте тар: «конустың қималары бір-бірімен немесе шеңбердің шеңберімен қанша нүктеде кездесе алады» дегенмен, ол оларды мәселелерді шешуде «өте пайдалы» деп атап, ынтамен айтады (Кіріспе 4).

V кітап

V кітап, тек араб тілінен жасалған аударма арқылы ғана белгілі, 77 ұсыныстан тұрады, бұл кез келген кітаптың ең көп саны. Олар эллипсті (50 ұсыныс), параболаны (22) және гиперболаны (28) қамтиды. Бұл нақты тақырып емес, ал Аполлоний I және V алғы сөздерінде айтқандай, ең жоғары және ең төменгі сызықтар туралы. Бұл терминдер түсіндірілмейді. I кітаптан айырмашылығы, V кітапта ешқандай анықтама мен түсінік жоқ. Бұл екіұштылық Аполлонийді зерттеушілерге магниттей тартты, олар кітаптың негізгі терминдерінің мағынасын толық білмей түсіндіруге тиіс. Соңғы уақытқа дейін Хиттің көзқарасы басым болды: сызықтар қималарға нормальдар ретінде қарастырылуы керек. Бұл жағдайда нормаль – жанама нүктеде қисыққа перпендикуляр, кейде «аяқ» деп аталады. Егер қима Аполлонийдің координаталар жүйесі бойынша салынса (төменде Аполлонийдің әдістеріне қараңыз), диаметрі (Хит аударғанда осі) x осінде және сол жақтағы бастапқы нүктеде орналасса, ұсыныстардың фразеологиясы қима мен осі арасында минимумдар/максимумдар табуға тиіс екенін көрсетеді. Хиттің көзқарасына, сызықтың бір ұшы жанама нүкте ретінде, ал екінші ұшы қимадағы p тұрақты нүктесі ретінде қарастырылуы себеп болды. P және осің кез келген g нүктесі арасындағы ең аз қашықтық p-ден нормаль болуы керек. Қазіргі математикада қисықтарға нормальдар, қисықтың аяғының маңындағы кішкентай бөлігінің қисықтық центрінің орналасқан жері ретінде белгілі. Аяқтан ортаға дейінгі арақашықтық – қисықтық радиусы. Соңғысы шеңбердің радиусы, бірақ шеңбер емес қисықтар үшін кішкентай доғаны шеңберлік доғамен жуықтауға болады. Дөңгелек емес қисықтардың қисықтығы, мысалы, конустық қималар, қима бойымен өзгеруі керек. Қисықтық центрінің картасы, яғни, аяқ қима бойынша қозғалғанда оның орны, қиманың эволюциясы деп аталады. Мұндай фигура, сызықтың тізбектелген позицияларының жиегі, бүгінде конверт деп аталады. Хит V кітапта Аполлоний нормальдар, эволюциялар және конверттер теориясының логикалық негізін қалағанын сенді. Хиттің түсіндіруі 20 ғасыр бойына басым болды, бірақ ғасырдың аяқталуымен бірге көзқарас өзгерді. 2001 жылы Аполлонийді зерттеушілер Фрид пен Унгуру, Хиттің басқа тарауларына құрмет көрсетіп, Хиттің V кітапты талдауының тарихилығына қарсы шығып, ол түпнұсқаны қазіргі заманғы математик үшін қолайлы ету үшін қайта өңдегенін мәлімдеді. Бұл Хиттің тарихшы үшін күмәнді құндылыққа ие жұмысына айналды, Аполлонийге қарағанда Хиттің ойын көбірек көрсетеді. Оның аргументтерінің бірі – алғы сөздерде немесе кітаптарда нормальдардың өзі болып табылатын максимумдар/минимумдар туралы ешқандай сөз жоқ. Хит таңдаған 50 ұсыныстың ішінде, нормальдарды