Тензор Риччи: Геометрические и аналитические аспекты

Введение

Тензор, полученный как стяжение тензора кривизны Римана 4-го ранга на римановом многообразии. В дифференциальной геометрии тензор кривизны Риччи, названный в честь Грегорио Риччи Курбастро, является геометрическим объектом, который определяется выбором римановой или псевдоримановой метрики на многообразии. Его можно рассматривать, в широком смысле, как меру степени, в которой геометрия заданного метрического тензора локально отличается от геометрии обычного евклидова или псевдоевклидова пространства. Тензор Риччи может быть охарактеризован измерением того, как деформируется фигура при движении вдоль геодезических в пространстве. В общей теории относительности, которая оперирует псевдоримановым пространством, это отражается в присутствии тензора Риччи в уравнении Райчаудхури. Отчасти по этой причине уравнения поля Эйнштейна предполагают, что пространство-время может быть описано псевдоримановой метрикой, с поразительно простой связью между тензором Риччи и содержанием материи во Вселенной. Как и метрический тензор, тензор Риччи сопоставляет каждому касательному пространству многообразия симметричную билинейную форму. В общем случае, роль кривизны Риччи в римановой геометрии можно аналогично роли лапласиана в анализе функций; в этой аналогии тензор кривизны Римана, естественным образом возникающий из кривизны Риччи, будет соответствовать полной матрице вторых производных функции. Однако существуют и другие способы проведения этой аналогии. В трехмерной топологии тензор Риччи содержит всю информацию, которая в более высоких размерностях кодируется более сложным тензором кривизны Римана. Эта простота позволяет применять множество геометрических и аналитических инструментов, что привело к решению гипотезы Пуанкаре благодаря работам Ричарда С. Гамильтона и Григория Перельмана. В дифференциальной геометрии нижние оценки тензора Риччи на римановом многообразии позволяют извлекать глобальную геометрическую и топологическую информацию путем сравнения (см. теорему сравнения) с геометрией пространства постоянной кривизны. Это связано с тем, что нижние оценки тензора Риччи успешно используются при изучении функционала длины в римановой геометрии, что впервые было показано в 1941 году теоремой Майерса. Общим источником тензора Риччи является его появление при перестановочном применении ковариантной производной и тензорного лапласиана. Это, например, объясняет его присутствие в формуле Бохнера, которая широко используется в римановой геометрии. Например, эта формула объясняет, почему оценки градиента, полученные Шин Тун Яу (и их развитие, такое как неравенства Чэн-Яу и Ли-Яу), почти всегда зависят от нижней границы кривизны Риччи. В 2007 году Джон Лотт, Карл Теодор Штурм и Седрик Виллани убедительно показали, что нижние оценки кривизны Риччи могут быть полностью поняты в терминах метрической структуры риманова многообразия вместе с его объёмной формой. Это установило глубокую связь между кривизной Риччи и геометрией Вассерштейна и оптимальным транспортом, что в настоящее время является предметом активных исследований.

