Введение

Лемма в теории меры

В математике лемма Фату устанавливает неравенство, связывающее интеграл Лебега от предельного нижнего значения последовательности функций с предельным нижним значением интегралов этих функций. Лемма названа в честь Пьера Фату. Лемма Фату может быть использована для доказательства теоремы Фату — Лебега и теоремы о мажорированной сходимости Лебега.

Стандартное заявление

В дальнейшем, обозначает алгебру борелевских множеств на . Лемма Фату остаётся верной, если её предположения выполняются почти всюду. Иными словами, достаточно существования множества меры нуль, такого что значения неотрицательны для всех . Чтобы увидеть это, заметим, что интегралы, фигурирующие в лемме Фату, не изменяются, если мы изменим каждую функцию на .

Примеры строгого неравенства

Оснастите пространство алгеброй Бореля σ и мерой Лебега. Пример вероятностного пространства: пусть обозначает единичный интервал. Для каждого натурального числа n определите

Пример с равномерной сходимостью: Пусть обозначает множество всех действительных чисел. Определите

Эти последовательности сходятся на множестве ℝ поточечно (соответственно равномерно) к нулевой функции (с нулевым интегралом), но интеграл каждой из них равен единице.

Роль неотрицательности

Удобное предположение относительно отрицательных частей последовательности функций f1, f2, … необходимо для леммы Фату, как показывает следующий пример. Пусть S обозначает полупрямую [0, ∞) с сигма-алгеброй Бореля и мерой Лебега. Для каждого натурального числа n определим

Эта последовательность сходится равномерно на S к нулевой функции, и предел, 0, достигается в конечное число шагов: для каждого x ≥ 0, если n > x, то fn(x) = 0. Однако, интеграл каждой функции fn равен −1. В отличие от леммы Фату, это значение строго меньше интеграла предела (0). Как обсуждается далее, проблема заключается в отсутствии равномерной интегрируемости последовательности снизу, в то время как 0 является равномерной оценкой сверху.

Обратная лемма Фату

Пусть f1, f2, ... — последовательность расширенных измеряемых функций с действительными значениями, определенных на измеримом пространстве (S, Σ, μ). Если существует неотрицательная интегрируемая функция g на S, такая что fn ≤ g для всех n, то…

Примечание: Здесь под интегрируемостью g понимается, что g измерима и что…

Схема доказательства

Мы применяем линейность интеграла Лебега и лемму Фату к последовательности, поскольку она определена почти всюду и неотрицательна.

Интегрируемая нижняя граница

Пусть f1, f2, ... — последовательность расширенных измеримых функций с действительными значениями, определенных на измеримом пространстве (S, Σ, μ). Если существует интегрируемая функция g на S такая, что fn ≥ −g для всех n, то

Доказательство

Применим лемму Фату к неотрицательной последовательности, заданной как fn + g.

Точечная конвергенция

Если в предыдущей постановке последовательность f1, f2, ... сходится поточечно к функции f почти всюду на S, то

Доказательство

Обратите внимание, что функция f должна совпадать с пределом снизу функций fn почти всюду, и что значения подынтегральной функции на множестве меры нуль не оказывают влияния на значение интеграла.

Сближение в измерении

Последнее утверждение также справедливо, если последовательность f1, f2, ... сходится по мере к функции f.

Лемма Фату для условных ожиданий

В теории вероятностей, посредством изменения обозначений, вышеприведенные формулировки леммы Фату применимы к последовательностям случайных величин X1, X2, … , определенных на вероятностном пространстве; интегралы становятся математическими ожиданиями. Кроме того, существует также версия для условных математических ожиданий.

Стандартная версия

Пусть X1, X2, ... будет последовательностью неотрицательных случайных переменных на пространстве вероятности, и пусть ℱ будет суб-σ-алгеброй. Тогда E[X | ℱ] ≥ 0 почти наверное. Примечание: Условное математическое ожидание для неотрицательных случайных переменных всегда определено, конечность математического ожидания не требуется.