Аполлоний Пергский: Древнегреческий математик и астроном

Введение

Аполлоний Пергийский (; ,) — древнегреческий геометр и астроном, живший примерно в 240–190 гг. до н.э., известный своими трудами по коническим сечениям. Развивая ранние работы Евклида и Архимеда в этой области, он довел их до уровня, предшествующего изобретению аналитической геометрии. Его определения эллипса, параболы и гиперболы используются и по сей день. Вместе с Евклидом и Архимедом Аполлоний считается одним из величайших математиков античности. Помимо геометрии, Аполлоний занимался многими другими вопросами, в том числе астрономией. Большая часть его работ не дошла до нас, за исключением фрагментов, упоминаемых другими авторами, такими как Папп Александрийский. Его гипотеза об эксцентрических орбитах для объяснения, казалось бы, нерегулярного движения планет оставалась общепринятой до Средних веков, но была опровергнута в эпоху Возрождения. В его честь назван кратер Аполлоний на Луне.

Жизнь

Несмотря на его выдающийся вклад в математику, биографических сведений об Аполлонии сохранилось немного. Греческий комментатор VI века Эвтокий Аскалонский, комментируя конические сечения Аполлония, сообщает:

«Аполлоний, геометр, родом из Перги в Памфилии, жил во времена Птолемея III Эуэргета, – так пишет Гераклей, биограф Архимеда».

Из этого отрывка можно приблизительно установить время жизни Аполлония, однако конкретные годы его рождения и смерти, указанные современными исследователями, носят лишь спекулятивный характер. Птолемей III Эуэргет («благодетель») был третьим правителем Египта из династии Птолемеев, возникшей в эпоху Диадохов, и правил в 246–222/221 гг. до н.э. «Времена» обычно отсчитываются по имени правящего монарха или магистрата, поэтому Аполлоний, вероятно, родился после 246 года до н.э. Личность Гераклея остается неизвестной. Перга был эллинизированным городом в Памфилии, Анатолии, чьи руины сохранились до наших дней. Это был центр эллинистической культуры. Эвтокий, по-видимому, связывает Пергу с династией Птолемеев в Египте. Однако Перга никогда не находилась под властью Египта; в 246 году до н.э. она принадлежала империи Селевкидов – независимой державе Диадохов, управляемой династией Селевкидов. В течение последней половины III века до н.э. Перга несколько раз переходила из рук в руки, попеременно находясь под властью Селевкидов и Атталидов из Пергама, расположенного на севере. Можно предположить, что человек, названный «из Перги», жил и работал там; однако, если Аполлония позднее стали ассоциировать с Пергой, это не было основано на месте его проживания. Сохранившиеся сведения указывают на то, что он жил, учился и писал в Александрии. Письмо греческого математика и астронома Гипсикла первоначально входило в дополнение к XIV книге «Начал» Евклида, являющейся частью тринадцати книг «Элементов» Евклида. Базилид Тирский, обращаясь к Протарху, пишет: «Когда он прибыл в Александрию и встретился с моим отцом, он провел большую часть своего пребывания с ним благодаря их общим интересам в математике. Однажды, изучая трактат Аполлония о сравнении додекаэдра и икосаэдра, вписанных в одну и ту же сферу, то есть о соотношении между ними, они пришли к выводу, что подход Аполлония к этой проблеме в данной книге неверен. Как я узнал от отца, они приступили к исправлению и переписыванию этого трактата. Впоследствии я обнаружил другую книгу Аполлония, содержащую доказательство этого вопроса, и меня очень заинтересовало его исследование. Книга Аполлония доступна всем, поскольку она широко распространена в виде, который, по-видимому, является результатом последующей тщательной доработки».

From this passage Apollonius can be approximately dated, but specific birth and death years stated by modern scholars are only speculative. Ptolemy III Euergetes ("benefactor") was third Greek dynast of Egypt in the Diadochi succession, who reigned 246–222/221 BC. "Times" are always recorded by ruler or officiating magistrate, so Apollonius was likely born after 246. The identity of Herakleios is uncertain. Perga was a Hellenized city in Pamphylia, Anatolia, whose ruins yet stand. It was a center of Hellenistic culture. Eutocius appears to associate Perga with the Ptolemaic dynasty of Egypt. Never under Egypt, Perga in 246 BC belonged to the Seleucid Empire, an independent diadochi state ruled by the Seleucid dynasty. During the last half of the 3rd century BC, Perga changed hands a number of times, being alternatively under the Seleucids and under the Attalids of Pergamon to the north. Someone designated "of Perga" might be expected to have lived and worked there; to the contrary, if Apollonius was later identified with Perga, it was not on the basis of his residence. The remaining autobiographical material implies that he lived, studied, and wrote in Alexandria. A letter by the Greek mathematician and astronomer Hypsicles was originally part of the supplement taken from Euclid's Book XIV, part of the thirteen books of Euclid's Elements. Basilides of Tyre, O Protarchus, when he came to Alexandria and met my father, spent the greater part of his sojourn with him on account of the bond between them due to their common interest in mathematics. And on one occasion, when looking into the tract written by Apollonius about the comparison of the dodecahedron and icosahedron inscribed in one and the same sphere, that is to say, on the question what ratio they bear to one another, they came to the conclusion that Apollonius' treatment of it in this book was not correct; accordingly, as I understood from my father, they proceeded to amend and rewrite it. But I myself afterwards came across another book published by Apollonius, containing a demonstration of the matter in question, and I was greatly attracted by his investigation of the problem. Now the book published by Apollonius is accessible to all; for it has a large circulation in a form which seems to have been the result of later careful elaboration.

