Введение
В математике симплектическое векторное пространство — это векторное пространство V над полем F (например, действительными числами R), снабжённое симплектической билинейной формой. Симплектическая билинейная форма — это отображение ω: V × V → F, которое является билинейным по каждому аргументу в отдельности; антисимметричным, то есть ω(v, v) = 0 для всех v ∈ V; и невырожденным, то есть ω(u, v) = 0 для всех v ∈ V влечёт u = 0. Если базовое поле имеет характеристику, отличную от 2, антисимметричность эквивалентна кососимметричности. Если характеристика равна 2, кососимметричность влечёт антисимметричность, но не наоборот. В этом случае любая симплектическая форма является симметричной формой, но не наоборот. Работая в фиксированном базисе, ω можно представить матрицей. Вышеперечисленные условия эквивалентны тому, что эта матрица является кососимметричной, невырожденной и разряженной (все диагональные элементы равны нулю). Это не следует путать с симплектической матрицей, которая представляет симплектическое преобразование пространства. Если V конечномерно, то его размерность обязательно должна быть чётной, поскольку каждая кососимметричная разряженная матрица нечётного размера имеет нулевой определитель. Следует отметить, что условие разряженности матрицы не избыточно, если характеристика поля равна 2. Симплектическая форма ведёт себя существенно иначе, чем симметричная форма, например, скалярное произведение в евклидовых векторных пространствах.
Bilinear Linear in each argument separately;
Alternating 1=ω(v, v) = 0 holds for all v ∈ V; and
Non degenerate 1=ω(u, v) = 0 for all v ∈ V implies that 1=u = 0. If the underlying field has characteristic not 2, alternation is equivalent to skew symmetry. If the characteristic is 2, the skew symmetry is implied by, but does not imply alternation. In this case every symplectic form is a symmetric form, but not vice versa. Working in a fixed basis, ω can be represented by a matrix. The conditions above are equivalent to this matrix being skew symmetric, nonsingular, and hollow (all diagonal entries are zero). This should not be confused with a symplectic matrix, which represents a symplectic transformation of the space. If V is finite dimensional, then its dimension must necessarily be even since every skew symmetric, hollow matrix of odd size has determinant zero. Notice that the condition that the matrix be hollow is not redundant if the characteristic of the field is 2. A symplectic form behaves quite differently from a symmetric form, for example, the scalar product on Euclidean vector spaces.
Лагранжская форма
Есть и другой способ интерпретации этой стандартной симплектической формы. Поскольку модель пространства R2n, используемая выше, несет в себе много канонической структуры, которая может легко привести к неверной интерпретации, мы будем использовать "анонимные" векторные пространства вместо этого. Пусть V – вещественное векторное пространство размерности n, а V* – его двойственное пространство. Теперь рассмотрим прямую сумму W = V ⊕ V* этих пространств, снабженную следующей формой:
Now choose any basis (v1, , vn) of V and consider its dual basis
We can interpret the basis vectors as lying in W if we write 1=xi = (vi, 0) and yi = (0, vi∗). Taken together, these form a complete basis of W,
The form ω defined here can be shown to have the same properties as in the beginning of this section. On the other hand, every symplectic structure is isomorphic to one of the form V ⊕ V∗. The subspace V is not unique, and a choice of subspace V is called a polarization. The subspaces that give such an isomorphism are called Lagrangian subspaces or simply Lagrangians. Explicitly, given a Lagrangian subspace as defined below, then a choice of basis (x1, , xn) defines a dual basis for a complement, by 1=ω(xi, yj) = δij.
Теперь выберем любое основание (v1, ..., vn) пространства V и рассмотрим его двойственное основание. Мы можем интерпретировать векторы этого основания как принадлежащие W, если записать xi = (vi, 0) и yi = (0, vi*). Взятые вместе, они образуют полный базис пространства W.
Now choose any basis (v1, , vn) of V and consider its dual basis
We can interpret the basis vectors as lying in W if we write 1=xi = (vi, 0) and yi = (0, vi∗). Taken together, these form a complete basis of W,
The form ω defined here can be shown to have the same properties as in the beginning of this section. On the other hand, every symplectic structure is isomorphic to one of the form V ⊕ V∗. The subspace V is not unique, and a choice of subspace V is called a polarization. The subspaces that give such an isomorphism are called Lagrangian subspaces or simply Lagrangians. Explicitly, given a Lagrangian subspace as defined below, then a choice of basis (x1, , xn) defines a dual basis for a complement, by 1=ω(xi, yj) = δij.
