Введение

Математический термин
Наклон прямой

В математике наклон или градиент прямой линии – это число, которое описывает направление и крутизну линии. Часто обозначается буквой m, наклон вычисляется как отношение вертикального изменения к горизонтальному изменению ("подъем к пробегу") между двумя различными точками на прямой, давая одно и то же число для любого выбора точек. Линия, опускающаяся слева направо, имеет отрицательный подъем и отрицательный наклон. Линия может быть физической – например, задана геодезистом, графической, как на схеме дороги или крыши, или абстрактной. Крутизна, уклон или градус линии – это абсолютное значение ее наклона: большее абсолютное значение указывает на более крутую линию. Направление определяется следующим образом: возрастающая линия идет вверх слева направо и имеет положительный наклон; убывающая линия идет вниз слева направо и имеет отрицательный наклон; горизонтальная линия (график постоянной функции) имеет нулевой наклон; вертикальная линия имеет неопределенный или бесконечный наклон (см. ниже). Если две точки дороги имеют высоты y1 и y2, то подъем равен разности (y2 − y1) = Δy. Пренебрегая кривизной Земли, если две точки имеют горизонтальное расстояние x1 и x2 от фиксированной точки, то пробег будет (x2 − x1) = Δx. Наклон между двумя точками – это отношение разностей:

Это эквивалентно градусу или градиенту в географии и строительной инженерии. Через тригонометрию наклон m прямой связан с ее углом наклона θ тангенсом:

Таким образом, линия подъема в 45° имеет наклон m = +1, а линия спуска в 45° имеет наклон m = −1. Обобщая это, дифференциальное исчисление определяет наклон кривой в точке как наклон ее касательной в этой точке. Когда кривая аппроксимируется серией точек, наклон кривой может быть аппроксимирован наклоном секущей между двумя соседними точками. Когда кривая задана как график алгебраического выражения, исчисление предоставляет формулы для определения наклона в каждой точке. Таким образом, наклон является одной из центральных идей исчисления и его применения в проектировании. Кажется, нет однозначного ответа на вопрос, почему для обозначения наклона используется буква m, но она впервые появляется в английском языке в работе О'Брайена (1844), который ввел уравнение прямой как 1 = y = mx + b, и ее также можно найти в работе Тодхантера (1888), который писал "y = mx + c".

Определение

Наклон прямой в плоскости, содержащей оси x и y, обычно обозначается буквой m и определяется как отношение изменения координаты y к соответствующему изменению координаты x между двумя различными точками на этой прямой. Это описывается следующим уравнением:

(Греческая буква дельта, Δ, обычно используется в математике для обозначения "разности" или "изменения".) Для двух точек и , изменение при переходе от одной к другой равно (run), а изменение равно (rise). Подстановка этих величин в вышеуказанное уравнение дает формулу:

Эта формула неприменима к вертикальной прямой, параллельной оси (см. Деление на ноль), где наклон считается бесконечным, а значит, наклон вертикальной прямой считается неопределённым.

Примеры

Предположим, что прямая проходит через две точки: P = (1, 2) и Q = (13, 8). Разделив разность координат по x на разность координат по y, можно получить наклон прямой:

Поскольку наклон положительный, направление прямой возрастает. Поскольку |m| < 1, уклон не очень крутой (уклон < 45°). В качестве другого примера рассмотрим прямую, проходящую через точки (4, 15) и (3, 21). Тогда наклон прямой равен

Поскольку наклон отрицательный, направление прямой убывает. Поскольку |m| > 1, это снижение довольно крутое (снижение > 45°).

Различие склонов

Расширение понятия угла вытекает из разности наклонов. Рассмотрим сдвиговое преобразование

Тогда отображается в . Наклон равен нулю, а наклон равен . Сдвиговое преобразование добавило наклон . Для двух точек на с наклонами и , образ

имеет наклон, увеличенный на , но разность наклонов остается неизменной до и после сдвига. Эта инвариантность разности наклонов делает наклон угловой инвариантной мерой, наряду с круговым углом (инвариантным относительно вращений) и гиперболическим углом, с группой инвариантности сжимающих преобразований.