Кіріспе
Өлшем теориясындағы лемма
Математикада Фату леммасы функциялар тізбегінің төменгі лимітінің Лебег интегралы мен осы функциялардың интегралдарының төменгі лиміті арасындағы теңсіздікті орнатады. Лемма Пьер Фатудың құрметіне аталған. Фату леммасы Фату-Лебег теоремасын және Лебегтің үстемді конвергенция теоремасын дәлелдеуге қолданылуы мүмкін.
Стандартты есеп
Келесі мәтінде, -ны жинақтардың Борель алгебрасы деп белгілейміз. Фату леммасы оның шарттары дерлік барлық жерде орындалса да қолданылады. Яғни, мәндерінің кез келген үшін теріс емес болуы үшін нөлдік жиынның болуы жеткілікті. Мұны мынадан көруге болады: Фату леммасындағы интегралдар, егер біз жиынындағы әрбір функцияны өзгертсек, өзгермейді.
Fatou's lemma remains true if its assumptions hold almost everywhere. In other words, it is enough that there is a null set such that the values are non negative for every To see this, note that the integrals appearing in Fatou's lemma are unchanged if we change each function on .
Қатаң теңсіздіктің мысалдары
Борел σ алгебрасымен және Лебег өлшемімен кеңістікті жабдықтаңыз. Ықтималдық кеңістігінің мысалы: бірлік аралығын [0,1] деп белгілейік. Әрбір табиғи сан n үшін анықтаңыз
Біркелкі жинақталу мысалы: Барлық нақты сандар жиынын ℝ деп белгілейік. Анықтаңыз
Бұл тізбектер ℝ-да нүкте бойынша (сәйкесінше, біркелкі) нөлдік функцияға (нөлдік интегралы бар) жиналады, бірақ әрбір тізбек мүшесінің интегралы бірге тең.
Теріс емес рөл
f1, f2 функциялар тізбегінің теріс бөліктеріне қатысты дұрыс болжам жасау Фату леммасы үшін қажет, бұл келесі мысалдан көрінеді. S жартылай түзуін [0,∞) Борель σ-алгебрасы және Лебег өлшемімен белгілейік. Кез келген натурал сан n үшін, бұл тізбек S-те нөлдік функцияға біркелкі жақындайды және лимит 0-ге жетеді: кез келген x ≥ 0 үшін, егер n > x болса, онда fn(x) = 0. Дегенмен, әрбір fn функциясының интегралы -1-ге тең. Фату леммасына қайшы, бұл мән лимит интегралынан (0) қатаң түрде кішкентай. Төменде талқыланғандай, мәселе тізбектің төменнен біркелкі интегралданатын шегі болмауында, ал 0 жоғарыдан біркелкі шектелген.
This sequence converges uniformly on S to the zero function and the limit, 0, is reached in a finite number of steps: for every x ≥ 0, if n > x, then fn(x) = 0. However, every function fn has integral −1. Contrary to Fatou's lemma, this value is strictly less than the integral of the limit (0). As discussed in below, the problem is that there is no uniform integrable bound on the sequence from below, while 0 is the uniform bound from above.
Фатту леммасы кері
f1, f2, ... – өлшем кеңістігінде (S, Σ, μ) анықталған, кеңейтілген нақты мәнді өлшенетін функциялар тізбегі болсын. Егер S-те fn ≤ g шарты барлық n үшін орындалатын теріс емес интегралданатын g функциясы болса, онда.
Ескерту: Мұнда интегралданатын g функциясы дегеніміз, g өлшенетін және .
Дәлелдің сызбасы
Біз Лебег интегралының сызықтық қасиетін және Фату леммасын тізбекке қолданамыз, себебі бұл тізбек дерлік барлық жерде анықталған және теріс емес.
Интеграцияланатын төменгі шек
f1, f2, ... – (S,Σ,μ) өлшем кеңістігінде анықталған, кеңейтілген нақты мәнді өлшенетін функциялар тізбегі болсын. Егер барлық n үшін fn ≥ −g болатын, S-де интегралданатын g функциясы болса, онда
Дәлел
Фату леммасын fn + g арқылы берілген оң бағытты реттілікке қолданыңыз.
Нысандық конвергенция
Егер бұрынғы жағдайда f1, f2, ... тізбегі S жиынының дерлік барлық нүктелерінде f функциясына нүктелік түрде жақындасса, онда
Дәлел
f функциясы fn функцияларының лимит инфимумымен дерлік әр жерде сәйкес келуі керек, сондай-ақ нөлдік өлшемге ие жиынтықтағы интеграл астындағы функцияның мәндері интегралдың мәніне әсер етпейді.
Өлшемдегі конвергенция
Соңғы тұжырым да сақталады, егер f1, f2, ... тізбегі f функциясына шамамен жинақталса.
Шартты күтулер үшін Фатудың леммасы
Ықтималдық теориясында, белгілеуді өзгерту арқылы, Фату леммасының жоғарыда келтірілген нұсқалары X1, X2, ... тізбегіне қолданылады, олар ықтималдық кеңістігінде анықталған; интегралдар күтілімдерге айналады. Бұған қоса, шартты күтілімдерге арналған нұсқасы да бар.
Стандартты нұсқа
X1, X2, ... болсын – ықтималдық кеңістігіндегі теріс емес кездейсоқ шамалар тізбегі және – ішкі σ-алгебра болсын. Онда дерлік сөзсіз (демек, дерлік барлық жағдайда) . Ескерту: Теріс емес кездейсоқ шамалар үшін шартты күту әрқашан дұрыс анықталған, шекті күтудің болуы қажет емес.
be a sub σ algebra. Then
almost surely. Note: Conditional expectation for non negative random variables is always well defined, finite expectation is not needed.