Префиксы автобиографии

Некоторые автобиографические сведения можно найти в сохранившихся предисловиях к книгам «Конические». Это письма, которые Аполлоний адресовал влиятельным друзьям с просьбой рассмотреть книгу, приложенную к письму. Первые два предисловия адресованы Эвдему из Пергама. Эвдем, вероятно, был или стал главой исследовательского центра Музея Пергама, города, известного своими книгами и производством пергамента, от которого и произошло название «пергамент». Исследования в греческих математических учреждениях, которые следовали модели Афинского Ликея, были частью образовательных усилий, к которым библиотека и музей были присоединены. В государстве была только одна такая школа, под королевским покровительством. Книги были редкими и дорогими, и их коллекционирование было королевской обязанностью. В предисловии к Книге I Аполлоний сообщает Эвдему, что первые четыре книги посвящены разработке основ, а последние четыре – специальным темам. Аполлоний напоминает Эвдему, что «Конические» изначально были запрошены Наукратом, геометром и гостем в Александрии, о котором иначе ничего не известно из истории. Аполлоний предоставил Наукрату первый черновик всех восьми книг, но он называет их «недостаточно очищенными» и намеревался проверить и исправить книги, публикуя каждую из них по мере ее завершения. Услышав об этом плане от самого Аполлония, посетившего Пергам, Эвдем настоял на том, чтобы Аполлоний присылал ему каждую книгу перед публикацией. На этом этапе Аполлоний, вероятно, был еще молодым геометром, который, по словам Паппа, оставался в Александрии с учениками Евклида (задолго после жизни Евклида), возможно, на завершающем этапе своего образования. Эвдем мог быть наставником Аполлония во время его пребывания в Пергаме. Между первым и вторым предисловиями есть пробел. Аполлоний послал своего сына, также по имени Аполлоний, чтобы тот доставил второе. Он говорит с большей уверенностью, предлагая Эвдему использовать книгу в специальных учебных группах. Аполлоний упоминает о встрече с Филонидом из Лаодикеи, геометром, которого он представил Эвдему в Эфесе, и который стал учеником Эвдема. Филонид жил в основном в Сирии в первой половине II века до н.э. Неизвестно, указывает ли эта встреча на то, что Аполлоний теперь жил в Эфесе; интеллектуальное сообщество Средиземноморья было космополитичным, и ученые в этот «золотой век математики» искали работу за границей, посещали друг друга, читали работы друг друга, вносили предложения, рекомендовали студентов и общались посредством какой-то почтовой службы. Сохранилось множество писем. Предисловие к Книге III отсутствует, и в этот период Эвдем умер, как сообщает Аполлоний в предисловии к Книге IV. Предисловия к Книгам IV–VII более формальны, они представляют собой простое изложение, не содержащее личной информации. Все четыре адресованы таинственному Атталу, выбор которого, по словам Аполлония, был сделан «из-за вашего искреннего желания обладать моими трудами». Предположительно, Аттал был важной фигурой, которой следовало отправить рукописи Аполлония. Одна из теорий состоит в том, что Аттал – это Аттал II Филадельф (220–138 гг. до н.э.), генерал и защитник Пергама, чей брат Евмен II был королем, и который стал соправителем после болезни своего брата в 160 г. до н.э. и вступил на престол в 158 г. до н.э. Оба брата были покровителями искусств, расширив библиотеку до международного масштаба. Аттал был современником Филонида, и мотив Аполлония соответствует инициативе Аттала по сбору книг. В Предисловии VII Аполлоний описывает Книгу VIII как «приложение, которое я позабочусь отправить вам как можно скорее». Нет никаких записей о том, что она была отправлена, и Аполлоний, возможно, умер, не закончив ее. Однако Папп Александрийский предоставил к ней леммы, поэтому она, должно быть, находилась в обращении в какой-то форме.

