Кіріспе
Математикалық термин
Түзудің математикалық термині
the mathematical term
Математикада түзудің еңісі немесе градиенті — түзудің бағытын және тіктеп тұруын сипаттайтын сан. Көбінесе ‘m’ әрпімен белгіленетін еңіс, түзу бойындағы екі түрлі нүкте арасындағы тік өзгерістің көлденең өзгеріске (“көтерілуден жүгіру”) қатынасы ретінде есептеледі, бұл кез келген нүктелерді таңдағанда бірдей мәнді береді. Солдан оңға қарай төмен түсетін түзудің теріс көтерілуі және теріс еңісі болады. Түзу физикалық – жол салушы белгілегендей, суреттелген – жол немесе шатырдың схемасындай, не абстрактілі болуы мүмкін. Түзудің тіктеп тұруы, көлбеуі немесе градиенті – оның еңісінің абсолюттік мәні: абсолюттік мәні жоғары болса, түзу соғұрлым тік болады. Бағыт келесідей анықталады: Көтерілетін түзу солдан оңға қарай жоғары қарай өседі және оң еңіске ие: Төмендейтін түзу солдан оңға қарай төмен қарай өседі және теріс еңіске ие: Көлденең түзу (тұрақты функцияның графигі) нөлдік еңіске ие: Тік түзудің еңісі анықталмаған немесе шексіз болады (төменде қараңыз). Егер жолдың екі нүктесінің биіктігі y1 және y2 болса, көтерілу айырмасы (y2 − y1) = Δy болады. Жердің қисықтығын ескермесек, егер екі нүктеде x1 және x2 көлденең қашықтық болса, онда жүгіру (x2 − x1) = Δx болады. Екі нүкте арасындағы еңіс – айырмалардың қатынасы:
An increasing line goes up from left to right, and has positive slope: A decreasing line goes down from left to right, and has negative slope: A horizontal line (the graph of a constant function) has zero slope: A vertical line has undefined or infinite slope (see below). If two points of a road have altitudes y1 and y2, the rise is the difference (y2 − y1) = Δy. Neglecting the Earth's curvature, if the two points have horizontal distance x1 and x2 from a fixed point, the run is (x2 − x1) = Δx. The slope between the two points is the difference ratio:
Бұл география және азаматтық инженериядағы дәрежеге немесе градиентке тең. Тригонометрия бойынша түзудің еңісі ‘m’, оның көлбеу бұрышы θ-ға тангенс функциясы арқылы байланысты:
Осылайша, 45° көтерілетін түзудің еңісі m = +1, ал 45° төмендейтін түзудің еңісі m = −1 болады. Бұл қағиданы жалпылағанда, дифференциалдық есептеу қисықтың белгілі бір нүктедегі еңісін сол нүктедегі жанама сызығының еңісі ретінде анықтайды. Егер қисық бірнеше нүкте арқылы жуықтаса, қисықтың еңісін жақын орналасқан екі нүкте арасындағы секунт сызығының еңісімен жуықтауға болады. Егер қисық алгебралық өрнектің графигі түрінде берілсе, есептеу әр нүктедегі еңіс формулаларын ұсынады. Осылайша, еңіс – есептеудің және оны жобалауда қолданудың негізгі идеяларының бірі. ‘m’ әрпінің еңіс үшін неліктен қолданылатынына нақты жауап жоқ сияқты, бірақ ол алғаш рет 1844 жылы О'Брайеннің еңбегінде пайда болды, ол түзу теңдеуін 1 = y = mx + b түрінде енгізді, сондай-ақ оны 1888 жылы Тодхантердің “y = mx + c” жазбасында табуға болады.
Анықтама
Х және Y осьтерін қамтитын жазықтықтағы түзудің еңістігі әдетте m әрпімен белгіленеді және түзудегі екі әртүрлі нүкте арасындағы y координатасының өзгеруінің, сәйкес x координатасының өзгеруіне қатынасы ретінде анықталады. Бұл келесі теңдеумен сипатталады: (Гректің Δ әрпінен тұратын "дельта" әрпі математикада "айырма" немесе "өзгеріс" мағынасында қолданылады.) Екі нүкте берілген болса , бірінен екіншісіне дейінгі x координатасының өзгеруі (run), ал y координатасының өзгеруі (rise) болады. Екі шаманы да жоғарыдағы теңдеуге қойғанда келесі формула пайда болады:
(The Greek letter delta, Δ, is commonly used in mathematics to mean "difference" or "change".) Given two points and , the change in from one to the other is (run), while the change in is (rise). Substituting both quantities into the above equation generates the formula:
The formula fails for a vertical line, parallel to the axis (see Division by zero), where the slope can be taken as infinite, so the slope of a vertical line is considered undefined.
Формула y осіне параллель тік түзу үшін қолданылмайды (нөлге бөлуді қараңыз), онда еңістік шексіз деп есептелуі мүмкін, сондықтан тік түзудің еңістігі анықталмаған деп саналады.
(The Greek letter delta, Δ, is commonly used in mathematics to mean "difference" or "change".) Given two points and , the change in from one to the other is (run), while the change in is (rise). Substituting both quantities into the above equation generates the formula:
The formula fails for a vertical line, parallel to the axis (see Division by zero), where the slope can be taken as infinite, so the slope of a vertical line is considered undefined.
Мысалдар
Екі нүктеден өтетін түзуді елестетіңіз: P = (1, 2) және Q = (13, 8). Координаттардың айырмасын координаталардың айырмасына бөлгенде, түзудің еңістігін табуға болады:
Since the slope is positive, the direction of the line is increasing. Since |m| < 1, the incline is not very steep (incline < 45°). As another example, consider a line which runs through the points (4, 15) and (3, 21). Then, the slope of the line is
Since the slope is negative, the direction of the line is decreasing. Since |m| > 1, this decline is fairly steep (decline > 45°).
Еңістігі оң болғандықтан, түзудің бағыты өсуге қарай. Егер |m| < 1 болса, еңіс тым тік емес (көлбеу бұрышы < 45°). Мысалы, (4, 15) және (3, 21) нүктелері арқылы өтетін түзуді қарастырайық. Онда, түзудің еңістігі теріс болғандықтан, түзудің бағыты төмендеуге қарай. Егер |m| > 1 болса, бұл төмендеу өте тік болады (көлбеу бұрышы > 45°).
Since the slope is positive, the direction of the line is increasing. Since |m| < 1, the incline is not very steep (incline < 45°). As another example, consider a line which runs through the points (4, 15) and (3, 21). Then, the slope of the line is
Since the slope is negative, the direction of the line is decreasing. Since |m| > 1, this decline is fairly steep (decline > 45°).
Қиғаштардың айырмашылығы
Бұрыш туралы идеяның кеңеюі еңістердің айырмашылығынан туындайды. Кесу бейнелеуін қарастырайық.
Содан кейін -ке бейнеленеді. -ның еңісі нөлге тең, ал -ның еңісі -қа тең. Кесу бейнелеуі еңіс қосты, -дегі екі нүктенің бейнесі
еңісі -ға артты, бірақ еңістердің айырмашылығы кесуге дейін де, кейін де бірдей болып қалады. Еңіс айырмашылықтарының инварианттылығы еңісті бұрыштық инвариантты өлшемге айналдырады, бұл айналу кезінде инвариантты болатын дөңгелек бұрышпен және сығу бейнелеулерінің инварианттылық тобымен тең гиперболалық бұрышпен салыстырылады.