Можно показать, что форма ω, определенная здесь, обладает теми же свойствами, что и в начале этого раздела. С другой стороны, любая симплектическая структура изоморфна структуре вида V ⊕ V*. Подпространство V не является единственным, и выбор подпространства V называется поляризацией. Подпространства, обеспечивающие такой изоморфизм, называются лагранжевыми подпространствами или просто лагранжианами. В частности, задано лагранжево подпространство, как определено ниже, то выбор базиса (x1, ..., xn) определяет двойственный базис для дополнения, такой что ω(xi, yj) = δij.
Now choose any basis (v1, , vn) of V and consider its dual basis
We can interpret the basis vectors as lying in W if we write 1=xi = (vi, 0) and yi = (0, vi∗). Taken together, these form a complete basis of W,
The form ω defined here can be shown to have the same properties as in the beginning of this section. On the other hand, every symplectic structure is isomorphic to one of the form V ⊕ V∗. The subspace V is not unique, and a choice of subspace V is called a polarization. The subspaces that give such an isomorphism are called Lagrangian subspaces or simply Lagrangians. Explicitly, given a Lagrangian subspace as defined below, then a choice of basis (x1, , xn) defines a dual basis for a complement, by 1=ω(xi, yj) = δij.
Аналогия с сложными структурами
Так же, как каждая симплектическая структура изоморфна одной из форм V ⊕ V*, каждая комплексная структура на векторном пространстве изоморфна одной из форм V ⊕ V. Используя эти структуры, тангенциальный расслоение n-многообразия, рассматриваемое как 2n-многообразие, имеет почти комплексную структуру, а котангенциальный расслоение n-многообразия, рассматриваемое как 2n-многообразие, имеет симплектическую структуру: 1 = T*(T*M)p = Tp(M) ⊕ (Tp(M))*. Комплексным аналогом лагранжева подпространства является вещественное подпространство, подпространство, комплексификация которого является всем пространством: 1 = W = V ⊕ J V. Как видно из стандартной симплектической формы, приведенной выше, каждая симплектическая форма на R2n изоморфна мнимой части стандартного комплексного (эрмитова) внутреннего произведения на Cn (с соглашением, что первый аргумент антилинеен).
Симплектическая карта
Предположим, что (V, ω) и (W, ρ) — симплектические векторные пространства. Тогда линейное отображение f : V → W называется симплектическим отображением, если обратное отображение сохраняет симплектическую форму, то есть ρ(f⁻¹(v), f⁻¹(w)) = ω(v, w) для всех v, w ∈ V. Симплектические отображения сохраняют объем и ориентацию.
Симплектическая группа
Если V = W, то симплектическое отображение называется линейным симплектическим преобразованием пространства V. В частности, в этом случае выполняется равенство ω(f(u), f(v)) = ω(u, v), и, следовательно, линейное преобразование f сохраняет симплектическую форму. Множество всех симплектических преобразований образует группу, и в частности, группу Ли, называемую симплектической группой и обозначаемую Sp(V) или иногда Sp(V, ω). Симплектические преобразования в матричной форме задаются симплектическими матрицами.
Группа Гейзенберга
Группа Гейзенберга может быть определена для любого симплектического векторного пространства, и это типичный способ возникновения групп Гейзенберга. Векторное пространство можно рассматривать как коммутативную группу Ли (под сложением), или, эквивалентно, как коммутативную алгебру Ли, то есть с тривиальным скобком Ли. Группа Гейзенберга является центральным расширением такой коммутативной группы Ли/алгебры: симплектическая форма определяет коммутацию, аналогично каноническим коммутационным соотношениям (CCR), а основание Дарбукса соответствует каноническим координатам – в физических терминах, операторам импульса и операторам положения. Действительно, по теореме Стоуна — фон Неймана, каждое представление, удовлетворяющее CCR (каждое представление группы Гейзенберга), имеет такую форму, или, точнее, унитарно сопряжено со стандартным. Далее, групповая алгебра (двойственного к) векторного пространства является симметричной алгеброй, а групповая алгебра группы Гейзенберга (двойственного к ней) — алгеброй Вейля: можно рассматривать центральное расширение как соответствующее квантованию или деформации. Формально, симметричная алгебра векторного пространства V над полем F является групповой алгеброй двойственного пространства, 1=Sym(V) := F[V∗], а алгебра Вейля — групповой алгеброй (двойственной) группы Гейзенберга 1=W(V) = F[H(V∗)]. Поскольку переход к групповым алгебрам является контравариантным функтором, центральное отображение расширения H(V) → V становится включением Sym(V) → W(V).