қамтитыны ретінде қарастырылатын тек 7-і ғана, V кітап: 27–33, максимумдар/минимумдар сызықтарының жанамаға перпендикуляр екенін көрсетеді немесе білдіреді. Фрид бұл 7-ін оқшауланған, кітаптың негізгі тұжырымдарымен байланыссыз деп жіктейді. Олар жалпы алғанда максимумдар/минимумдардың нормальдар екенін білдірмейді. Фрид басқа 43 ұсыныстың кеңінен зерттеуі барысында олардың көпшілігі дұрыс бола алмайтынын дәлелдеді. Фрид пен Унгуру Аполлонийді болашақтың көрінісі емес, өткеннің жалғасы ретінде бейнелейді. Біріншісі – ең төменгі және ең жоғары сызықтарға қатысты барлық сілтемелерді толық филологиялық зерттеу, бұл стандартты фразеологияны ашады. Үш топта, әрқайсысында 20-25 ұсыныс бар. Бірінші топта «осьтегі нүктеден қимаға» деген тіркес бар, бұл «қимадағы нүктеден оське» деген гипотетикалық тіркеске қарама-қарсы. Алғашқысы ештеңеге нормаль болуы міндетті емес, бірақ болуы мүмкін. Осьте белгіленген нүкте берілген кезде, оны қиманың барлық нүктелерімен байланыстыратын сызықтардың бірі ең ұзын (максималды) және ең қысқа (минималды) болады. Басқа тіркестер: «қимада», «қимадан алынған», «қима мен оның осі арасында кесілген», «осімен кесілген», бәрі бірдей суретті білдіреді. Фрид пен Унгурудың пікірінше, V кітаптың тақырыбы Аполлоний айтқандай, ең жоғары және ең төменгі сызықтар. Бұл болашақ ұғымдардың кодтық сөздері емес, сол кезде қолданылып жүрген ежелгі ұғымдарға сілтеме жасайды. Авторлар Евклидтің «Элементтер» кітабының III кітабына сілтеме жасайды, ол шеңберлерге және ішкі нүктелерден олардың шеңберіне дейінгі ең үлкен және ең кіші арақашықтықтарға қатысты. Олар «сияқты» немесе «аналогы» сияқты терминдерді қолданады. Олар «неузис сияқты» терминін жаңартқандарымен танымал. Неузис құрылысы – екі қисық арасына белгілі бір сегментті орнату әдісі. P нүктесі және оның үстінде белгіленген сегменті бар сызықтар берілген. Сызықты P нүктесінің айналасында бұра отырып, сегмент екі қисық арасына орналасқанша кесіп тастау керек. V кітапта P – осьтегі нүкте. Сызықты оның айналасында бұра отырып, қимаға дейінгі қашықтықтарды анықтауға болады, содан кейін минимумдар мен максимумдарды анықтауға болады. Бұл техника жағдайға қолданылмайды, сондықтан бұл неузис емес. Авторлар «неузис сияқты» терминін қолданады, бұл ежелгі әдіспен архетиптік ұқсастықты көрсетеді. Аударма, көп бұрын жасалған, Альмамон мектебінің «Муса ұлдары» деп аталатын бөлімінен шыққан, 9 ғасырда өмір сүрген үш бауырластың тобы. Аударма олар үшін жұмыс істейтін жазушылар жасаған. «Трактаттың көлемділігі көптеген адамдарды онымен танысуға кедері келтірді» деп мәлімдеп, ол тақырыптарды қосуға, ұйымдастыруды сырттай өзгертуге және мәтінді қазіргі нотациямен түсіндіруге уәде береді. Оның жұмысы оның және Аполлонийдің ұйымдастыру жүйелеріне сілтеме жасайды, олардың арасында сілтемелер бар.

