Введение

Топология (от греческих слов wikt:τόπος и λόγος) — это раздел математики, изучающий свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких как растяжение, скручивание, сжатие и изгиб; то есть, без разрывов, склеиваний, проделывания отверстий или прохождения объекта через самого себя. Топологическое пространство — это множество, снабжённое структурой, называемой топологией, которая позволяет определять непрерывные деформации подмножеств и, в более общем смысле, любые виды непрерывности. Евклидовы пространства и, в более общем случае, метрические пространства являются примерами топологических пространств, поскольку любое расстояние или метрика определяет топологию. Деформации, рассматриваемые в топологии, — это гомеоморфизмы и гомотопии. Свойство, инвариантное относительно таких деформаций, называется топологическим свойством. Примеры основных топологических свойств: размерность, позволяющая различать прямую и поверхность; компактность, позволяющая различать прямую и окружность; связность, позволяющая отличать окружность от двух непересекающихся окружностей. Идеи, лежащие в основе топологии, восходят к Готфриду Вильгельму Лейбницу, который в XVII веке предвидел geometria situs и analysis situs. Задача о семи мостах Кёнигсберга и формула полиэдра Леонарда Эйлера, вероятно, являются первыми теоремами в этой области. Термин «топология» был введён Иоганном Бенедиктом Листингом в XIX веке, однако идея топологического пространства была разработана лишь в первые десятилетия XX века.

Мотивация

Мотивационное понимание топологии заключается в том, что некоторые геометрические проблемы зависят не от точной формы задействованных объектов, а скорее от того, как они соединены между собой. Например, квадрат и круг имеют много общих свойств: они оба являются одномерными объектами (с топологической точки зрения) и оба разделяют плоскость на две части – внутреннюю и внешнюю. В одной из первых работ по топологии Леонард Эйлер продемонстрировал невозможность найти маршрут через город Кенигсберг (ныне Калининград), который пересечет каждый из семи мостов ровно один раз. Этот результат не зависел от длины мостов или расстояния между ними, а лишь от их связности: какие мосты соединяют какие острова или берега рек. Эта проблема о семи мостах Кенигсберга положила начало разделу математики, известному как теория графов. Аналогично, теорема о волосатом шаре из алгебраической топологии утверждает, что «невозможно гладко причесать волосатый шар, не создав пробор». Этот факт кажется очевидным большинству людей, даже если они не знакомы с более формальной формулировкой теоремы, утверждающей, что на сфере не существует неисчезающего непрерывного тангенциального векторного поля. Как и в случае с мостами Кенигсберга, результат не зависит от формы сферы; он применим к любому гладкому телу, если только в нем нет отверстий. Для решения таких проблем, которые не зависят от точной формы объектов, необходимо четко понимать, на каких свойствах они основаны. Отсюда возникает понятие гомеоморфизма. Невозможность пересечь каждый мост ровно один раз применима к любой конфигурации мостов, гомеоморфной мостам в Кенигсберге, а теорема о волосатом шаре – к любому пространству, гомеоморфному сфере. Интуитивно, два пространства гомеоморфны, если одно можно деформировать в другое без разрезов и склеек. Существует традиционная шутка о том, что тополог не может отличить кофейную чашку от бублика, поскольку достаточно податливый бублик можно преобразовать в чашку, сделав углубление и постепенно увеличивая его, одновременно уменьшая отверстие в ручку. Гомеоморфизм можно считать наиболее фундаментальным топологическим эквивалентом. Другой – гомотопическая эквивалентность. Ее сложнее описать без углубления в технические детали, но суть в том, что два объекта гомотопически эквивалентны, если оба являются результатом «сжатия» некоторого большего объекта.