Some autobiographical material can be found in the surviving prefaces to the books of Conics. These are letters Apollonius addressed to influential friends asking them to review the book enclosed with the letter. The first two prefaces are addressed to Eudemus of Pergamon. Eudemus likely was or became the head of the research center of the Museum of Pergamon, a city known for its books and parchment industry from which the name parchment is derived. Research in Greek mathematical institutions, which followed the model of the Athenian Lycaeum, was part of the educational effort to which the library and museum were adjunct. There was only one such school in the state, under royal patronage. Books were rare and expensive and collecting them was a royal obligation. Apollonius's preface to Book I tells Eudemus that the first four books were concerned with the development of elements while the last four were concerned with special topics. Apollonius reminds Eudemus that Conics was initially requested by Naucrates, a geometer and house guest at Alexandria otherwise unknown to history. Apollonius provided Naucrates the first draft of all eight books, but he refers to them as being "without a thorough purgation", and intended to verify and correct the books, releasing each one as it was completed. Having heard this plan from Apollonius himself, who visited Pergamon, Eudemus insisted Apollonius send him each book before release. At this stage Apollonius was likely still a young geometer, who according to Pappus stayed at Alexandria with the students of Euclid (long after Euclid's time), perhaps the final stage of his education. Eudemus may have been a mentor from Appolonius' time in Pergamon. There is a gap between the first and second prefaces. Apollonius has sent his son, also named Apollonius, to deliver the second. He speaks with more confidence, suggesting that Eudemus use the book in special study groups. Apollonius mentions meeting Philonides of Laodicea, a geometer whom he introduced to Eudemus in Ephesus, and who became Eudemus' student. Philonides lived mainly in Syria during the 1st half of the 2nd century BC. Whether the meeting indicates that Apollonius now lived in Ephesus is unresolved; the intellectual community of the Mediterranean was cosmopolitan and scholars in this "golden age of mathematics" sought employment internationally, visited each other, read each other's works and made suggestions, recommended students, and communicated via some sort of postal service. Surviving letters are abundant. The preface to Book III is missing, and during the interval Eudemus died, says Apollonius in the preface to Book IV. Prefaces to Books IV–VII are more formal, mere summaries omitting personal information. All four are addressed to a mysterious Attalus, a choice made, Apollonius says, "because of your earnest desire to possess my works". Presumably Attalus was important to be sent Apollonius' manuscripts. One theory is that Attalus is Attalus II Philadelphus (220–138 BC), general and defender of Pergamon whose brother Eumenes II was king, and who became co regent after his brother's illness in 160 BC and acceded to the throne in 158 BC. Both brothers were patrons of the arts, expanding the library into international magnificence. Attalus was a contemporary of Philonides and Apollonius' motive is consonant with Attalus' book collecting initiative. In Preface VII Apollonius describes Book VIII as "an appendix which I will take care to send you as speedily as possible." There is no record that it was ever sent, and Apollonius might have died before finishing it. Pappus of Alexandria, however, provided lemmas for it, so it must have been in circulation in some form.

Конические

Аполлоний был плодовитым геометром, создавшим множество работ. Сохранился лишь один труд – «Конические сечения». Из восьми книг «Конических сечений» в качестве оригинальных непереведенных текстов Аполлония сохранились только первые четыре. Книги 5–7 доступны лишь в арабском переводе, выполненном Тхабитом ибн Куррой по заказу Бану Мусы; оригинальный греческий текст утрачен. О судьбе Книги 8 ничего не известно. Существовал первоначальный вариант, но неизвестно, был ли создан окончательный. Существует «реконструкция» Книги 8, выполненная Эдмондом Галлеем на латыни, однако невозможно установить, насколько она соответствует оригинальному тексту Аполлония. В греческом тексте «Конических сечений» используется структура, принятая Евклидом: определения, фигуры и их части, то есть исходные данные, за которыми следуют теоремы, подлежащие доказательству. Книги I–VII содержат 387 теорем. Подобную структуру можно встретить в любом современном учебнике геометрии, посвященном традиционным темам. Как и в любом математическом курсе, материал очень насыщенный и требует внимательного, неторопливого изучения. Аполлоний имел план для каждой книги, который частично описан в предисловиях. Заголовки, указывающие на этот план, встречаются не всегда, поскольку Аполлоний больше полагался на логическую последовательность изложения тем.

Книга II

Вторая книга содержит 53 положения. Аполлоний заявляет, что намеревался охватить "свойства, касающиеся диаметров и осей, а также асимптот и других вещей, определяющих пределы возможного". Его определение "диаметра" отличается от общепринятого, и он считает необходимым направить адресата письма к своему труду для ознакомления с ним. Упомянутые элементы определяют форму и построение фигур. Касательные рассматриваются в конце книги.

Книга III

Книга III содержит 56 положений. Аполлоний заявляет, что впервые открыл теоремы, "полезные для построения пространственных геометрических мест – трехлинейного и четырелинейного геометрических мест". Геометрическое место конического сечения – это само сечение. Задача о трехлинейном геометрическом месте (как изложено в приложении Талиаферо к книге III) определяет "геометрическое место точек, для которых расстояния до трех заданных фиксированных прямых таковы, что квадрат одного из расстояний постоянно относится в определенном отношении к произведению двух других расстояний". Это доказательство применения площадей, приводящее к параболе. Задача о четырехлинейном геометрическом месте приводит к эллипсу и гиперболе. Аналитическая геометрия выводит те же геометрические места из более простых критериев, опирающихся на алгебру, а не на геометрию, за что Декарт получил высокую оценку. Он превосходит Аполлония в своих методах.

Книга IV

Книга IV содержит 57 положений. Она была отправлена Атталу, а не Эудему, и поэтому отражает его более зрелые геометрические идеи. Тема достаточно узкая: «наибольшее число точек, в которых сечения конуса могут пересекаться между собой или с окружностью круга». Тем не менее, он говорит об этом с энтузиазмом, называя их «весьма полезными» при решении задач (Предисловие 4).