Book V, known only through translation from the Arabic, contains 77 propositions, the most of any book. They cover the ellipse (50 propositions), the parabola (22), and the hyperbola (28). These are not explicitly the topic, which in Prefaces I and V Apollonius states to be maximum and minimum lines. These terms are not explained. In contrast to Book I, Book V contains no definitions and no explanation. The ambiguity has served as a magnet to exegetes of Apollonius, who must interpret without sure knowledge of the meaning of the book's major terms. Until recently Heath's view prevailed: the lines are to be treated as normals to the sections. A normal in this case is the perpendicular to a curve at a tangent point sometimes called the foot. If a section is plotted according to Apollonius’ coordinate system (see below under Methods of Apollonius), with the diameter (translated by Heath as the axis) on the x axis and the vertex at the origin on the left, the phraseology of the propositions indicates that the minima/maxima are to be found between the section and the axis. Heath is led into his view by consideration of a fixed point p on the section serving both as tangent point and as one end of the line. The minimum distance between p and some point g on the axis must then be the normal from p.

In modern mathematics, normals to curves are known for being the location of the center of curvature of that small part of the curve located around the foot. The distance from the foot to the center is the radius of curvature. The latter is the radius of a circle, but for other than circular curves, the small arc can be approximated by a circular arc. The curvature of non circular curves; e. g., the conic sections, must change over the section. A map of the center of curvature; i. e., its locus, as the foot moves over the section, is termed the evolute of the section. Such a figure, the edge of the successive positions of a line, is termed an envelope today. Heath believed that in Book V we are seeing Apollonius establish the logical foundation of a theory of normals, evolutes, and envelopes. Heath's was accepted as the authoritative interpretation of Book V for the entire 20th century, but the changing of the century brought with it a change of view. In 2001, Apollonius scholars Fried & Unguru, granting all due respect to other Heath chapters, balked at the historicity of Heath's analysis of Book V, asserting that he “reworks the original to make it more congenial to a modern mathematician this is the kind of thing that makes Heath’s work of dubious value for the historian, revealing more of Heath’s mind than that of Apollonius.” Some of his arguments are in summary as follows. There is no mention of maxima/minima being per se normals in either the prefaces or the books proper. Out of Heath's selection of 50 propositions said to cover normals, only 7, Book V: 27–33, state or imply maximum/minimum lines being perpendicular to the tangents. These 7 Fried classifies as isolated, unrelated to the main propositions of the book. They do not in any way imply that maxima/minima in general are normals. In his extensive investigation of the other 43 propositions, Fried proves that many cannot be. Fried and Unguru counter by portraying Apollonius as a continuation of the past rather than a foreshadowing of the future. First is a complete philological study of all references to minimum and maximum lines, which uncovers a standard phraseology. There are three groups of 20 25 propositions each. The first group contains the phrase “from a point on the axis to the section,” which is exactly the opposite of a hypothetical “from a point on the section to the axis.” The former does not have to be normal to anything, although it might be. Given a fixed point on the axis, of all the lines connecting it to all the points of the section, one will be longest (maximum) and one shortest (minimum). Other phrases are “in a section,” “drawn from a section,” “cut off between the section and its axis,” cut off by the axis,” all referring to the same image. In the view of Fried and Unguru, the topic of Book V is exactly what Apollonius says it is, maximum and minimum lines. These are not code words for future concepts, but refer to ancient concepts then in use. The authors cite Euclid, Elements, Book III, which concerns itself with circles, and maximum and minimum distances from interior points to the circumference. Without admitting to any specific generality they use terms such as “like” or “the analog of.” They are known for innovating the term “neusis like.” A neusis construction was a method of fitting a given segment between two given curves. Given a point P, and a ruler with the segment marked off on it. one rotates the ruler around P cutting the two curves until the segment is fitted between them. In Book V, P is the point on the axis. Rotating a ruler around it, one discovers the distances to the section, from which the minimum and maximum can be discerned. The technique is not applied to the situation, so it is not neusis. The authors use neusis like, seeing an archetypal similarity to the ancient method. The translation, dated much earlier, comes from the branch of Almamon's school entitled the Banū Mūsā, “sons of Musa,” a group of three brothers, who lived in the 9th century. The translation was performed by writers working for them. Commenting that "the apparently portentious bulk of the treatise has deterred many from attempting to make its acquaintance", he promises to add headings, changing the organization superficially, and to clarify the text with modern notation. His work thus references two systems of organization, his own and Apollonius', parenthetically cross referenced.

