Кіріспе
Дифференциалдық геометрия теоремасы
Gauss's Theorema Egregium (Latin for "Remarkable Theorem") is a major result of differential geometry, proved by Carl Friedrich Gauss in 1827, that concerns the curvature of surfaces. The theorem says that Gaussian curvature can be determined entirely by measuring angles, distances and their rates on a surface, without reference to the particular manner in which the surface is embedded in the ambient 3 dimensional Euclidean space. In other words, the Gaussian curvature of a surface does not change if one bends the surface without stretching it. Thus the Gaussian curvature is an intrinsic invariant of a surface. Gauss presented the theorem in this manner (translated from Latin):
Thus the formula of the preceding article leads itself to the remarkable Theorem. If a curved surface is developed upon any other surface whatever, the measure of curvature in each point remains unchanged. The theorem is "remarkable" because the starting definition of Gaussian curvature makes direct use of position of the surface in space. So it is quite surprising that the result does not depend on its embedding in spite of all bending and twisting deformations undergone. In modern mathematical terminology, the theorem may be stated as follows:
Гаустың Theorema Egregium ("Тамаша теорема" деген латын сөзі) – 1827 жылы Карл Фридрих Гаусс дәлелдеген дифференциалдық геометрияның маңызды нәтижесі, ол беттердің қисықтығына қатысты. Теорема Гаусс қисықтығын беттегі бұрыштар, қашықтықтар және олардың өзгеру жылдамдықтарын өлшеу арқылы анықтауға болады, бұл беттің үш өлшемді Евклид кеңістігіне қалай орналасқандығына сілтеме жасамайды. Яғни, беттің Гаусс қисықтығы оны созусыз ие білгенде де өзгермейді. Осылайша Гаусс қисықтығы – беттің ішкі инварианты. Гаусс теореманы былай түсіндірген (латын тілінен аударған): Осылайша, алдыңғы мақаланың формуласы тамаша теоремаға алып келеді. Егер қисық бет кез келген басқа бетке жайылса, әрбір нүктедегі қисықтық шамасы өзгермейді. Теорема "тамаша" деп аталады, себебі Гаусс қисықтығының бастапқы анықтамасы кеңістіктегі беттің орнын тікелей пайдаланады. Сондықтан, қанша иесіз және бұрылса да, нәтиже беттің кеңістіктегі орналасуына тәуелді емес болуы таң қалдырады. Қазіргі заманғы математикалық терминологияда теореманы былай айтуға болады:
Gauss's Theorema Egregium (Latin for "Remarkable Theorem") is a major result of differential geometry, proved by Carl Friedrich Gauss in 1827, that concerns the curvature of surfaces. The theorem says that Gaussian curvature can be determined entirely by measuring angles, distances and their rates on a surface, without reference to the particular manner in which the surface is embedded in the ambient 3 dimensional Euclidean space. In other words, the Gaussian curvature of a surface does not change if one bends the surface without stretching it. Thus the Gaussian curvature is an intrinsic invariant of a surface. Gauss presented the theorem in this manner (translated from Latin):
Thus the formula of the preceding article leads itself to the remarkable Theorem. If a curved surface is developed upon any other surface whatever, the measure of curvature in each point remains unchanged. The theorem is "remarkable" because the starting definition of Gaussian curvature makes direct use of position of the surface in space. So it is quite surprising that the result does not depend on its embedding in spite of all bending and twisting deformations undergone. In modern mathematical terminology, the theorem may be stated as follows:
Бастапқы қолдану
Радиусы R сфераның тұрақты Гаусс қисықтығы 1/R² тең. Сонымен қатар, жазықтықтың Гаусс қисықтығы нөлге тең. Theorema Egregium-нің салдары ретінде, қағазды шарға бүктеуге болмайды, әйтпесе ол жұмсарып кетеді. Керісінше, шардың бетін қашықтықты бұрмаламай, тегіс жазықтыққа жаюға болмайды. Егер біреу бос жұмыртқа қабығына басса, оның жиектері жалпақталу алдында кеңейіп, жарылуы керек. Математикалық тұрғыдан алғанда, сфера мен жазықтық тіпті жергілікті түрде де изометриялық емес. Бұл факт картография үшін маңызды: ол Жердің ешқандай жазық (тегіс) картасы, тіпті Жер бетінің бір бөлігі үшін де толыққанды бола алмайтынын көрсетеді. Осылайша, кез келген картографиялық проекция сөзсіз кем дегенде бірнеше қашықтықты бұрмалайды. Катеноид және геликоид – өте әртүрлі көрінетін екі бет. Дегенмен, олардың әрқайсысы бірте-бірте екіншісіне иіліп түрлендіріле алады: олар жергілікті түрде изометриялық. Theorema Egregium-нан шығатынындай, осы иілу кезінде катеноид пен геликоидтың сәйкес келетін кез келген екі нүктесіндегі Гаусс қисықтығы әрқашан бірдей болады. Демек, изометрия – бұл бетті іштен жұмсартусыз, жыртусыз, яғни қосымша кернеу, қысым немесе иілусіз иілу және бұру. Теореманың қолданылуы мысалы, жазық нысанды біршама бүктегенде немесе сызық бойымен иілгенде, перпендикуляр бағытта қатаңдық туындайды. Бұл құрылыста, сондай-ақ пицца жеудің кең таралған тәсілінде практикалық пайдалы: пиццаның тілімшесін тұрақты Гаусс қисықтығы 0 бар бет ретінде қарастыруға болады. Тілімшені ақырындап иілгенде, осы қисықтық шамамен сақталуы керек (егер иілу шамамен жергілікті изометрияны білдірсе). Егер тілімшені радиус бойымен көлденең иілсе, иілгіш бойында нөлдік емес басқы қисықтықтар пайда болады, бұл осы нүктелердегі екінші басқы қисықтықтың нөл болуын талап етеді. Бұл пішінін сақтап тұруға мүмкіндік береді, сондықтан пиццаны ысырапсыз жеуге қолайлы. Осы принциптің өзі гофрленген материалдарды, ең көп таралғаны – гофрленген картон және гофрленген мырышталған темірді, сондай-ақ кейбір картоп чиптерін нығайту үшін қолданылады.