Риман геометриясында Риччи қисықтық тензоры

Кіріспе

Риман қисықтығының 4 тензорының жиырылуынан алынған 2 тензор. Дифференциалдық геометрияда, Грегорио Риччи Курбастроның есімімен аталатын Риччи қисықтығы тензоры – Риман немесе псевдо-Риман көптүрлілігінде метрика таңдау арқылы анықталатын геометриялық объект. Оны жалпы алғанда, берілген метрикалық тензор геометриясының қарапайым Евклид кеңістігінен немесе псевдо-Евклид кеңістігінен қаншалықты жергілікті түрде өзгешеленетінін өлшеу ретінде қарастыруға болады. Риччи тензоры кеңістікте геодезиялық бойымен қозғалғанда нысанның қалай деформацияланатынын өлшеу арқылы сипатталады. Жалпы салыстырмалылық теориясында, псевдо-Римандық жағдайды қамтиды, бұл Рэйчхаудхури теңдеуінде Риччи тензорының болуымен көрінеді. Осы себепті Эйнштейннің өрістік теңдеулері кеңістік-уақытты псевдо-Риман метрикасымен сипаттауға болатынын ұсынады, Риччи тензоры мен ғаламның материялық мазмұны арасындағы өте қарапайым байланыс бар. Метрикалық тензор сияқты, Риччи тензоры да көптүрліліктің әр тангенциалдық кеңістігіне симметриялық билинейрлік нысанды тағайындайды. Жалпы алғанда, Риман геометриясындағы Риччи қисықтығының рөлін функциялар талдауындағы Лапласиан рөлімен салыстыруға болады; осы салыстыруда Риман қисықтығы тензоры, Риччи қисықтығының табиғи туындысы, функцияның екінші туындыларының толық матрицасына сәйкес келеді. Дегенмен, осы салыстыруды басқа тәсілдермен де жасауға болады. Үш өлшемді топологияда Риччи тензоры жоғары өлшемдерде күрделірек Риман қисықтығы тензорымен кодталған барлық ақпаратты қамтиды. Бұл қарапайымдық көптеген геометриялық және аналитикалық құралдарды қолдануға мүмкіндік береді, бұл Ричард С. Гамильтон мен Григорий Перельманның жұмысы арқылы Пуанкаре болжамын шешуге әкелді. Дифференциалдық геометрияда Риман көптүрлілігіндегі Риччи тензорының төменгі шектері, салыстыру арқылы (салыстыру теоремасына қараңыз) тұрақты қисықтық кеңістігінің геометриясымен ғаламдық геометриялық және топологиялық ақпаратты алуға мүмкіндік береді. Бұл Риччи тензорындағы төменгі шектерді Риман геометриясындағы ұзындық функционалын зерттеуде сәтті пайдалануға болады, бұл 1941 жылы Майерс теоремасы арқылы алғаш рет көрсетілді. Риччи тензорының жиі кездесетін көзі – ковариантты туындыны Лапласиан тензорымен ауыстырғанда оның пайда болуы. Бұл, мысалы, оның Риман геометриясында кеңінен қолданылатын Бохнер формуласында болуын түсіндіреді. Мысалы, бұл формула Шинг Тунг Яудың (олардың дамуы, мысалы, Ченг Яу және Ли Яу теңсіздіктері) градиенттік бағалауларының Риччи қисықтығының төменгі шегіне неге әрқашан тәуелді екенін түсіндіреді. 2007 жылы Джон Лотт, Карл Теодор Штурм және Седрик Виллани Риччи қисықтығының төменгі шектерін Риман көптүрлілігінің метрикалық кеңістіктік құрылымы мен оның көлемдік формасы тұрғысынан толық түсінуге болатынын көрсетті. Бұл Риччи қисықтығы мен Вассерштейн геометриясы және оңтайлы тасымалдау арасындағы терең байланысты орнатты, қазіргі уақытта көптеген зерттеулердің тақырыбы болып табылады.