Книга V

Книга V, известная лишь по переводу с арабского, содержит 77 положений, больше, чем любая другая книга. Они охватывают эллипс (50 положений), параболу (22) и гиперболу (28). Это не является явной темой, которую Аполлоний в Префациях I и V называет максимальными и минимальными линиями. Эти термины не объясняются. В отличие от Книги I, Книга V не содержит определений и пояснений. Эта неоднозначность привлекла внимание исследователей Аполлония, которым необходимо интерпретировать без уверенного знания значения основных терминов книги. До недавнего времени преобладала точка зрения Хита: линии следует рассматривать как нормали к сечениям. Нормаль в данном случае – это перпендикуляр к кривой в точке касания, иногда называемой ногой. Если сечение построено в соответствии с системой координат Аполлония (см. ниже в разделе «Методы Аполлония»), с диаметром (переведенным Хитом как ось) на оси x и вершиной в начале координат слева, фразеология положений указывает на то, что минимумы/максимумы следует искать между сечением и осью. Хита приходит к такому мнению, рассматривая фиксированную точку p на сечении, служащую одновременно точкой касания и одним из концов линии. Минимальное расстояние между p и некоторой точкой g на оси должно быть нормалью из p. В современной математике нормали к кривым известны как местоположение центра кривизны небольшой части кривой, расположенной вокруг ноги. Расстояние от ноги до центра – это радиус кривизны. Последний является радиусом окружности, но для кривых, отличных от окружностей, небольшую дугу можно приблизить круговой дугой. Кривизна некруговых кривых, например, конических сечений, должна изменяться вдоль сечения. Карта центра кривизны, то есть его локус, при перемещении ноги по сечению, называется эволютой сечения. Такая фигура, край последовательных положений линии, сегодня называется огибающей. Хит полагал, что в Книге V Аполлоний устанавливает логическую основу теории нормалей, эволют и огибающих. На протяжении всего XX века Хит считался авторитетным толкователем Книги V, но с наступлением нового столетия произошла смена взглядов. В 2001 году исследователи Аполлония Фрид и Унгуру, отдавая должное другим главам Хита, оспорили историчность анализа Хита Книги V, утверждая, что он «перерабатывает оригинал, чтобы сделать его более приемлемым для современного математика – это то, что делает работу Хита сомнительной ценностью для историка, раскрывая скорее ум Хита, чем Аполлония». Некоторые из его аргументов сводятся к следующему. В префациях или книгах нет упоминания о том, что максимумы/минимумы являются сами по себе нормалями. Из 50 положений Хита, которые, как утверждается, охватывают нормали, только 7 (Книга V: 27–33) указывают или подразумевают, что максимальные/минимальные линии перпендикулярны касательным. Фрид классифицирует эти 7 как изолированные, не связанные с основными положениями книги. Они ни в коем случае не подразумевают, что максимумы/минимумы в целом являются нормалями. В своем обширном исследовании остальных 43 положений Фрид доказывает, что многие из них не могут быть таковыми. Фрид и Унгуру противопоставляют этому, представляя Аполлония как продолжение прошлого, а не предвестие будущего. Прежде всего, это полное филологическое исследование всех ссылок на минимальные и максимальные линии, которое раскрывает стандартную фразеологию. Существует три группы по 20–25 положений каждая. Первая группа содержит фразу «от точки на оси к сечению», что является полной противоположностью гипотетической «от точки на сечении к оси». Первая не обязательно должна быть нормалью к чему-либо, хотя это возможно. При наличии фиксированной точки на оси, из всех линий, соединяющих ее со всеми точками сечения, одна будет самой длинной (максимальной), а другая – самой короткой (минимальной). Другие фразы: «в сечении», «проведенная из сечения», «отсеченная между сечением и его осью», «отсеченная осью», – все они относятся к одному и тому же образу. По мнению Фрида и Унгуру, тема Книги V – это именно то, что говорит Аполлоний, максимальные и минимальные линии. Это не кодовые слова для будущих концепций, а относятся к древним концепциям, которые использовались в то время. Авторы ссылаются на Евклида, «Элементы», Книга III, которая посвящена окружностям, а также максимальным и минимальным расстояниям от внутренних точек до окружности. Не допуская какой-либо конкретной обобщенности, они используют такие термины, как «подобно» или «аналог». Они известны тем, что ввели термин «подобный неузису». Построение неузиса было методом подгонки данного отрезка между двумя заданными кривыми. Дан точке P и линейке с отмеченным на ней отрезком, вращают линейку вокруг P, пересекая две кривые, пока отрезок не будет подогнан между ними. В Книге V точка P – это точка на оси. Вращая линейку вокруг нее, можно обнаружить расстояния до сечения, из которых можно определить минимум и максимум. Эта техника не применяется к данной ситуации, поэтому это не неузис. Авторы используют термин «подобный неузису», видя архетипическое сходство с древним методом. Перевод, датированный гораздо более ранним временем, происходит из школы Альмамона, под названием Banū Mūsā, «сыновья Мусы», группы из трех братьев, живших в IX веке. Перевод был выполнен писателями, работавшими на них. Отмечая, что «очевидный объем трактата отпугнул многих от попыток ознакомиться с ним», он обещает добавить заголовки, поверхностно изменить организацию и уточнить текст современной нотацией. Таким образом, его работа ссылается на две системы организации, свою собственную и организацию Аполлония, со ссылками в скобках.