2 tensor obtained as a contraction of the Rieman curvature 4 tensor on a Riemannian manifold
In differential geometry, the Ricci curvature tensor, named after Gregorio Ricci Curbastro, is a geometric object which is determined by a choice of Riemannian or pseudo Riemannian metric on a manifold. It can be considered, broadly, as a measure of the degree to which the geometry of a given metric tensor differs locally from that of ordinary Euclidean space or pseudo Euclidean space. The Ricci tensor can be characterized by measurement of how a shape is deformed as one moves along geodesics in the space. In general relativity, which involves the pseudo Riemannian setting, this is reflected by the presence of the Ricci tensor in the Raychaudhuri equation. Partly for this reason, the Einstein field equations propose that spacetime can be described by a pseudo Riemannian metric, with a strikingly simple relationship between the Ricci tensor and the matter content of the universe. Like the metric tensor, the Ricci tensor assigns to each tangent space of the manifold a symmetric bilinear form Broadly, one could analogize the role of the Ricci curvature in Riemannian geometry to that of the Laplacian in the analysis of functions; in this analogy, the Riemann curvature tensor, of which the Ricci curvature is a natural by product, would correspond to the full matrix of second derivatives of a function. However, there are other ways to draw the same analogy. In three dimensional topology, the Ricci tensor contains all of the information which in higher dimensions is encoded by the more complicated Riemann curvature tensor. In part, this simplicity allows for the application of many geometric and analytic tools, which led to the solution of the Poincaré conjecture through the work of Richard S. Hamilton and Grigori Perelman. In differential geometry, lower bounds on the Ricci tensor on a Riemannian manifold allow one to extract global geometric and topological information by comparison (cf. comparison theorem) with the geometry of a constant curvature space form. This is since lower bounds on the Ricci tensor can be successfully used in studying the length functional in Riemannian geometry, as first shown in 1941 via Myers's theorem. One common source of the Ricci tensor is that it arises whenever one commutes the covariant derivative with the tensor Laplacian. This, for instance, explains its presence in the Bochner formula, which is used ubiquitously in Riemannian geometry. For example, this formula explains why the gradient estimates due to Shing Tung Yau (and their developments such as the Cheng Yau and Li Yau inequalities) nearly always depend on a lower bound for the Ricci curvature. In 2007, John Lott, Karl Theodor Sturm, and Cedric Villani demonstrated decisively that lower bounds on Ricci curvature can be understood entirely in terms of the metric space structure of a Riemannian manifold, together with its volume form. This established a deep link between Ricci curvature and Wasserstein geometry and optimal transport, which is presently the subject of much research.

Сравнение определений

Два вышеуказанных определения идентичны. Формулы, определяющие и в координатном подходе, имеют точную параллель в формулах, определяющих соединение Леви-Чивиты и кривизну Римана через это соединение. Можно утверждать, что определения, непосредственно использующие локальные координаты, предпочтительнее, поскольку "ключевое свойство" тензора Римана, упомянутое выше, требует, чтобы пространство было хаусдорфовым для его выполнения. В отличие от этого, координатный подход требует лишь гладкого атласа. Также несколько легче связать философию "инвариантности", лежащую в основе локального подхода, с методами построения более экзотических геометрических объектов, таких как спинорные поля. Сложная формула, представленная во вводном разделе, такая же, как и в следующем разделе. Единственное отличие заключается в том, что члены сгруппированы таким образом, чтобы было легко увидеть, что

Глобальная геометрия и топология

Вот краткий список глобальных результатов, касающихся многообразий с положительной кривизной Риччи; см. также классические теоремы римановой геометрии. Вкратце, положительная кривизна Риччи риманова многообразия имеет сильные топологические следствия, в то время как (для размерности не менее 3) отрицательная кривизна Риччи не имеет топологических следствий. (Кривизна Риччи считается положительной, если функция кривизны Риччи положительна на множестве ненулевых касательных векторов.) Некоторые результаты также известны для псевдоримановых многообразий. Теорема Майерса (1941) утверждает, что если кривизна Риччи ограничена снизу на полном римановом n-многообразии числом , то многообразие имеет диаметр . Из аргумента о покрывающем пространстве следует, что любое компактное многообразие с положительной кривизной Риччи должно иметь конечную фундаментальную группу. Ченг (1975) показал, что в этой ситуации равенство в неравенстве для диаметра достигается тогда и только тогда, когда многообразие изометрично сфере постоянной кривизны. Неравенство Бишопа — Громова утверждает, что если полное n-мерное риманово многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи, то объем геодезического шара меньше или равен объему геодезического шара того же радиуса в евклидовом n-мерном пространстве. Более того, если обозначает объем шара с центром и радиусом в многообразии, а обозначает объем шара радиуса в евклидовом пространстве, то функция неубывающая. Это можно обобщить на любую нижнюю границу кривизны Риччи (не только неотрицательность), и это ключевой момент в доказательстве теоремы о компактности Громова. Теорема расщепления Чигера — Громолла утверждает, что если полное риманово многообразие с содержит геодезическую линию, то есть геодезическую , такую что для всех , то оно изометрично произведению. Следовательно, полное многообразие с положительной кривизной Риччи может иметь не более одного топологического конца. Теорема также верна при некоторых дополнительных предположениях для полных лоренцевых многообразий (метрической сигнатуры ) с неотрицательным тензором Риччи. Первая теорема о сходимости Гамильтона для потока Риччи имеет следствием, что единственные компактные 3-многообразия, допускающие римановы метрики с положительной кривизной Риччи, являются факторпространствами 3-сферы по дискретным подгруппам SO(4), действующим корректно разрывно. Позже он расширил это, чтобы допустить неотрицательную кривизну Риччи. В частности, единственная простосвязная возможность — это сама 3-сфера. Эти результаты, особенно теоремы Майерса и Гамильтона, показывают, что положительная кривизна Риччи имеет сильные топологические следствия. Напротив, за исключением случая поверхностей, отрицательная кривизна Риччи, как теперь известно, не имеет топологических следствий; показано, что любое многообразие размерности больше двух допускает полную риманову метрику с отрицательной кривизной Риччи. В случае двухмерных многообразий отрицательность кривизны Риччи эквивалентна отрицательности гауссовой кривизны, что имеет четкие топологические следствия. Существует очень мало двухмерных многообразий, которые не допускают риманову метрику с отрицательной гауссовой кривизной.