История

Топология как чётко определённая математическая дисциплина возникла в начале двадцатого века, однако некоторые отдельные результаты можно проследить на несколько столетий назад. Среди них — определённые вопросы геометрии, исследованные Леонардом Эйлером. Его работа 1736 года о семи мостах Кёнигсберга считается одним из первых практических применений топологии. Дальнейший вклад внесли Огюстен Луи Коши, Людвиг Шлефли, Иоганн Бенедикт Листинг, Бернхард Риман и Энрико Бетти. Листинг ввёл термин «Топология» в работе Vorstudien zur Topologie, написанной на его родном немецком языке, в 1847 году, использовав это слово в течение десяти лет в переписке до его первого появления в печати. Английская форма «topology» была использована в 1883 году в некрологе Листинга, опубликованном в журнале Nature, для различения «качественной геометрии и обычной геометрии, в которой в основном рассматриваются количественные соотношения». Их работа была уточнена, систематизирована и значительно расширена Анри Пуанкаре. В 1895 году он опубликовал свою основополагающую работу «Анализ Situs», в которой были введены понятия, известные сегодня как гомотопия и гомология, которые теперь считаются частью алгебраической топологии. Метрическое пространство теперь рассматривается как частный случай общего топологического пространства, причём каждое топологическое пространство потенциально может порождать множество различных метрических пространств. В 1914 году Феликс Хаусдорф ввёл термин «топологическое пространство» и дал определение того, что сейчас называется пространством Хаусдорфа. В настоящее время топологическое пространство представляет собой небольшое обобщение пространств Хаусдорфа, предложенное в 1922 году Казимежем Куратовским. Современная топология в значительной степени опирается на идеи теории множеств, разработанные Георгом Кантором в конце XIX века. Помимо установления основных идей теории множеств, Кантор рассматривал множества точек в евклидовом пространстве в рамках своего исследования рядов Фурье. Более подробное развитие можно найти в топологии точечных множеств и алгебраической топологии. Премия Абеля 2022 года была присуждена Денису Салливану «за его новаторский вклад в топологию в самом широком смысле, и в частности, в её алгебраические, геометрические и динамические аспекты».

Топологии на множествах

Термин "топология" также относится к конкретной математической идее, центральной для области математики, называемой топологией. Неформально, топология описывает, как элементы множества пространственно связаны друг с другом. Одно и то же множество может иметь различные топологии. Например, вещественная прямая, комплексная плоскость и множество Кантора можно рассматривать как одно и то же множество с разными топологиями. Формально, пусть X – множество, а τ – семейство подмножеств X. Тогда τ называется топологией на X, если выполняются следующие условия:

И пустое множество, и X являются элементами τ. Любое объединение элементов τ является элементом τ. Любое пересечение конечного числа элементов τ является элементом τ. Если τ является топологией на X, то пара (X, τ) называется топологическим пространством. Обозначение Xτ может использоваться для обозначения множества X, наделенного конкретной топологией τ. По определению, каждая топология является системой. Элементы τ называются открытыми множествами в X. Подмножество X называется замкнутым, если его дополнение принадлежит τ (то есть его дополнение открыто). Подмножество X может быть открытым, замкнутым, одновременно открытым и замкнутым (кли́кнутым множеством) или ни тем, ни другим. Пустое множество и само X всегда одновременно замкнуты и открыты. Открытое подмножество X, содержащее точку x, называется окрестностью точки x.

Непрерывные функции и гомеоморфизмы

Функция или отображение из одного топологического пространства в другое называется непрерывной, если прообраз любого открытого множества открыт. Если функция отображает действительные числа в действительные числа (оба пространства снабжены стандартной топологией), то это определение непрерывности эквивалентно определению непрерывности в математическом анализе. Если непрерывная функция является биекцией, и если обратная функция также непрерывна, то функция называется гомеоморфизмом, а область определения функции называется гомеоморфной области значений. Другими словами, функция имеет естественное продолжение на топологию. Если два пространства гомеоморфны, они обладают одинаковыми топологическими свойствами и считаются топологически эквивалентными. Куб и сфера гомеоморфны, как и кофейная чашка и бублик. Однако сфера не гомеоморфна бублику.

Манифолы

Хотя топологические пространства могут быть чрезвычайно разнообразными и экзотическими, многие области топологии сосредоточены на более знакомом классе пространств, известных как многообразия. Многообразие – это топологическое пространство, которое локально похоже на евклидово пространство. Более точно, для каждой точки n-мерного многообразия существует окрестность, гомеоморфная евклидову пространству размерности n. Линии и окружности, но не восьмёрки, являются одномерными многообразиями. Двумерные многообразия также называют поверхностями, хотя не все поверхности являются многообразиями. Примеры включают плоскость, сферу и тор, которые можно реализовать без самопересечений в трех измерениях, а также бутылку Клейна и вещественную проективную плоскость, которые этого не допускают (то есть все их реализации являются поверхностями, не являющимися многообразиями).