Book V, known only through translation from the Arabic, contains 77 propositions, the most of any book. They cover the ellipse (50 propositions), the parabola (22), and the hyperbola (28). These are not explicitly the topic, which in Prefaces I and V Apollonius states to be maximum and minimum lines. These terms are not explained. In contrast to Book I, Book V contains no definitions and no explanation. The ambiguity has served as a magnet to exegetes of Apollonius, who must interpret without sure knowledge of the meaning of the book's major terms. Until recently Heath's view prevailed: the lines are to be treated as normals to the sections. A normal in this case is the perpendicular to a curve at a tangent point sometimes called the foot. If a section is plotted according to Apollonius’ coordinate system (see below under Methods of Apollonius), with the diameter (translated by Heath as the axis) on the x axis and the vertex at the origin on the left, the phraseology of the propositions indicates that the minima/maxima are to be found between the section and the axis. Heath is led into his view by consideration of a fixed point p on the section serving both as tangent point and as one end of the line. The minimum distance between p and some point g on the axis must then be the normal from p.

In modern mathematics, normals to curves are known for being the location of the center of curvature of that small part of the curve located around the foot. The distance from the foot to the center is the radius of curvature. The latter is the radius of a circle, but for other than circular curves, the small arc can be approximated by a circular arc. The curvature of non circular curves; e. g., the conic sections, must change over the section. A map of the center of curvature; i. e., its locus, as the foot moves over the section, is termed the evolute of the section. Such a figure, the edge of the successive positions of a line, is termed an envelope today. Heath believed that in Book V we are seeing Apollonius establish the logical foundation of a theory of normals, evolutes, and envelopes. Heath's was accepted as the authoritative interpretation of Book V for the entire 20th century, but the changing of the century brought with it a change of view. In 2001, Apollonius scholars Fried & Unguru, granting all due respect to other Heath chapters, balked at the historicity of Heath's analysis of Book V, asserting that he “reworks the original to make it more congenial to a modern mathematician this is the kind of thing that makes Heath’s work of dubious value for the historian, revealing more of Heath’s mind than that of Apollonius.” Some of his arguments are in summary as follows. There is no mention of maxima/minima being per se normals in either the prefaces or the books proper. Out of Heath's selection of 50 propositions said to cover normals, only 7, Book V: 27–33, state or imply maximum/minimum lines being perpendicular to the tangents. These 7 Fried classifies as isolated, unrelated to the main propositions of the book. They do not in any way imply that maxima/minima in general are normals. In his extensive investigation of the other 43 propositions, Fried proves that many cannot be. Fried and Unguru counter by portraying Apollonius as a continuation of the past rather than a foreshadowing of the future. First is a complete philological study of all references to minimum and maximum lines, which uncovers a standard phraseology. There are three groups of 20 25 propositions each. The first group contains the phrase “from a point on the axis to the section,” which is exactly the opposite of a hypothetical “from a point on the section to the axis.” The former does not have to be normal to anything, although it might be. Given a fixed point on the axis, of all the lines connecting it to all the points of the section, one will be longest (maximum) and one shortest (minimum). Other phrases are “in a section,” “drawn from a section,” “cut off between the section and its axis,” cut off by the axis,” all referring to the same image. In the view of Fried and Unguru, the topic of Book V is exactly what Apollonius says it is, maximum and minimum lines. These are not code words for future concepts, but refer to ancient concepts then in use. The authors cite Euclid, Elements, Book III, which concerns itself with circles, and maximum and minimum distances from interior points to the circumference. Without admitting to any specific generality they use terms such as “like” or “the analog of.” They are known for innovating the term “neusis like.” A neusis construction was a method of fitting a given segment between two given curves. Given a point P, and a ruler with the segment marked off on it. one rotates the ruler around P cutting the two curves until the segment is fitted between them. In Book V, P is the point on the axis. Rotating a ruler around it, one discovers the distances to the section, from which the minimum and maximum can be discerned. The technique is not applied to the situation, so it is not neusis. The authors use neusis like, seeing an archetypal similarity to the ancient method. The translation, dated much earlier, comes from the branch of Almamon's school entitled the Banū Mūsā, “sons of Musa,” a group of three brothers, who lived in the 9th century. The translation was performed by writers working for them. Commenting that "the apparently portentious bulk of the treatise has deterred many from attempting to make its acquaintance", he promises to add headings, changing the organization superficially, and to clarify the text with modern notation. His work thus references two systems of organization, his own and Apollonius', parenthetically cross referenced.