Сент-Джон колледжі

Хит 19 ғасырдың соңы мен 20 ғасырдың басында белсенді болды, 1940 жылы қайтыс болды, бірақ осы арада басқа көзқарас қалыптасты. Сент-Джон колледжі (Аннаполис/Санта-Фе), отарлық дәуірден бері әскери мектеп болған және Мэриленд штатының Аннаполисіндегі АҚШ Әскери-теңіз академиясынан бұрынғы, 1936 жылы аккредитациясын жоғалтып, банкроттыққа тап болды. Үмітсіздікке ұшыраған кеңес мүшелері Чикаго университетінен Стрингфелло Барр мен Скотт Бьюкененді шақыртты, олар классикалық пәндерді оқытудың жаңа теориялық бағдарламасын жасап жатқан еді. Осы мүмкіндікті пайдаланып, 1937 жылы олар Сент-Джонс колледжінде «жаңа бағдарламаны» енгізді, кейіннен ол Ұлы кітаптар бағдарламасы деп аталды – бұл батыс өркениетінің мәдениетіне елеулі үлес қосыған таңдаулы тұлғалардың еңбектерін оқытатын бекітілген оқу жоспары болды. Сент-Джонс-те Аполлоний аналитикалық геометрияның бір бөлігі ретінде емес, өзінің жеке еңбегі ретінде оқыла бастады. Аполлонийдің «түтқыры» 1937 жылы Вирджиния университетінен ғылым кандидаты атанған Р. Кейтсби Талияферро болды. Ол 1942 жылға дейін, содан кейін 1948 жылы бір жыл бойы сабақ берді, өзі аударған ағылшын тіліндегі нұсқауларын ұсынды, Птолемейдің «Альмагест» және Аполлонийдің «Коникаларын» аударды. Бұл аудармалар «Британ энциклопедиясының Батыс әлемінің ұлы кітаптары» сериясына енді. Тек I-III кітаптар ғана қосылды, арнайы тақырыптарға қосымшасы бар (Майкл Н. Фридтің «Коникалардың» IV кітабының аудармасы 2002 жылы жарық көрді). Хиттен айырмашылығы, Талияферро Аполлонийді қайта ұйымдастыруға немесе тіпті сырттай өңдеуге, жаңадан жазуға тырыспады. Оның ағылшын тіліне аудармасы грек тілінен өте жақын. Ол белгілі бір деңгейде заманауи геометриялық белгілеулерді де қолданады.

Лоб классикалық кітапханасы

Талияферроның еңбегімен бір уақытта, Екінші дүниежүзілік соғыс кезеңіндегі Оксфорд профессоры Айвор Томас грек математикасына үлкен қызығушылық танытты. Ол таңдамалы шығармалар жинағын жоспарлады, ол әскери қызметінде, Корольдік Норфолк полкінің офицері болып қызмет еткен кезде іске асырылды. Соғыстан кейін ол Лоэб классикалық кітапханасында орналасты, онда екі томдық жинақ жарық көрді, олардың барлығы Томас тарапынан аударылды. Грек тіліндегі түпнұсқа беттің бір жағында, ал ағылшын тіліндегі аудармасы екінші жағында келтірілген, бұл Лоэб сериясы үшін дәстүрлі формат. Томас еңбегі грек математикасының алтын ғасыры үшін анықтамалық құрал ретінде қызмет етті. Аполлонийге қатысты ол, негізінен, бөлімдерді анықтайтын Бірінші кітаптың бөліктерін ғана қосты.

Басқа жұмыстар

Аполлонийдің қалған еңбектері шашыраңқы немесе жоғалған. Жоғалған көптеген шығармалары туралы түсіндірушілер айтқан немесе сипаттаған. Сонымен қатар, басқа авторлар Аполлонийге ешқандай дәлелсіз жатқызған идеялар да бар. Олардың сенімділігіне қарамастан, бұл әңгіме-дүңке. Кейбір авторлар Аполлонийді белгілі бір идеялардың авторы деп санайды, сол себепті олар оның атымен аталады. Ал басқалары Аполлонийдің ойларын қазіргі заманғы белгілермен немесе сөздермен түсіндіруге тырысады, бірақ оның қаншалықты дұрыс екені белгісіз. Эдмонд Галли "De Rationis Sectione" және "De Spatii Sectione" еңбектерін қайта құрастырды. Бұл еңбектерден және бірнеше шашыраңқы бөліктерден басқа, Аполлонийге қатысты деп түсіндірілетін ешқандай құжат қалмады.

De Rationis Sectione (Сығымдалу)

De Rationis Sectione қарапайым мәселені шешуге ұмтылды: екі түзу сызық пен олардың әрқайсысындағы нүкте берілген болса, үшінші берілген нүктеден өтетіндей етіп, осы екі түзу сызықты қиып өтетін түзу сызықты салу керек, сонда қиылысқан жердегі бөліктердің арақатынасы белгілі бір санға тең болуы тиіс.

De Spatii Sectione (Ауылдық бөлім)

De Spatii Sectione екі қиылысымен шектелген тіктөртбұрыштың белгілі бір тіктөртбұрышқа тең болуын қажет ететін ұқсас мәселені талқылады. 17 ғасырдың соңында Эдвард Бернард Бодлей кітапханасында "De Rationis Sectione" еңбегінің нұсқасын тапты. Ол аудармасын бастады, бірақ оны 1706 жылы "De Spatii Sectione" еңбегін жаңартып, оған қосты Галлей.

