Введение
Теорема дифференциальной геометрии Гаусса Theorema Egregium (латинское "Замечательная теорема") — основной результат дифференциальной геометрии, доказанный Карлом Фридрихом Гауссом в 1827 году, касающийся кривизны поверхностей. Теорема утверждает, что гауссову кривизну можно полностью определить, измеряя углы, расстояния и скорости их изменения на поверхности, без привязки к конкретному способу её вложения в окружающее трёхмерное евклидово пространство. Иными словами, гауссова кривизна поверхности не изменяется при её изгибании без растяжения. Таким образом, гауссова кривизна является внутренней инвариантой поверхности. Гаусс представил теорему следующим образом (перевод с латинского):
Gauss's Theorema Egregium (Latin for "Remarkable Theorem") is a major result of differential geometry, proved by Carl Friedrich Gauss in 1827, that concerns the curvature of surfaces. The theorem says that Gaussian curvature can be determined entirely by measuring angles, distances and their rates on a surface, without reference to the particular manner in which the surface is embedded in the ambient 3 dimensional Euclidean space. In other words, the Gaussian curvature of a surface does not change if one bends the surface without stretching it. Thus the Gaussian curvature is an intrinsic invariant of a surface. Gauss presented the theorem in this manner (translated from Latin):
Thus the formula of the preceding article leads itself to the remarkable Theorem. If a curved surface is developed upon any other surface whatever, the measure of curvature in each point remains unchanged. The theorem is "remarkable" because the starting definition of Gaussian curvature makes direct use of position of the surface in space. So it is quite surprising that the result does not depend on its embedding in spite of all bending and twisting deformations undergone. In modern mathematical terminology, the theorem may be stated as follows:
Таким образом, формула предыдущей статьи приводит к замечательной теореме. Если изогнутая поверхность разворачивается на любой другой поверхности, мера кривизны в каждой точке остаётся неизменной. Теорема "замечательна", поскольку исходное определение гауссовой кривизны напрямую использует положение поверхности в пространстве. Поэтому весьма удивительно, что результат не зависит от её вложения, несмотря на все изгибы и скручивания, которым она подвергается. В современной математической терминологии теорему можно сформулировать следующим образом:
Gauss's Theorema Egregium (Latin for "Remarkable Theorem") is a major result of differential geometry, proved by Carl Friedrich Gauss in 1827, that concerns the curvature of surfaces. The theorem says that Gaussian curvature can be determined entirely by measuring angles, distances and their rates on a surface, without reference to the particular manner in which the surface is embedded in the ambient 3 dimensional Euclidean space. In other words, the Gaussian curvature of a surface does not change if one bends the surface without stretching it. Thus the Gaussian curvature is an intrinsic invariant of a surface. Gauss presented the theorem in this manner (translated from Latin):
Thus the formula of the preceding article leads itself to the remarkable Theorem. If a curved surface is developed upon any other surface whatever, the measure of curvature in each point remains unchanged. The theorem is "remarkable" because the starting definition of Gaussian curvature makes direct use of position of the surface in space. So it is quite surprising that the result does not depend on its embedding in spite of all bending and twisting deformations undergone. In modern mathematical terminology, the theorem may be stated as follows:
Элементарные приложения
Сфера радиуса R имеет постоянную гауссову кривизну, которая равна 1/R². В то же время, плоскость имеет нулевую гауссову кривизну. Как следствие теоремы Egregium, лист бумаги нельзя согнуть на сферу без образования складок. И наоборот, поверхность сферы нельзя развернуть на плоскую плоскость без искажения расстояний. Если наступить на пустую яичную скорлупу, её края должны расколоться и расшириться, прежде чем стать плоскими. С математической точки зрения, сфера и плоскость не изометричны, даже локально. Этот факт имеет важное значение для картографии: он подразумевает, что ни одна плоская карта Земли не может быть идеальной, даже для части земной поверхности. Таким образом, каждая картографическая проекция неизбежно искажает по крайней мере некоторые расстояния. Катеноид и геликоид – это две очень разные на вид поверхности. Тем не менее, каждую из них можно непрерывно согнуть в другую: они локально изометричны. Из теоремы Egregium следует, что при этом изгибе гауссова кривизна в любых двух соответствующих точках катеноида и геликоида всегда одинакова. Таким образом, изометрия – это просто изгиб и скручивание поверхности без внутреннего сминания или разрыва, иными словами, без дополнительного напряжения, сжатия или сдвига. Применение теоремы можно увидеть, когда плоский объект немного складывают или изгибают вдоль линии, создавая жёсткость в перпендикулярном направлении. Это находит практическое применение в строительстве, а также в обычной стратегии поедания пиццы: плоский кусок пиццы можно рассматривать как поверхность с постоянной гауссовой кривизной 0. Мягкий изгиб куска должен, следовательно, примерно сохранять эту кривизну (при условии, что изгиб является приблизительно локальной изометрией). Если согнуть кусок горизонтально вдоль радиуса, вдоль изгиба создаются ненулевые главные кривизны, что диктует, что другая главная кривизна в этих точках должна быть нулевой. Это создаёт жёсткость в направлении, перпендикулярном сгибу – свойство, желательное при поедании пиццы, поскольку оно позволяет ей сохранять форму достаточно долго, чтобы её можно было съесть без беспорядка. Тот же принцип используется для усиления гофрированных материалов, наиболее известны гофрированный картон и гофрированное оцинкованное железо, а также в некоторых видах картофельных чипсов.