Кіріспе

Ықтималдықтар теориясындағы модель: Мартингейл тікелей ставка стратегиясы

Ықтималдықтар теориясында, мартингейл – кездейсоқ шамалар тізбегі (яғни, стохастикалық процесс), онда белгілі бір сәтте тізбектегі келесі шаманың шартты күтімі, бұрынғы шамаларға қарамастан, қазіргі шамаға тең болады.

Тарих

Бастапқыда мартингейл термині 18 ғасырдағы Францияда танымал болған тікелей ставкалау стратегиялары класына қатысты. Осы стратегиялардың ең қарапайымында, егер тиысқынның сырғаны жағы шықса, ойыншы салымды жеңіп алады, ал тысы жағы шықса, жоғалтады. Стратегия ойыншыға әр жеңілістен кейін ставкасын екі есеге арттыруды ұсынады, сонда алғашқы жеңіс барлық бұрынғы шығындарды өтеуге және бастапқы салымға тең пайда табуға мүмкіндік береді. Ойыншының байлығы мен қолда бар уақыты шексіздікке жақындаған сайын, тиысқынның сырғаны жағы шығу ықтималдығы 1-ге жақымдап, мартингейл ставкалау стратегиясын сенімді деп ойлауға әкеледі. Дегенмен, ставкалардың экспоненциалды өсуі, ақыр соңында пайдаланушылардың шектеулі қаржысының салдарынан банкроттыққа ұшыратады. Бұл ойындардың траекториясын модельдеу үшін мартингейл процесі болып табылатын тоқтатылған Браун қозғалысын қолдануға болады. Ықтималдықтар теориясындағы мартингейл тұжырымдамасын Пол Леви 1934 жылы енгізді, бірақ ол оған атау бермеді. "Мартингейл" термині кейіннен енгізілді, және ол үздіксіз мартингейлдерге анықтаманы кеңейтті. Теорияның бастапқы дамуының көп бөлігін Джозеф Лео Дуб және басқалар жасады. Бұл жұмыстың мақсатының бірі – кездейсоқ ойындарда табысты ставкалау стратегиясын жасау мүмкін еместігін көрсету болды.

Анықтамалар

Дискретті уақыт мартингалының негізгі анықтамасы – кез келген n уақыты үшін шартты күтілетін мәні, барлық өткен байқаулар ескерілгенде, келесі байқаудың мәні соңғы байқаумен тең болатын дискретті уақыт стохастикалық процесі (яғни, кездейсоқ шамалар тізбегі) X1, X2, X3, ... болып табылады.

Субмартингальдар мен супермартингальдардың мысалдары

Әр мартингейл сонымен қатар субмартингейл және супермартингейл болып табылады. Керісінше, субмартингейл және супермартингейл болатын кез келген стохастикалық процесс мартингейл болып табылады. Бірде монетаның сыртына басы шығып, 1 доллар ұтып алса, екіншіде тысы шығып 1 доллар жоғалтатын ойыншыны қарастырайық. Енді монетаның бұрыс болуы мүмкін деп есептейік, сондықтан ол p ықтималдығымен басы шығарады. Егер p 1/2-ге тең болса, ойыншы орташа есеппен ақша ұтып немесе жоғалтпайды, ал ойыншының уақыт өте келе жинаған байлығы мартингейл болып табылады. Егер p 1/2-ден кем болса, ойыншы орташа есеппен ақша жоғалтады, ал ойыншының уақыт өте келе жинаған байлығы супермартингейл болып табылады. Егер p 1/2-ден артық болса, ойыншы орташа есеппен ақша ұтады, ал ойыншының уақыт өте келе жинаған байлығы субмартингейл болып табылады. Дженсен теңсіздігіне сәйкес, мартингейлдің дөңес функциясы субмартингейл болып табылады. Мысалы, әділ монета ойынында ойыншының байлығының квадраты субмартингейл болып табылады (бұл Xn2 − n мартингейл екендігінен де туындайды). Сол сияқты, мартингейлдің ойыс функциясы супермартингейл болып табылады.

Мартингейл және тоқтату уақыты

X1, X2, X3 кездейсоқ айнымалылар тізбегіне қатысты тоқтату уақыты – кездейсоқ айнымалы τ, мұнда әр t үшін τ = t оқиғасының орын алуы немесе орын алмауы тек X1, X2, X3, …, Xt мәндеріне ғана байланысты. Бұл анықтаманың мәні – кез келген уақыт t-да, сіз осы уақытқа дейінгі тізбекті қарап, тоқтау уақыты келді ме жоқ па, біле аласыз. Нақты өмірден мысал келтірсек, ойыншының қашан ойын үстелінен кететінін қарастырайық. Бұл оның бұрынғы жеңістеріне байланысты болуы мүмкін (мысалы, ол тек қаржысы таусылғанда ғана кетеді), бірақ ол әлі ойналмаған ойындардың нәтижесіне сүйене отырып, қалуды немесе кетуді таңдай алмайды. Кейбір жағдайларда тоқтату уақытының ұғымы тек τ = t оқиғасының орын алуы немесе алмауы Xt+1, Xt+2 шамаларына ықтималдық тұрғысынан тәуелсіз екенін талап ету арқылы анықталады, бірақ ол процестің t уақытына дейінгі тарихымен толық анықталмайды. Бұл жоғарыдағы абзацтағы талаптан әлсіз, бірақ тоқтату уақытын қолданатын кейбір дәлелдерде қолдануға жеткілікті. Мартингейлдердің негізгі қасиеттерінің бірі – егер (суб / супер) мартингейл болса және тоқтату уақыты болса, онда арқылы анықталған сәйкес тоқтатылған процесс де (суб / супер) мартингейл болады. Тоқтатылған мартингейл ұғымы бірқатар маңызды теоремаларға алып келеді, мысалы, ерікті тоқтату теоремасы, ол белгілі бір шарттар орындалғанда, мартингейлдің тоқтату уақытындағы күтілетін мәні оның бастапқы мәніне тең екенін көрсетеді.