2 tensor obtained as a contraction of the Rieman curvature 4 tensor on a Riemannian manifold
In differential geometry, the Ricci curvature tensor, named after Gregorio Ricci Curbastro, is a geometric object which is determined by a choice of Riemannian or pseudo Riemannian metric on a manifold. It can be considered, broadly, as a measure of the degree to which the geometry of a given metric tensor differs locally from that of ordinary Euclidean space or pseudo Euclidean space. The Ricci tensor can be characterized by measurement of how a shape is deformed as one moves along geodesics in the space. In general relativity, which involves the pseudo Riemannian setting, this is reflected by the presence of the Ricci tensor in the Raychaudhuri equation. Partly for this reason, the Einstein field equations propose that spacetime can be described by a pseudo Riemannian metric, with a strikingly simple relationship between the Ricci tensor and the matter content of the universe. Like the metric tensor, the Ricci tensor assigns to each tangent space of the manifold a symmetric bilinear form Broadly, one could analogize the role of the Ricci curvature in Riemannian geometry to that of the Laplacian in the analysis of functions; in this analogy, the Riemann curvature tensor, of which the Ricci curvature is a natural by product, would correspond to the full matrix of second derivatives of a function. However, there are other ways to draw the same analogy. In three dimensional topology, the Ricci tensor contains all of the information which in higher dimensions is encoded by the more complicated Riemann curvature tensor. In part, this simplicity allows for the application of many geometric and analytic tools, which led to the solution of the Poincaré conjecture through the work of Richard S. Hamilton and Grigori Perelman. In differential geometry, lower bounds on the Ricci tensor on a Riemannian manifold allow one to extract global geometric and topological information by comparison (cf. comparison theorem) with the geometry of a constant curvature space form. This is since lower bounds on the Ricci tensor can be successfully used in studying the length functional in Riemannian geometry, as first shown in 1941 via Myers's theorem. One common source of the Ricci tensor is that it arises whenever one commutes the covariant derivative with the tensor Laplacian. This, for instance, explains its presence in the Bochner formula, which is used ubiquitously in Riemannian geometry. For example, this formula explains why the gradient estimates due to Shing Tung Yau (and their developments such as the Cheng Yau and Li Yau inequalities) nearly always depend on a lower bound for the Ricci curvature. In 2007, John Lott, Karl Theodor Sturm, and Cedric Villani demonstrated decisively that lower bounds on Ricci curvature can be understood entirely in terms of the metric space structure of a Riemannian manifold, together with its volume form. This established a deep link between Ricci curvature and Wasserstein geometry and optimal transport, which is presently the subject of much research.

Анықтамаларды салыстыру

Жоғарыда келтірілген екі анықтама бірдей. Координаталық тәсілдегі және оны анықтайтын формулалар, Леви-Чивита байланысын және Леви-Чивита байланысы арқылы Риман қисықтығын анықтайтын формулалармен толық сәйкес келеді. Мүмкін, жергілікті координаттарды тікелей пайдаланатын анықтамалар қолайлырақ, себебі жоғарыда айтылған Риман тензорының "маңызды қасиеті" орындалуы үшін кеңістік Хаусдорф кеңістігі болуы керек. Ал жергілікті координаттық тәсілге тек тегіс атлас қана жеткілікті. Сондай-ақ, жергілікті тәсілге негіз болатын "өзгермейтін" философияны спинорлық өрістер сияқты ерекше геометриялық объектілерді құру әдістерімен байланыстыру оңайырақ. Кіріспе бөлімде берілген күрделі формула, келесі бөлімдегідей. Тек терминдер топтастырылған, осылайша оларды қарастыру ыңғайлы.