Общая топология

Общая топология — это раздел топологии, изучающий базовые определения теории множеств и конструкции, используемые в топологии. Она является основой для большинства других разделов топологии, включая дифференциальную топологию, геометрическую топологию и алгебраическую топологию. Другое название общей топологии — топология точечных множеств. Основным объектом изучения являются топологические пространства, представляющие собой множества, снабженные топологией, то есть семейством подмножеств, называемых открытыми множествами, которое замкнуто относительно конечных пересечений и (конечных или бесконечных) объединений. Фундаментальные понятия топологии, такие как непрерывность, компактность и связность, могут быть определены в терминах открытых множеств. Интуитивно, непрерывные функции отображают близкие точки в близкие точки. Компактные множества — это те, которые можно покрыть конечным числом множеств сколь угодно малого размера. Связные множества — это множества, которые нельзя разделить на две удаленные друг от друга части. Слова "близкие", "сколь угодно малые" и "удаленные друг от друга" можно сделать точными, используя открытые множества. На заданном пространстве можно определить несколько топологий. Изменение топологии заключается в изменении семейства открытых множеств. Это влияет на то, какие функции являются непрерывными, а какие подмножества компактными или связными. Метрические пространства — это важный класс топологических пространств, в которых расстояние между любыми двумя точками определяется функцией, называемой метрикой. В метрическом пространстве открытое множество — это объединение открытых дисков, где открытый диск радиуса r с центром в x — это множество всех точек, расстояние до x которых меньше r. Многие распространенные пространства являются топологическими пространствами, топология которых может быть определена метрикой. Это относится к вещественной прямой, комплексной плоскости, вещественным и комплексным векторным пространствам и евклидовым пространствам. Наличие метрики упрощает многие доказательства.

Алгебраическая топология

Алгебраическая топология — это раздел математики, использующий инструменты алгебры для изучения топологических пространств. Основная цель — найти алгебраические инварианты, классифицирующие топологические пространства с точностью до гомеоморфизма, хотя обычно большинство классифицируют с точностью до гомотопической эквивалентности. Наиболее важными из этих инвариантов являются гомотопические группы, гомологии и когомологии. Хотя алгебраическая топология в основном использует алгебру для изучения топологических задач, иногда возможно также использовать топологию для решения алгебраических задач. Например, алгебраическая топология позволяет удобно доказать, что любая подгруппа свободной группы сама является свободной группой.

Дифференциальная топология

Дифференциальная топология — это область математики, изучающая дифференцируемые функции на дифференцируемых многообразиях. Она тесно связана с дифференциальной геометрией, и вместе они образуют геометрическую теорию дифференцируемых многообразий. В частности, дифференциальная топология рассматривает свойства и структуры, для определения которых достаточно гладкой структуры на многообразии. Гладкие многообразия "мягче", чем многообразия с дополнительными геометрическими структурами, которые могут выступать в качестве препятствий для определенных типов эквивалентностей и деформаций, существующих в дифференциальной топологии. Например, объем и кривизна Римана — это инварианты, способные различать различные геометрические структуры на одном и том же гладком многообразии; то есть, некоторые многообразия можно "сгладить", сохраняя гладкость, но это может потребовать искажения пространства и изменения кривизны или объема.

Геометрическая топология

Геометрическая топология — это раздел топологии, который в основном фокусируется на низкомерных многообразиях (то есть пространствах размерности 2, 3 и 4) и их взаимодействии с геометрией, но также включает в себя некоторые области высшей размерности. Примеры тем в геометрической топологии включают ориентацию, разложения на ручки, локальную плоскостность, скручивание и теорему Шёнфлиса для плоскости и высших размерностей. В высшей топологии характеристические классы являются основным инвариантом, а теория хирургий — ключевой теорией. Низкомерная топология тесно связана с геометрией, что отражено в теореме об униформизации в 2 измерениях: каждая поверхность допускает метрику постоянной кривизны; геометрически она имеет одну из трех возможных геометрий: положительную кривизну/сферическую, нулевую кривизну/плоскую и отрицательную кривизну/гиперболическую, — и в гипотезе геометризации (теперь теореме) для 3 измерений: каждое 3-многообразие можно разрезать на части, каждая из которых имеет одну из восьми возможных геометрий. 2-мерная топология может изучаться как комплексная геометрия одной переменной (поверхности Римана — это комплексные кривые), и теорема об униформизации утверждает, что каждый конформный класс метрик эквивалентен единственному комплексному классу. 4-мерная топология может изучаться с точки зрения комплексной геометрии двух переменных (комплексных поверхностей), хотя не каждое 4-многообразие допускает комплексную структуру.

