Введение

Мартингейл – последовательность случайных величин (то есть стохастический процесс), для которой в определенный момент времени математическое ожидание следующего значения в последовательности, при условии всех предыдущих значений, равно текущему значению.

История

Изначально мартингейл относился к классу стратегий ставок, популярных во Франции в 18 веке. Самая простая из этих стратегий была разработана для игры, в которой игрок выигрывает свою ставку, если при броске монеты выпадает орёл, а проигрывает её, если выпадает решка. Стратегия заключалась в том, чтобы игрок удваивал ставку после каждой потери, так, чтобы первая победа покрыла все предыдущие потери и принесла выигрыш, равный первоначальной ставке. Поскольку богатство игрока и доступное ему время стремятся к бесконечности, вероятность того, что он в конечном итоге выбросит орла, приближается к 1, что делает стратегию мартингейл кажущейся беспроигрышной. Однако экспоненциальный рост ставок в конечном итоге приводит к банкротству игроков из-за ограниченного капитала. Останавливаемое броуновское движение, являющееся мартингальным процессом, может быть использовано для моделирования траектории подобных игр. Концепция мартингейла в теории вероятностей была введена Полем Леви в 1934 году, хотя он и не дал ей названия. Термин "мартингейл" был введен позднее, который также расширил определение на непрерывные мартингалы. Значительная часть первоначальной разработки теории была выполнена Джозефом Лео Дубом и другими исследователями. Частичной мотивацией для этой работы было доказательство невозможности успешных стратегий ставок в играх, основанных на случайности.

Определения

Основное определение дискретного мартингеля — это дискретный стохастический процесс (то есть последовательность случайных величин) X1, X2, X3, который удовлетворяет следующему условию для любого момента времени n:

То есть, условное математическое ожидание следующего наблюдения, при условии всех предыдущих наблюдений, равно самому последнему наблюдению.

Примеры субмартингалов и супермартингалов

Каждая мартингейл также является субмартингалом и супермартингалом. И наоборот, любой стохастический процесс, являющийся одновременно субмартингалом и супермартингалом, является мартингалом. Рассмотрим снова игрока, который выигрывает 1 доллар, когда при броске монеты выпадает орёл, и проигрывает 1 доллар, когда выпадает решка. Предположим теперь, что монета может быть смещённой, так что орёл выпадает с вероятностью p. Если p равно 1/2, игрок в среднем не выигрывает и не проигрывает, и состояние игрока с течением времени является мартингалом. Если p меньше 1/2, игрок в среднем проигрывает, и состояние игрока с течением времени является супермартингалом. Если p больше 1/2, игрок в среднем выигрывает, и состояние игрока с течением времени является субмартингалом. Выпуклая функция от мартингеля является субмартингалом, согласно неравенству Йенсена. Например, квадрат состояния игрока в игре с честной монетой является субмартингалом (что также следует из того факта, что Xn² − n является мартингалом). Аналогично, вогнутая функция от мартингеля является супермартингалом.

Мартингейлы и время остановки

Время остановки относительно последовательности случайных величин X1, X2, X3, … – это случайная величина τ, обладающая свойством, что для каждого t, наступление или ненаступление события τ = t зависит только от значений X1, X2, X3, …, Xt. Интуиция, лежащая в основе этого определения, состоит в том, что в любой момент времени t, просмотрев последовательность до этого момента, можно определить, пора ли остановиться. Примером из реальной жизни может служить момент, когда игрок покидает игорный стол, который может зависеть от его предыдущих выигрышей (например, он может уйти только в случае проигрыша всех денег), но он не может решить уйти или остаться, основываясь на результатах игр, которые еще не сыграны. В некоторых контекстах понятие времени остановки определяется лишь требованием, чтобы наступление или ненаступление события τ = t было статистически независимо от Xt+1, Xt+2, …, а не полностью определялось историей процесса до момента времени t. Это более слабое условие, чем приведенное выше, но достаточно сильное для использования в некоторых доказательствах, в которых применяются времена остановки. Одним из основных свойств мартингалов является то, что если это (суб/супер) мартингал, а τ – время остановки, то соответствующий остановленный процесс, определяемый как , также является (суб/супер) мартингалом. Понятие остановленного мартингала приводит к ряду важных теорем, включая, например, теорему об опциональной остановке, которая утверждает, что при определенных условиях математическое ожидание мартингала в момент остановки равно его начальному значению.