Колледж Святого Иоанна

Хит был активен в конце XIX и начале XX века, скончавшись в 1940 году, но в то же время сформировалась иная точка зрения. Колледж Святого Иоанна (Аннаполис/Санта-Фе), который с колониальных времен являлся военной школой, предшествуя Военно-морской академии Соединенных Штатов в Аннаполисе, штат Мэриленд, к которой он примыкает, в 1936 году лишился аккредитации и оказался на грани банкротства. В отчаянии совет директоров пригласил Стрингфелло Барра и Скотта Бьюкенена из Чикагского университета, где они разрабатывали новую теоретическую программу обучения классическим дисциплинам. Воспользовавшись возможностью, в 1937 году они ввели в колледже Святого Иоанна "новую программу", позднее получившую название "Программа великих книг" – учебный план с фиксированным набором произведений ключевых авторов, внесших вклад в культуру западной цивилизации. В колледже Святого Иоанна Аполлония стали изучать как самостоятельного автора, а не как дополнение к аналитической геометрии. "Наставником" Аполлония был Р. Кэйтсби Талияферро, получивший степень доктора философии в 1937 году в Университете Вирджинии. Он преподавал до 1942 года, а затем еще один год в 1948 году, самостоятельно выполняя английские переводы, включая "Альмагест" Птолемея и "Конические сечения" Аполлония. Эти переводы вошли в серию "Великие книги западного мира" Британской энциклопедии. Включены только книги I и III, с приложением, посвященным специальным темам (перевод книги IV "Конических сечений" Майкла Н. Фрида был выполнен в 2002 году). В отличие от Хита, Талияферро не пытался реорганизовать Аполлония, даже поверхностно, или переписывать его. Его перевод на современный английский язык достаточно точно следует за греческим оригиналом. Он в некоторой степени использует современную геометрическую нотацию.

Классическая библиотека Лоеба

Одновременно с работой Талияферро, Айвор Томас, оксфордский преподаватель эпохи Второй мировой войны, проявлял большой интерес к греческой математике. Он задумал составить сборник избранных текстов, который был завершен во время его военной службы в качестве офицера в Королевском Норфолкском полку. После войны сборник был опубликован в библиотеке Лоэба, где занимает два тома, полностью переведенные Томасом, с греческим текстом на одной странице и английским на другой, как это принято в серии Лоэба. Работа Томаса стала справочником для изучения золотого века греческой математики. В отношении работ Аполлония он включил преимущественно те части первой книги, которые содержат определения сечений.

Другие работы

Остальные работы Аполлония существуют лишь в виде фрагментов или утрачены. Многие из утраченных работ описаны или упоминаются в комментариях. Помимо этого, другие авторы приписывают Аполлонию идеи, не подкрепляя их документально. Независимо от достоверности, это лишь сведения из вторых рук. Некоторые авторы считают Аполлония автором определенных идей, которые впоследствии были названы его именем. Другие пытаются выразить идеи Аполлония, используя современную нотацию или терминологию, с разной степенью соответствия оригиналу. Эдмонд Галлей реконструировал трактаты «О делении отношения» и «О делении пространства». Помимо этих работ, за исключением нескольких фрагментов, любые документы, которые можно было бы интерпретировать как происходящие от Аполлония, обрываются.

De Rationis Sectione (Обсуждение по существу)

De Rationis Sectione стремился решить простую задачу: имея две прямые и точку на каждой из них, провести через третью заданную точку прямую, пересекающую эти две прямые, так, чтобы отрезки, высекаемые на этих прямых между заданными точками и точками пересечения с проведенной прямой, имели заданное отношение.

Отряд "Открытие"

De Spatii Sectione рассматривал схожую задачу, требующую, чтобы прямоугольник, образованный двумя точками пересечения, был равен заданному прямоугольнику. В конце XVII века Эдвард Бернард обнаружил версию De Rationis Sectione в Бодлейской библиотеке. Хотя он и начал перевод, закончил его Галлей и включил в издание 1706 года вместе со своим восстановлением De Spatii Sectione.

De Sectione Determinata (Определённая секция)

De Sectione Determinata рассматривает проблемы способом, который можно назвать аналитической геометрией одного измерения; а именно вопрос о нахождении точек на прямой, находящихся в определенном отношении к другим точкам. Конкретные задачи заключаются в следующем: даны две, три или четыре точки на прямой, требуется найти другую точку на этой прямой, так чтобы расстояния от неё до данных точек удовлетворяли условию, что квадрат, построенный на одной из точек, или прямоугольник, содержащий две точки, имели заданное отношение либо (1) к квадрату, построенному на оставшейся точке, или к прямоугольнику, содержащему оставшиеся две точки, либо (2) к прямоугольнику, содержащему одну из оставшихся точек и заданную прямую. Многие пытались восстановить текст, чтобы обнаружить решение Аполлония, среди них Снеллиус (Уиллеброрд Снелл, Лейден, 1698); Александр Андерсон из Абердина, в приложении к его "Apollonius Redivivus" (Париж, 1612); и Роберт Симсон в его "Opera quaedam reliqua" (Глазго, 1776) – безусловно, наиболее удачная попытка.

Де Такшнюбус

De Tactionibus охватывает следующую общую задачу: заданы три объекта (точки, прямые линии или окружности) в определенном положении, постройте окружность, проходящую через заданные точки и касающуюся заданных прямых линий или окружностей. Наиболее сложный и исторически значимый случай возникает, когда заданными объектами являются три окружности. В XVI веке Виет представил эту задачу (иногда известную как Аполлониева задача) Адриану Роману, который решил её с помощью гиперболы. После этого Виет предложил более простое решение, что в конечном итоге привело его к восстановлению всего трактата Аполлония в небольшом труде Apollonius Gallus (Париж, 1600). История этой задачи подробно исследуется в предисловии к краткому изданию Дж. В. Камерера "Apollonii Pergaei quae supersunt, ac maxime Lemmata Pappi in hos Libras, cum Observationibus, &c" (Готэ, 1795, 8vo).