Белгіленген бөлімдер

De Sectione Determinata проблемаларды бір өлшемді аналитикалық геометрия сияқты қарастырады; түзу бойындағы басқа нүктелерге қатысты нүктелерді табу мәселесімен айналысады. Нақты проблемалар: Тіке сызықта екі, үш немесе төрт нүкте берілген болса, оның берілген нүктелерден арақашықтықтары мына шартты орындауын қамтамасыз ететін басқа нүктені табу керек: бір нүктенің квадраты немесе екі нүктенің арасындағы тіктөртбұрыш, (1) қалған бір нүктенің квадратына немесе қалған екі нүктенің арасындағы тіктөртбұрышқа немесе (2) қалған бір нүкте мен басқа берілген түзудің арасындағы тіктөртбұрышқа белгілі бір қатынаста болуы керек. Аполлонийдің шешімін анықтау үшін мәтінді қалпына келтіруге көптеген ғалымдар тырысты, соның ішінде Снеллиус (Виллеброрд Снелл, Лейден, 1698); Абердин қаласынан Александр Андерсон, оның «Аполлонийді қайта жаңғырту» (Париж, 1612) еңбегінің қосымшасында; және Роберт Симсон өзінің «Opera quaedam reliqua» (Глазго, 1776) еңбегінде, бұл әрекеттердің ең табыстысы болды.

De Tactionibus (Құқықпен жүру)

De Tactionibus келесі жалпы мәселені қабылдады: берілген орналасқан үш нәрсе (нүктелер, түзу сызықтар немесе шеңберлер) бойынша, берілген нүктелер арқылы өтетін және берілген түзу сызықтарға немесе шеңберлерге жанасатын шеңберді сипаттау. Ең қиын және тарихи тұрғыдан қызықты жағдай үш берілген нәрсе шеңбер болған кезде туындайды. 16 ғасырда Виета бұл мәселені (кейде Аполлон проблемасы деп аталады) Адриан Романусқа ұсынды, ол оны гипербола арқылы шешті. Содан кейін Виета одан қарапайым шешім ұсынды, нәтижесінде ол Аполлонийдің толық трактатын Apollonius Gallus (Париж, 1600) атты кішкентай еңбегінде қайта жаңартуға ұмтылды. Проблеманың тарихы J. W. Camerer-дің Apollonii Pergaei quae supersunt, ac maxime Lemmata Pappi in hos Libras, cum Observationibus, &c (Gothae, 1795, 8vo) атты еңбегінің кіріспе бөлімінде қызықты деректермен толыққандай қарастырылған.

De Inclinationibus (Төбегейлілік)

De Inclinationibus-тың мақсаты берілген ұзындығы бар, белгілі бір нүктеге қарай бағытталған түзу сызықты екі берілген (түзу немесе шеңбер) сызықтардың арасына қалай орналастыруға болатынын көрсету еді. Марин Гетальдич және Хьюго д'Омерик (Геометриялық талдау, Кадис, 1698) оны қалпына келтіруге тырысқанмен, ең жақсы нұсқасы Сэмюэл Хорслиге (1770) тиесілі.

De Locis Planis (Жұмыстың орны)

De Locis Planis – тура сызықтар немесе шеңберлер болатын геометриялық орындарға қатысты теоремалар жинағы. Паппус осы теоремалар туралы толық мәлімет бергендіктен, бұл мәтінді қалпына келтіруге әрекеттер жасалды, оларды П. Ферма (Oeuvres, i., 1891, 3–51 беттер) және Ф. Шутен (Лейден, 1656) жасады, бірақ ең табысты қалпына келтіру Р. Симсонға (Глазго, 1749) тиесілі.

Астрономияға қосқан үлесі

Планеталардың қозғалысын сипаттаудың екі теңдес түрі – эксцентриктерді қолдану және деференттер мен эпициклдерді қолдану – Аполлонийға жатқызылады. Птолемей бұл теңдестікті "Алмагест" еңбегінде сипаттаған.