Here is a short list of global results concerning manifolds with positive Ricci curvature; see also classical theorems of Riemannian geometry. Briefly, positive Ricci curvature of a Riemannian manifold has strong topological consequences, while (for dimension at least 3), negative Ricci curvature has no topological implications. (The Ricci curvature is said to be positive if the Ricci curvature function is positive on the set of non zero tangent vectors .) Some results are also known for pseudo Riemannian manifolds. Myers' theorem (1941) states that if the Ricci curvature is bounded from below on a complete Riemannian n manifold by , then the manifold has diameter By a covering space argument, it follows that any compact manifold of positive Ricci curvature must have finite fundamental group. Cheng (1975) showed that, in this setting, equality in the diameter inequality occurs if only if the manifold is isometric to a sphere of a constant curvature The Bishop–Gromov inequality states that if a complete dimensional Riemannian manifold has non negative Ricci curvature, then the volume of a geodesic ball is less than or equal to the volume of a geodesic ball of the same radius in Euclidean space. Moreover, if denotes the volume of the ball with center and radius in the manifold and denotes the volume of the ball of radius in Euclidean space then the function is nonincreasing. This can be generalized to any lower bound on the Ricci curvature (not just nonnegativity), and is the key point in the proof of Gromov's compactness theorem.) The Cheeger–Gromoll splitting theorem states that if a complete Riemannian manifold with contains a line, meaning a geodesic such that for all , then it is isometric to a product space Consequently, a complete manifold of positive Ricci curvature can have at most one topological end. The theorem is also true under some additional hypotheses for complete Lorentzian manifolds (of metric signature ) with non negative Ricci tensor Hamilton's first convergence theorem for Ricci flow has, as a corollary, that the only compact 3 manifolds which have Riemannian metrics of positive Ricci curvature are the quotients of the 3 sphere by discrete subgroups of SO(4) which act properly discontinuously. He later extended this to allow for nonnegative Ricci curvature. In particular, the only simply connected possibility is the 3 sphere itself. These results, particularly Myers' and Hamilton's, show that positive Ricci curvature has strong topological consequences. By contrast, excluding the case of surfaces, negative Ricci curvature is now known to have no topological implications; has shown that any manifold of dimension greater than two admits a complete Riemannian metric of negative Ricci curvature. In the case of two dimensional manifolds, negativity of the Ricci curvature is synonymous with negativity of the Gaussian curvature, which has very clear topological implications. There are very few two dimensional manifolds which fail to admit Riemannian metrics of negative Gaussian curvature.