Де Инклиннациябус

Целью труда «De Inclinationibus» было показать, как прямую линию заданной длины, направленную к заданной точке, можно вписать между двумя заданными (прямыми или окружными) линиями. Хотя Марин Гетальдич и Хьюго д’Омерик (Геометрический анализ, Кадис, 1698) предпринимали попытки восстановления, наиболее удачное восстановление выполнил Сэмюэль Хорсли (1770).

Де Локис Планис

De Locis Planis — это сборник положений, касающихся геометрических мест, которые представляют собой либо прямые линии, либо окружности. Поскольку Папп приводит достаточно подробное изложение своих положений, предпринимались попытки восстановить и этот текст, не только П. Ферма (Oeuvres, i., 1891, с. 3–51) и Ф. Схоотен (Лейден, 1656), но и, наиболее успешно, Р. Симсон (Глазго, 1749).

Вклад в астрономию

Эквивалентность двух описаний движения планет, одно основанное на эксцентрисах, а другое – на деференте и эпициклах, приписывается Аполлонию. Птолемей описывает эту эквивалентность в "Альмагесте".

Методы Аполлония

По словам Хита, "Методы Аполлония" не были его личными разработками; любое влияние, которое он оказал на последующих теоретиков, было влиянием геометрии, а не его собственных технических новшеств. Хит утверждает:

"В качестве введения к детальному рассмотрению методов, используемых в "Конических сечениях", можно в общем отметить, что они последовательно следуют общепринятым принципам геометрического исследования, которые получили окончательное выражение в "Началах" Евклида. Когда современные исследователи говорят о геометрах классической эпохи, они используют термин "метод" для обозначения наглядного, реконструктивного способа, с помощью которого геометр получает результат, эквивалентный тому, что сегодня достигается с помощью алгебры. Например, алгебраический метод вычисления площади квадрата заключается в возведении в квадрат длины его стороны; аналогичный геометрический метод – построение квадрата наглядно. Геометрические методы классической эпохи позволяли получить большинство результатов элементарной алгебры."

Геометрическая алгебра

Хит продолжает использовать термин «геометрическая алгебра» для обозначения методов всего золотого века. Этот термин был определен Генри Бурчардом Файном в 1890 году или ранее, который применил его к работе «La Géométrie» Рене Декарта – первой полноценной работе по аналитической геометрии. Устанавливая в качестве предварительного условия, что «две алгебры формально идентичны, если их основные операции формально одинаковы», Файн утверждает, что работа Декарта – это не просто числовая алгебра, а то, что, по нехватке лучшего названия, можно назвать алгеброй линейных отрезков. Его символика такая же, как и в численной алгебре.

Например, в трудах Аполлония отрезок AB (линия между точкой A и точкой B) также является числовой длиной этого отрезка и может иметь любую величину. Следовательно, AB становится эквивалентным алгебраической переменной, такой как x (неизвестное), которой можно присвоить любое значение, например, x = 3. В Аполлонии переменные определяются посредством таких формулировок, как «пусть AB будет расстоянием от любой точки на сечении до диаметра», – практика, которая сохраняется в алгебре и сегодня. Каждый студент, изучающий базовую алгебру, должен научиться преобразовывать «текстовые задачи» в алгебраические переменные и уравнения, к которым применяются правила алгебры для решения относительно x. У Аполлония не было таких правил. Его решения геометрические. Отношения, которые трудно представить наглядно, были ему недоступны; однако его набор наглядных решений исходил из обширного запаса сложных геометрических решений, которые обычно не известны (или не требуются) в настоящее время. Хорошо известным исключением является незаменимая теорема Пифагора, которая и сейчас изображается в виде прямоугольного треугольника с квадратами на его сторонах, иллюстрирующими выражение a² + b² = c². Греческие геометры называли эти члены «квадратом на AB» и т.п. Аналогично, площадь прямоугольника, образованного отрезками AB и CD, называлась «прямоугольником на AB и CD». Эти концепции предоставили греческим геометрам алгебраический доступ к линейным и квадратичным функциям, которыми являются конические сечения. Они содержат степени 1 или 2 соответственно. Аполлоний не особо нуждался в кубах (которые используются в стереометрии), хотя конус является объемной фигурой. Его интересовали конические сечения, которые являются плоскими фигурами. Степени 4 и выше были за пределами визуализации, требуя уровня абстракции, недоступного в геометрии, но легко доступного в алгебре.