Глобалды геометрия және топология

Мұнда Риккидің оң қисықтығы бар көптіктерге қатысты жаһандық нәтижелердің қысқаша тізімі берілген; сонымен қатар Риман геометриясының классикалық теоремаларын қараңыз. Қысқаша айтқанда, Риман көптүрлілігінің оң Риччи қисықтығы күшті топологиялық салдарларға ие, ал (кем дегенде 3 өлшем үшін) теріс Риччи қисықтығы топологиялық салдарларға ие емес. (Риччи қисықтығы функциясы нөлге тең емес жанама векторлар жиынында оң болса, Риччи қисықтығы оң деп аталады.) Кейбір нәтижелер псевдо-Риманн көптүрліліктері үшін де белгілі. Майерс теоремасы (1941) Риччи қисықтығы толық Риманн n-көптігінде төменнен шектелген болса, онда көптіктің диаметрі болады. Ченг (1975) диаметр теңсіздігіндегі теңдік тек қана көптік тұрақты қисықтығы бар сфераға изометриялық болғанда ғана пайда болатынын көрсетті. Бишоп–Громов теңсіздігі толық өлшемді Риманн көптүрлілігі Риччидің теріс емес қисықтығына ие болса, онда геодезиялық шардың көлемі Евклид кеңістігіндегі бірдей радиустағы геодезиялық шардың көлеміне тең немесе одан кем болады. Сонымен қатар, егер көптіктердегі ортасы және радиусы бар шардың көлемін білдірсе, ал Евклид кеңістігіндегі радиусы бар шардың көлемін білдірсе, онда функция кемімейді. Бұл Риччи қисықтығының төменгі шегіне (тек теріс емес) жалпыланады және Громовтың тығыздық теоремасын дәлелдеудегі негізгі нүкте болып табылады.) Чигер–Громолл бөлу теоремасы бойынша, егер толық Риманн көптігінде сызық болса, яғни барлық үшін геодезиялық болса, онда ол өнім кеңістігіне изометриялық. Нәтижесінде, оң Риччи қисықтығының толық көптігінде ең көп дегенде бір топологиялық ұшы болуы мүмкін. Теорема сондай-ақ кейбір қосымша гипотезалар бойынша толық Лоренцтік көптүрліліктерге (метриялық қолтаңбасы бар) теріс емес Риччи тензорымен де қолданылады. Хамильтонның Риччи ағыны үшін бірінші конвергенция теоремасы, Риччи ағынының оң Риманндық метрикасы бар жалғыз компактты 3-көптүрліліктері – бұл 3-сфераның дискретті кіші топтары арқылы SO(4)-тің үзіліссіз әрекет ететін үлестері екенін көрсетеді. Кейіннен ол бұны Риччидің теріс емес қисықтығына мүмкіндік беру үшін кеңейтті. Әсіресе, жалғыз жай байланысқан мүмкіндік – 3-сфераның өзі. Бұл нәтижелер, әсіресе Майерс пен Хамильтонның, оң Риччи қисықтығының күшті топологиялық салдарлары бар екенін көрсетеді. Керісінше, беттерді қоспағанда, теріс Риччи қисықтығының топологиялық салдары жоқ екені белгілі; екіден үлкен өлшемді кез келген көптік теріс Риччи қисықтығының толық Риманн метрикасын қабылдайды. Екі өлшемді көптүрліліктер жағдайында Риччи қисықтығының терісдігі Гаусс қисықтығының терісдігімен синоним болып табылады, бұл өте айқын топологиялық салдарға ие. Риманндық метрикаларды теріс Гаусс қисықтығына қабылдамайтын екі өлшемді көптүрліліктер өте аз.

Here is a short list of global results concerning manifolds with positive Ricci curvature; see also classical theorems of Riemannian geometry. Briefly, positive Ricci curvature of a Riemannian manifold has strong topological consequences, while (for dimension at least 3), negative Ricci curvature has no topological implications. (The Ricci curvature is said to be positive if the Ricci curvature function is positive on the set of non zero tangent vectors .) Some results are also known for pseudo Riemannian manifolds. Myers' theorem (1941) states that if the Ricci curvature is bounded from below on a complete Riemannian n manifold by , then the manifold has diameter By a covering space argument, it follows that any compact manifold of positive Ricci curvature must have finite fundamental group. Cheng (1975) showed that, in this setting, equality in the diameter inequality occurs if only if the manifold is isometric to a sphere of a constant curvature The Bishop–Gromov inequality states that if a complete dimensional Riemannian manifold has non negative Ricci curvature, then the volume of a geodesic ball is less than or equal to the volume of a geodesic ball of the same radius in Euclidean space. Moreover, if denotes the volume of the ball with center and radius in the manifold and denotes the volume of the ball of radius in Euclidean space then the function is nonincreasing. This can be generalized to any lower bound on the Ricci curvature (not just nonnegativity), and is the key point in the proof of Gromov's compactness theorem.) The Cheeger–Gromoll splitting theorem states that if a complete Riemannian manifold with contains a line, meaning a geodesic such that for all , then it is isometric to a product space Consequently, a complete manifold of positive Ricci curvature can have at most one topological end. The theorem is also true under some additional hypotheses for complete Lorentzian manifolds (of metric signature ) with non negative Ricci tensor Hamilton's first convergence theorem for Ricci flow has, as a corollary, that the only compact 3 manifolds which have Riemannian metrics of positive Ricci curvature are the quotients of the 3 sphere by discrete subgroups of SO(4) which act properly discontinuously. He later extended this to allow for nonnegative Ricci curvature. In particular, the only simply connected possibility is the 3 sphere itself. These results, particularly Myers' and Hamilton's, show that positive Ricci curvature has strong topological consequences. By contrast, excluding the case of surfaces, negative Ricci curvature is now known to have no topological implications; has shown that any manifold of dimension greater than two admits a complete Riemannian metric of negative Ricci curvature. In the case of two dimensional manifolds, negativity of the Ricci curvature is synonymous with negativity of the Gaussian curvature, which has very clear topological implications. There are very few two dimensional manifolds which fail to admit Riemannian metrics of negative Gaussian curvature.