Аполлонийдің әдістері

Хиттің айтуынша, "Аполлонийдің әдістері" оған жеке емес еді; ол кейінгі теоретиктерге тигізген әсерімен геометрия арқылы ықпал еткен, өзінің техникалық жаңалықтары емес. Хит былай дейді:

"Коникалар" ішінде қолданылған әдістерді толық қарастыруға кіріспес бұрын, жалпы айтқанда, олар Евклидтің "Элементтерінде" толыққанды түрін тапқан геометриялық зерттеудің қабылданған қағидаларын үнемі ұстанады деуге болады. Алтын ғасыр геометрлерін талқылағанда, қазіргі ғалымдар "әдіс" терминін геометрдің бүгінгі алгебрамен бірдей нәтиже беретін көруге негіделген, қайта құру жолымен жұмыс істеуін білдіреді. Мысалы, квадраттың ауданын есептеудің алгебралық әдісі – оның қабырғасының ұзындығын квадраттау; ал оған сәйкес геометриялық әдіс – көзбен көрінетін квадратты салу. Алтын ғасырдың геометриялық әдістері элементар алгебраның көптеген нәтижелерін шығара алды.

Геометриялық алгебра

Хит бүкіл алтын ғасырдың әдістерін сипаттау үшін «геометриялық алгебра» терминін қолданады. Бұл терминді Генри Бурчард Файн 1890 жылға дейін немесе одан бұрын анықтаған, ол оны Рене Декарттың «La Géométrie» еңбегіне қолданған, бұл аналитикалық геометрияның толыққанды алғашқы жұмысы болды. Файн «негізгі операциялары формальды түрде бірдей екі алгебра формальды түрде сәйкес келеді» деген алғышартты қойып, Декарттың жұмысы «жай сандық алгебра емес, жақсырақ атау таба алмағандықтан, сызық сегменттерінің алгебрасы» дейді. Оның символикасы сандық алгебраның символикасымен бірдей. Мысалы, Аполлонийде AB сызық сегменті (А және В нүктелері арасындағы сызық) сол сегменттің сандық ұзындығын да білдіреді. Оның ұзындығы кез келген болуы мүмкін. Сондықтан AB, x (белгісіз) сияқты алгебралық айнымалыға тең болады, оған кез келген мән берілуі мүмкін; мысалы, x=3. Аполлонийде айнымалылар «AB-ны қиманың кез келген нүктесінен диаметрге дейінгі қашықтық деп алайық» сияқты сөздік тұжырымдамалар арқылы анықталады, бұл практика бүгінгі алгебрада да сақталып келеді. Алгебраның негіздерін оқыған әр студент «сөздік есептерді» алгебралық айнымалылар мен теңдеулерге түрлендіруді үйренуі керек, содан кейін x-ті табу үшін алгебраның ережелері қолданылады. Аполлонийде мұндай ережелер болған жоқ. Оның шешімдері геометриялық. Суреттеу арқылы оңай шешілмейтін қатынастар оның түсінігінен тыс болды; алайда, оның суреттеу арқылы шешілетін есептерінің қоры бүгінде кеңінен танылмаған (немесе қажетті емес) күрделі геометриялық шешімдер жиынтығынан құралды. Жақсы белгілі бір ерекшелік – бұл Пифагор теоремасы, ол бүгінге дейін a2 + b2 = c2 сияқты өрнекті көрсететін қабырғаларында квадраттары бар тікбұрышты үшбұрыш түрінде бейнеленеді. Грек геометрлері осы шарттарды «AB-ның квадраты» деп атады. Сол сияқты, AB және CD арқылы құрылған тіктөртбұрыштың ауданы «AB және CD-ның тіктөртбұрышы» деп аталды. Бұл түсініктер грек геометрлеріне сызықтық және квадраттық функцияларға алгебралық қол жеткізуді қамтамасыз етті, соңғысы коникалық қималар болып табылады. Олар тиісінше 1 немесе 2 дәрежелі өрнектерді қамтиды. Аполлоний текшелерді көп пайдаланбады (ол қатты геометрияда кездеседі), тіпті конус – қатты дене болғанымен. Оның қызығушылығы коникалық қималарға, яғни жазық фигураларға бағытталған. 4 және одан жоғары дәрежелі өрнектерді көзбен елестету мүмкін емес еді, бұл геометрияда қол жетімсіз абстракция деңгейін қажет етті, бірақ алгебрада оңай қол жетімді болды.