Координатная система Аполлония

Все обычные измерения длины в общественных единицах, таких как дюйм, с использованием стандартных общественных приборов, таких как линейка, подразумевают общественное признание картезианской сетки, то есть поверхности, разделенной на единичные квадраты, например, квадратный дюйм, и пространства, разделенного на единичные кубы, например, кубический дюйм. Древнегреческие единицы измерения предоставили греческим математикам такую сетку еще со времен бронзового века. До Аполлония Менахм и Архимед уже начали располагать свои фигуры в подразумеваемом окне общей сетки, ссылаясь на расстояния, которые предполагалось измерять от вертикальной линии слева, обозначающей минимальное значение, и горизонтальной линии снизу, обозначающей минимальное значение, причем направления были прямолинейными или перпендикулярными друг другу. Эти края окна становятся, в картезианской системе координат, осями. В этой системе координаты определяются как прямолинейные расстояния любой точки от осей. У древних греков не было такого соглашения; они просто указывали расстояния. У Аполлония есть стандартное окно, в котором он размещает свои фигуры. Вертикальное измерение ведется от горизонтальной линии, которую он называет «диаметром». Слово в греческом языке такое же, как и в английском, но греческое значение несколько шире. Если фигура конического сечения пересечена сеткой параллельных линий, диаметр делит пополам все отрезки, заключенные между ветвями фигуры. Он должен проходить через вершину (koruphe, «корона»). Таким образом, диаметр охватывает как открытые фигуры, такие как парабола, так и замкнутые, такие как окружность. Нет указания на то, что диаметр должен быть перпендикулярен параллельным линиям, но Аполлоний использует только прямолинейные. Прямолинейное расстояние от точки на сечении до диаметра в греческом языке называется тетагменос, что этимологически означает просто «продолженный». Поскольку он всегда «продолжается» вниз (kata) или «вверх» (ana), переводчики интерпретируют его как ординату. В этом случае диаметр становится осью x, а вершина — началом координат. Тогда ось y становится касательной к кривой в вершине. Абсцисса определяется как отрезок диаметра между ординатой и вершиной. Используя свою версию системы координат, Аполлоний разрабатывает в графической форме геометрические эквиваленты уравнений конических сечений, что ставит вопрос о том, можно ли считать его систему координат картезианской. Существуют некоторые различия. Картезианская система рассматривается как универсальная, охватывающая все фигуры во всем пространстве и применяемая до выполнения каких-либо вычислений. Она имеет четыре квадранта, разделенные двумя пересекающимися осями. Три из квадрантов включают отрицательные координаты, обозначающие направления, противоположные осям отсчета, принимающим значение ноль. У Аполлония нет отрицательных чисел, нет явного обозначения нуля, и он не разрабатывает систему координат независимо от конических сечений. Он работает, по сути, только в первом квадранте, используя только положительные координаты. Карл Бойер, современный историк математики, поэтому говорит:

All ordinary measurement of length in public units, such as inches, using standard public devices, such as a ruler, implies public recognition of a Cartesian grid; that is, a surface divided into unit squares, such as one square inch, and a space divided into unit cubes, such as one cubic inch. The ancient Greek units of measurement had provided such a grid to Greek mathematicians since the Bronze Age. Prior to Apollonius, Menaechmus and Archimedes had already started locating their figures on an implied window of the common grid by referring to distances conceived to be measured from a left hand vertical line marking a low measure and a bottom horizontal line marking a low measure, the directions being rectilinear, or perpendicular to one another. These edges of the window become, in the Cartesian coordinate system, the axes. One specifies the rectilinear distances of any point from the axes as the coordinates. The ancient Greeks did not have that convention. They simply referred to distances. Apollonius does have a standard window in which he places his figures. Vertical measurement is from a horizontal line he calls the “diameter.” The word is the same in Greek as it is in English, but the Greek is somewhat wider in its comprehension. If the figure of the conic section is cut by a grid of parallel lines, the diameter bisects all the line segments included between the branches of the figure. It must pass through the vertex (koruphe, "crown"). A diameter thus comprises open figures such as a parabola as well as closed, such as a circle. There is no specification that the diameter must be perpendicular to the parallel lines, but Apollonius uses only rectilinear ones. The rectilinear distance from a point on the section to the diameter is termed tetagmenos in Greek, etymologically simply “extended.” As it is only ever extended “down” (kata ) or “up” (ana ), the translators interpret it as ordinate. In that case the diameter becomes the x axis and the vertex the origin. The y axis then becomes a tangent to the curve at the vertex. The abscissa is then defined as the segment of the diameter between the ordinate and the vertex. Using his version of a coordinate system, Apollonius manages to develop in pictorial form the geometric equivalents of the equations for the conic sections, which raises the question of whether his coordinate system can be considered Cartesian. There are some differences. The Cartesian system is to be regarded as universal, covering all figures in all space applied before any calculation is done. It has four quadrants divided by the two crossed axes. Three of the quadrants include negative coordinates meaning directions opposite the reference axes of zero. Apollonius has no negative numbers, does not explicitly have a number for zero, and does not develop the coordinate system independently of the conic sections. He works essentially only in Quadrant 1, all positive coordinates. Carl Boyer, a modern historian of mathematics, therefore says:

Однако греческая геометрическая алгебра не предусматривала отрицательных величин; более того, система координат в каждом случае накладывалась a posteriori на данную кривую для изучения ее свойств. Аполлоний, величайший геометр античности, не смог разработать аналитическую геометрию.

Тем не менее, по словам Бойера, подход Аполлония к кривым в некотором роде схож с современным, и его работа, кажется, предвосхищает аналитическую геометрию. Аполлоний занимает своего рода промежуточное положение между системой сетки обычных измерений и полностью развитой картезианской системой координат аналитической геометрии. При чтении Аполлония следует избегать приписывания его терминам современных значений.