Кіріспе
Математикада симплектілік векторлық кеңістік – симплектілік билинеарлық формамен жабдықталған F өрісі (мысалы, нақты сандар R) үстіндегі V векторлық кеңістік. Симплектикалық билинеарлық форма – ω: V × V → F бейнелеуі, ол әр аргумент бойынша жеке-жеке сызықтық; барлық v ∈ V үшін ω(v, v) = 0 тепе-теңдігі орындалады; және барлық v ∈ V үшін ω(u, v) = 0 болса, онда u = 0 болады. Егер өрістің сипаттамасы 2-ге тең болмаса, антисимметриялық қасиет симметриялық емес қасиетке тең. Егер сипаттамасы 2 болса, симметриялық емес қасиет антисимметриялық қасиетті білдіреді, бірақ керісінше емес. Бұл жағдайда кез келген симплектикалық форма симметриялық форма болып табылады, бірақ керісінше дұрыс емес. Белгілі бір базисте жұмыс істегенде ω матрица арқылы көрсетілуі мүмкін. Жоғарыдағы шарттар осы матрицаның антисимметриялық, сингуляр емес және диагональдық элементтері нөлге тең (қуыс) болуымен тең. Бұл кеңістіктің симплектикалық түрлендіруін көрсететін симплектикалық матрицамен шатастырылмауы керек. Егер V шекті өлшемді болса, онда оның өлшемі жұп болуы керек, себебі тақ өлшемді кез келген антисимметриялық, диагональдық элементтері нөлге тең матрицаның анықтамасы нөлге тең. Өрістің сипаттамасы 2 болған жағдайда матрицаның диагональдық элементтері нөлге тең болуының шарты артық емес екеніне назар аударыңыз. Симплектикалық форма симметриялық формадан, мысалы, евклидтік векторлық кеңістіктегі скалярлық көбейтіндіден мүлдем өзгеше әрекет етеді.
Bilinear Linear in each argument separately;
Alternating 1=ω(v, v) = 0 holds for all v ∈ V; and
Non degenerate 1=ω(u, v) = 0 for all v ∈ V implies that 1=u = 0. If the underlying field has characteristic not 2, alternation is equivalent to skew symmetry. If the characteristic is 2, the skew symmetry is implied by, but does not imply alternation. In this case every symplectic form is a symmetric form, but not vice versa. Working in a fixed basis, ω can be represented by a matrix. The conditions above are equivalent to this matrix being skew symmetric, nonsingular, and hollow (all diagonal entries are zero). This should not be confused with a symplectic matrix, which represents a symplectic transformation of the space. If V is finite dimensional, then its dimension must necessarily be even since every skew symmetric, hollow matrix of odd size has determinant zero. Notice that the condition that the matrix be hollow is not redundant if the characteristic of the field is 2. A symplectic form behaves quite differently from a symmetric form, for example, the scalar product on Euclidean vector spaces.
Лагранждық форма
Бұл стандартты симплектикалық форманы түсіндірудің тағы бір жолы бар. Жоғарыда пайдаланылған R2n модельдік кеңістігі тым көп канондық құрылымды алып жүретіндіктен, одан қате түсінік тууы мүмкін, сондықтан біз оның орнына «анонимді» векторлық кеңістіктерді қолданамыз. V – n өлшемді нақты векторлық кеңістік, ал V* – оның жұптас кеңістігі болсын. Енді осы кеңістіктердің тікелей қосындысын, W = V ⊕ V* қарастырайық, ол мынадай формамен жабдықталған:
Now choose any basis (v1, , vn) of V and consider its dual basis
We can interpret the basis vectors as lying in W if we write 1=xi = (vi, 0) and yi = (0, vi∗). Taken together, these form a complete basis of W,
The form ω defined here can be shown to have the same properties as in the beginning of this section. On the other hand, every symplectic structure is isomorphic to one of the form V ⊕ V∗. The subspace V is not unique, and a choice of subspace V is called a polarization. The subspaces that give such an isomorphism are called Lagrangian subspaces or simply Lagrangians. Explicitly, given a Lagrangian subspace as defined below, then a choice of basis (x1, , xn) defines a dual basis for a complement, by 1=ω(xi, yj) = δij.
Енді V-дің кез келген негізін (v1, …, vn) таңдап, оның жұптас негізін қарастырайық. Егер біз xi = (vi, 0) және yi = (0, vi*) деп жазсақ, онда негіз векторларын W-де жатқандай түсіндіруге болады. Бірге алғанда, олар W-дің толық негізін құрайды. Мұнда анықталған ω формасы осы бөлімнің басында көрсетілгендей қасиеттерге ие екенін көрсетуге болады. Екінші жағынан, кез келген симплектикалық құрылым V ⊕ V* формасындағы біріне изоморфты болады. V субкеңістігі бірегей емес, ал V субкеңістігін таңдау поляризация деп аталады. Мұндай изоморфизмді қамтамасыз ететін субкеңістіктер Лагранж субкеңістіктері немесе жай ғана Лагранждар деп аталады. Нақтырақ айтқанда, төменде анықталған Лагранж субкеңістігі берілген жағдайда, (x1, …, xn) негізін таңдау, ω(xi, yj) = δij шарты арқылы толықтыру үшін жұптас негізді анықтайды.