Обобщения

Иногда возникает необходимость использовать инструменты топологии, но "множество точек" недоступно. В точке-свободной топологии в качестве основного понятия теории рассматривается решётка открытых множеств, а топологии Гротендика — это структуры, определённые на произвольных категориях, позволяющие определять пучки на этих категориях, и, следовательно, определять общие теории когомологий.

Биология

Топология использовалась для изучения различных биологических систем, включая молекулы и наноструктуры (например, мембранные объекты). В частности, топология электрических цепей и теория узлов широко применяются для классификации и сравнения топологии свернутых белков и нуклеиновых кислот. Топология электрических цепей классифицирует свернутые молекулярные цепи на основе парного расположения их внутримолекулярных контактов и пересечений цепей. Теория узлов, являющаяся разделом топологии, используется в биологии для изучения влияния определенных ферментов на ДНК. Эти ферменты разрезают, скручивают и вновь соединяют ДНК, вызывая образование узлов, что проявляется в наблюдаемых эффектах, таких как замедление электрофореза. В нейронауке топологические характеристики, такие как характеристика Эйлера и число Бетти, используются для измерения сложности паттернов активности в нейронных сетях.

Информатика

Топологический анализ данных использует методы алгебраической топологии для определения крупномасштабной структуры множества (например, для определения того, имеет ли облако точек форму сферы или тора). Основной метод, используемый в топологическом анализе данных, заключается в следующем: замена набора точек данных семейством симплициальных комплексов, индексированных параметром близости; анализ этих топологических комплексов с помощью алгебраической топологии, в частности, теории устойчивой гомологии; кодирование устойчивой гомологии набора данных в виде параметризованной версии числа Бетти, называемой диаграммой устойчивости (или штрих-кодом).

Физика

Топология применима к физике в таких областях, как физика конденсированного состояния, квантовая теория поля и физическая космология. Топологическая зависимость механических свойств твердых тел представляет интерес для машиностроения и материаловедения. Электрические и механические свойства зависят от расположения и сетевой структуры молекул и элементарных единиц в материалах. Прочность на сжатие скомканных топологий изучается в попытках понять высокое отношение прочности к весу таких структур, которые в основном состоят из пустого пространства. Топология также важна в контактной механике, где изучается зависимость жесткости и трения от размерности поверхностных структур, что находит применение в физике тел. Топологическая квантовая теория поля (или топологическая теория поля, или TQFT) — это квантовая теория поля, вычисляющая топологические инварианты. Хотя TQFT были разработаны физиками, они также представляют интерес для математиков, будучи связанными, в частности, с теорией узлов, теорией четырехмерных многообразий в алгебраической топологии и теорией пространств модулей в алгебраической геометрии. Дональдсон, Джонс, Виттен и Концевич были удостоены медалей Филдса за работы в области топологической теории поля. Топологическая классификация многообразий Калаби-Яу имеет важное значение для теории струн, поскольку различные многообразия могут поддерживать различные типы струн. В космологии топология может использоваться для описания общей формы Вселенной. Эта область исследований обычно известна как топология пространства-времени. В физике конденсированного состояния важное применение топологической физики связано с возможностью получения одностороннего тока, защищенного от обратного рассеяния. Впервые это было обнаружено в электронике с помощью знаменитого квантового эффекта Холла, а затем обобщено для других областей физики, например, в фотонике Ф.Д.М. Холданом.

Робототехника

Возможные положения робота могут быть описаны многообразием, называемым пространством конфигураций. В области планирования движений ищут пути между двумя точками в пространстве конфигураций. Эти пути представляют собой последовательность движений звеньев и других частей робота, приводящую к желаемой позе.

Игры и головоломки

Головоломки на распутывание основаны на топологических аспектах формы и компонентов головоломки.

Искусство из волокон

Для создания непрерывного соединения элементов в модульной конструкции необходимо построить замкнутый путь, который охватывает каждый элемент и проходит по каждому ребру ровно один раз. Этот процесс является применением эйлерова пути.

Основные журналы

Geometry & Topology – математический исследовательский журнал, посвященный геометрии и топологии, а также их приложениям, издаваемый Mathematical Sciences Publishers. Journal of Topology – научный журнал, публикующий высококачественные и значимые статьи по топологии, геометрии и смежным областям математики.

Основные книги

Munkres, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall. Willard, Стивен (2016). Общая топология. Книги Dover по математике. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. Armstrong, M. A. (1983). Основы топологии. Подсерия «Математические тексты для студентов». Нью-Йорк: Springer Verlag.