Heath goes on to use the term geometrical algebra for the methods of the entire golden age. The term had been defined by Henry Burchard Fine in 1890 or before, who applied it to La Géométrie of René Descartes, the first full blown work of analytic geometry. Establishing as a precondition that “two algebras are formally identical whose fundamental operations are formally the same,” Fine says that Descartes’ work “is not mere numerical algebra, but what may for want of a better name be called the algebra of line segments. Its symbolism is the same as that of numerical algebra; ”

For example, in Apollonius a line segment AB (the line between Point A and Point B) is also the numerical length of the segment. It can have any length. AB therefore becomes the same as an algebraic variable, such as x (the unknown), to which any value might be assigned; e. g., x=3. Variables are defined in Apollonius by such word statements as “let AB be the distance from any point on the section to the diameter,” a practice that continues in algebra today. Every student of basic algebra must learn to convert “word problems” to algebraic variables and equations, to which the rules of algebra apply in solving for x. Apollonius had no such rules. His solutions are geometric. Relationships not readily amenable to pictorial solutions were beyond his grasp; however, his repertory of pictorial solutions came from a pool of complex geometric solutions generally not known (or required) today. One well known exception is the indispensable Pythagorean Theorem, even now represented by a right triangle with squares on its sides illustrating an expression such as a2 + b2 = c2. The Greek geometers called those terms “the square on AB,” etc. Similarly, the area of a rectangle formed by AB and CD was "the rectangle on AB and CD." These concepts gave the Greek geometers algebraic access to linear functions and quadratic functions, which latter the conic sections are. They contain powers of 1 or 2 respectively. Apollonius had not much use for cubes (featured in solid geometry), even though a cone is a solid. His interest was in conic sections, which are plane figures. Powers of 4 and up were beyond visualization, requiring a degree of abstraction not available in geometry, but ready at hand in algebra.

Аполлоний координаттар жүйесі

Кез келген ұзындықтың жалпы бірліктермен, мысалы, дюйммен өлшеуі, стандартты құралдарды, мысалы, линейканы қолдану арқылы, Картезиандық торды қабылдауды білдіреді; яғни, бірлік шаршыларға бөлінген бет, мысалы, бір дюймдік шаршы, және бірлік текшелерге бөлінген кеңістік, мысалы, бір дюймдік текше. Ежелгі грек өлшемдері грек математиктеріне қола дәуірінен бері осындай торды ұсынған. Аполлонийден бұрын Менахм мен Архимед өз фигураларын ортақ тордың шартты терезесінде орналастыра бастады, бұл төменгі өлшемді белгілейтін сол жақ тік сызықтан және төменгі деңгейлі сызықтан өлшенетін қашықтықтарға сілтеме жасау арқылы, бағыттар тік сызықты немесе бір-біріне перпендикуляр болатын. Терезенің бұл жиектері Картезиандық координаттар жүйесінде осьтерге айналады. Кез келген нүктенің осьтерден тік сызықты қашықтығы координаттар ретінде беріледі. Ежелгі гректерде мұндай келісім болған жоқ. Олар тек қашықтықты атады. Аполлонийдің өзі фигураларын орналастыратын стандартты терезесі бар. Ол вертикаль өлшеуді «диаметр» деп атаған көлденең сызықтан алады. Бұл сөз грек тілінде де, ағылшын тілінде де бірдей, бірақ грек тіліндегі мағынасы біршама кеңірек. Егер конустық қимасы параллель сызықтар тормен кесілсе, диаметр фигураның тармақтары арасындағы барлық сызық сегменттерін екіге бөледі. Ол шыңынан (коруфе, «тажи») өтуі керек. Диаметр парабола сияқты ашық фигураларды, сондай-ақ шеңбер сияқты жабық фигураларды қамтиды. Диаметрінің параллель сызықтарға перпендикуляр болуы міндетті емес, бірақ Аполлоний тек тік сызықты сызықтарды қолданады. Кесілімдегі нүктеден диаметрге дейінгі тік сызықты қашықтық грек тілінде «тетагмен» деп аталады, этимологиялық тұрғыдан қарағанда, жай ғана «кеңейтілген». Ол тек «төменге» (kata) немесе «жоғарыға» (ana) қарай кеңейтілгендіктен, аудармашылар оны ордината деп түсіндіреді. Бұл жағдайда диаметр x осіне, ал шыңы – координаталардың бастапқы нүктесіне айналады. Содан кейін y осі қисыққа шыңында жанасады. Абсцисса ордината мен шың арасындағы диаметрдің сегменті ретінде анықталады. Координаттар жүйесінің өзіндік нұсқасын пайдаланып, Аполлоний конус қималары үшін теңдеулердің геометриялық баламаларын кескін түрінде жасауға қол жеткізеді, бұл оның координаттар жүйесін Картезиандық деп санауға бола ма деген сұрақ тудырады. Кейбір айырмашылықтар бар. Картезиандық жүйе кез келген есептеулер жасалмас бұрын барлық кеңістіктегі барлық фигураларды қамтитын әмбебап деп есептеледі. Онда екі қиылысқан осьпен бөлінген төрт квадрант бар. Үш квадрантта нөлдік бағытқа қарама-қарсы бағытты білдіретін теріс координаттар бар. Аполлонийде теріс сандар жоқ, нөлге нақты сан жоқ және конус қималарынан тәуелсіз координаттар жүйесін дамытқан жоқ. Ол негізінен бірінші квадрантта жұмыс істейді, барлық оң координаттарымен. Сондықтан математика тарихшысы Карл Бойер былай дейді:

All ordinary measurement of length in public units, such as inches, using standard public devices, such as a ruler, implies public recognition of a Cartesian grid; that is, a surface divided into unit squares, such as one square inch, and a space divided into unit cubes, such as one cubic inch. The ancient Greek units of measurement had provided such a grid to Greek mathematicians since the Bronze Age. Prior to Apollonius, Menaechmus and Archimedes had already started locating their figures on an implied window of the common grid by referring to distances conceived to be measured from a left hand vertical line marking a low measure and a bottom horizontal line marking a low measure, the directions being rectilinear, or perpendicular to one another. These edges of the window become, in the Cartesian coordinate system, the axes. One specifies the rectilinear distances of any point from the axes as the coordinates. The ancient Greeks did not have that convention. They simply referred to distances. Apollonius does have a standard window in which he places his figures. Vertical measurement is from a horizontal line he calls the “diameter.” The word is the same in Greek as it is in English, but the Greek is somewhat wider in its comprehension. If the figure of the conic section is cut by a grid of parallel lines, the diameter bisects all the line segments included between the branches of the figure. It must pass through the vertex (koruphe, "crown"). A diameter thus comprises open figures such as a parabola as well as closed, such as a circle. There is no specification that the diameter must be perpendicular to the parallel lines, but Apollonius uses only rectilinear ones. The rectilinear distance from a point on the section to the diameter is termed tetagmenos in Greek, etymologically simply “extended.” As it is only ever extended “down” (kata ) or “up” (ana ), the translators interpret it as ordinate. In that case the diameter becomes the x axis and the vertex the origin. The y axis then becomes a tangent to the curve at the vertex. The abscissa is then defined as the segment of the diameter between the ordinate and the vertex. Using his version of a coordinate system, Apollonius manages to develop in pictorial form the geometric equivalents of the equations for the conic sections, which raises the question of whether his coordinate system can be considered Cartesian. There are some differences. The Cartesian system is to be regarded as universal, covering all figures in all space applied before any calculation is done. It has four quadrants divided by the two crossed axes. Three of the quadrants include negative coordinates meaning directions opposite the reference axes of zero. Apollonius has no negative numbers, does not explicitly have a number for zero, and does not develop the coordinate system independently of the conic sections. He works essentially only in Quadrant 1, all positive coordinates. Carl Boyer, a modern historian of mathematics, therefore says:

Дегенмен, грек геометриялық алгебрасы теріс шамаларды қарастырмады; сонымен қатар, координаттар жүйесі әрқашан оның қасиеттерін зерттеу үшін берілген қисыққа қосымша қолданылды. Антикалық заманның ең ұлы геометрі Аполлоний аналитикалық геометрияны дамыта алмады.

Дегенмен, Бойердің айтуынша, Аполлонийдің қисықтарды қарауы кейбір жағынан қазіргі заманғы қарауға ұқсас және оның жұмысы аналитикалық геометрияны болжағандай көрінеді. Аполлоний дәстүрлі өлшеу желісі жүйесі мен толыққанды дамыған Картезиандық координаттар жүйесі арасындағы аралық орынды иеленеді. Аполлонийді оқығанда, оның терминдерін қазіргі мағынада қабылдамауға сақ болу керек.