Now choose any basis (v1, , vn) of V and consider its dual basis
We can interpret the basis vectors as lying in W if we write 1=xi = (vi, 0) and yi = (0, vi∗). Taken together, these form a complete basis of W,
The form ω defined here can be shown to have the same properties as in the beginning of this section. On the other hand, every symplectic structure is isomorphic to one of the form V ⊕ V∗. The subspace V is not unique, and a choice of subspace V is called a polarization. The subspaces that give such an isomorphism are called Lagrangian subspaces or simply Lagrangians. Explicitly, given a Lagrangian subspace as defined below, then a choice of basis (x1, , xn) defines a dual basis for a complement, by 1=ω(xi, yj) = δij.
Күрделі құрылымдарға ұқсастық
Әрбір симплектикалық құрылым V ⊕ V*-қа изоморфты болған сияқты, векторлық кеңістіктегі әрбір комплекс құрылым V ⊕ V-қа изоморфты. Осы құрылымдарды қолданып, 2n-маніфольд ретінде қарастырылатын n-маніфольдтың тангенциалдық бунделі, ал 2n-маніфольд ретінде қарастырылатын n-маніфольдтың котангенциалдық бунделі симплектикалық құрылымға ие: 1=T*(T*M)p = Tp(M) ⊕ (Tp(M))*. Лагранждық субкеңістіктің комплекс аналогы – нақты субкеңістік, оның комплекстеуі бүкіл кеңістікке тең: 1=W = V ⊕ JV. Жоғарыдағы стандартты симплектикалық формадан көрініп тұрғандай, R2n-дегі әрбір симплектикалық форма Cn-дегі стандартты комплекс (эрмиттік) ішкі көбейтіндісінің жолғары бөлігіне изоморфты (бірінші аргументтің антисызықтық екендігі шартымен).
Симплекстік карта
(V, ω) және (W, ρ) симплектілік векторлық кеңістіктер болсын. Онда f: V → W сызықтық бейнелеуі симплектикалық бейнелеу деп аталады, егер кері тартылу симплектикалық форманы сақтаса, яғни f*ρ = ω болса. Симплектикалық бейнелеулер көлемді және бағдарды сақтайды.
Симплектілік топ
Егер 1=V = W болса, симплектілік бейнелеу V кеңістігінің сызықтық симплектілік түрлендіруі деп аталады. Атап айтқанда, мұндай жағдайда 1=ω(f(u), f(v)) = ω(u, v) теңдігі орындалады, демек сызықтық түрлендіру f симплектілік пішінды сақтайды. Барлық симплектілік түрлендірулердің жиынтығы топты құрайды, және нақтырақ айтқанда, ол Лай тобы болып табылады, симплектілік топ деп аталады және Sp(V) немесе кейде Sp(V, ω) деп белгіленеді. Матрицалық түрінде симплектілік түрлендірулер симплектілік матрицалармен беріледі.
Гейзенберг тобы
Гейзенберг тобы кез келген симплектикалық векторлық кеңістік үшін анықталуы мүмкін, және бұл Гейзенберг топтарының пайда болуының типолық жолы. Векторлық кеңістікті коммутативті Лай тобы (қосылу арқылы) немесе эквивалентті коммутативті Лай алгебрасы ретінде қарастыруға болады, яғни тривиалды Лай жақшасымен. Гейзенберг тобы мұндай коммутативті Лай тобының/алгебраның орталық кеңейтімі болып табылады: симплектикалық форма коммутацияны анықтайды, бұл каноникалық коммутациялық қатынастарға (ККҚ) ұқсас, ал Дарбукс негізі физика терминдерінде каноникалық координаттарға – импульс операторлары мен позиция операторларына сәйкес келеді. Шындығында, Стоун-Вон Нейман теоремасы бойынша, ККҚ-ны қанағаттандыратын кез келген бейнелеу (Гейзенберг тобының кез келген бейнелеуі) осы формада болады немесе дәлірек айтқанда стандартты бейнелеуге унитарлық конъюгацияланады. Бұдан әрі, векторлық кеңістіктің (оның дуалының) топ алгебрасы симметриялық алгебра болып табылады, ал Гейзенберг тобының (оның дуалының) топ алгебрасы Вейль алгебрасы болып табылады: орталық кеңейтуді кванттау немесе деформация ретінде қарастыруға болады. Формальды түрде, F өрісіндегі V векторлық кеңістіктің симметриялық алгебрасы – 1=Sym(V) := F[V∗] – дуалдың топ алгебрасы, ал Вейль алгебрасы – (дуалды) Гейзенберг тобының топ алгебрасы 1=W(V) = F[H(V∗)]. Топ алгебраларына өту контрвариантты функтор болғандықтан, орталық кеңейту картасы H(V) → V, Sym(V) → W(V инклюзиясы болады.