Кіріспе
Қарапайым Лай тобы; октонийлердің автоморфизм тобы DISPLAYTITLE:G2 (математика)
DISPLAYTITLE:G2 (mathematics)
Математикада G2 – үш қарапайым Лай тобы (кешенді форма, компактты нақты форма және бөлінген нақты форма), олардың Лай алгебралары, сондай-ақ кейбір алгебралық топтар. Олар бес ерекше қарапайым Лай тобының ең кішісі болып табылады. G2-нің рангі 2, ал өлшемі 14. Оның 7 және 14 өлшемді екі түпнұсқалық бейнелеуі бар. G2-нің компактты формасын октоний алгебрасының автоморфизм тобы ретінде немесе, балама ретінде, 8 өлшемді нақты спинорлық бейнелеуіндегі (спин бейнелеу) кез келген таңдалған нақты векторды сақтайтын SO(7) тобының ішкі тобы ретінде сипаттауға болады.
Тарих
Ли алгебрасы, ең кішкентай ерекше қарапайым Ли алгебрасы болып табылатындықтан, қарапайым Ли алгебраларын жіктеу әрекеттерінде ашылған алғашқы алгебра болды. 1887 жылдың 23 мамырында Вильгельм Киллинг Фридрих Энгельге 14 өлшемді қарапайым Ли алгебрасын тапқанын хабарлаған хат жазды, оны қазір біз G2 деп атаймыз.
In 1893, Élie Cartan published a note describing an open set in equipped with a 2 dimensional distribution—that is, a smoothly varying field of 2 dimensional subspaces of the tangent space—for which the Lie algebra appears as the infinitesimal symmetries. In the same year, in the same journal, Engel noticed the same thing. Later it was discovered that the 2 dimensional distribution is closely related to a ball rolling on another ball. The space of configurations of the rolling ball is 5 dimensional, with a 2 dimensional distribution that describes motions of the ball where it rolls without slipping or twisting. In 1900, Engel discovered that a generic antisymmetric trilinear form (or 3 form) on a 7 dimensional complex vector space is preserved by a group isomorphic to the complex form of G2. In 1908 Cartan mentioned that the automorphism group of the octonions is a 14 dimensional simple Lie group. In 1914 he stated that this is the compact real form of G2. In older books and papers, G2 is sometimes denoted by E2.
1893 жылы Эли Картан 2 өлшемді таралыммен жабдықталған ашық жиынтықты сипаттайтын мақала жариялады, яғни жанама кеңістіктің 2 өлшемді ішкі кеңістіктерінің тегіс өзгеретін өрісі, онда Ли алгебрасы шексіз симметриялар ретінде көрінеді. Сол жылы, сол журналда Энгель де осыған ұқсас нәрсені байқады. Кейіннен 2 өлшемді таралымның бір шардың екінші шардың үстінде домалануымен тығыз байланысты екендігі анықталды. Домалап жатқан шардың конфигурацияларының кеңістігі 5 өлшемді, ал 2 өлшемді таралым шардың сырғанамай және бұрылмай қозғалуын сипаттайды. 1900 жылы Энгель 7 өлшемді кешенді векторлық кеңістіктегі жалпы антисимметриялық трилинейлік форманың (немесе 3-форманың) G2-нің кешенді түріне изоморфты топпен сақталуын анықтады. 1908 жылы Картан октониондардың автоморфизм тобының 14 өлшемді қарапайым Ли тобы екенін атап өтті. 1914 жылы ол бұл G2-нің компактты нақты түрі екенін мәлімдеді. Ескі кітаптар мен мақалаларда G2 кейде E2 деп белгіленеді.
In 1893, Élie Cartan published a note describing an open set in equipped with a 2 dimensional distribution—that is, a smoothly varying field of 2 dimensional subspaces of the tangent space—for which the Lie algebra appears as the infinitesimal symmetries. In the same year, in the same journal, Engel noticed the same thing. Later it was discovered that the 2 dimensional distribution is closely related to a ball rolling on another ball. The space of configurations of the rolling ball is 5 dimensional, with a 2 dimensional distribution that describes motions of the ball where it rolls without slipping or twisting. In 1900, Engel discovered that a generic antisymmetric trilinear form (or 3 form) on a 7 dimensional complex vector space is preserved by a group isomorphic to the complex form of G2. In 1908 Cartan mentioned that the automorphism group of the octonions is a 14 dimensional simple Lie group. In 1914 he stated that this is the compact real form of G2. In older books and papers, G2 is sometimes denoted by E2.
Вейл/Коксетер тобы
Оның Вейль/Коксетер тобы 12 реттік диэдрлік топ болып табылады. Ол ең төменгі инекейлік дәрежеге ие.
Арнайы голономия
G2 – Риман метрикасының голономиялық тобы болып табылатын мүмкін ерекше топтардың бірі. G2 голономиялық тобына ие көптеуіштер G2 көптеуіштері деп аталады.
Өкілдіктер
Нақты және күрделі Ли алгебралары мен Ли топтарының шекті өлшемді бейнелерінің таңбалары Вейль таңбалық формуласымен беріледі. Ең кіші редукцияланбайтын бейнелеулердің өлшемдері: 1, 7, 14, 27, 64, 77 (екі рет), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (екі рет), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (екі рет), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090.
1, 7, 14, 27, 64, 77 (twice), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (twice), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (twice), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090
The 14 dimensional representation is the adjoint representation, and the 7 dimensional one is action of G2 on the imaginary octonions. There are two non isomorphic irreducible representations of dimensions 77, 2079, 4928, 30107, etc. The fundamental representations are those with dimensions 14 and 7 (corresponding to the two nodes in the Dynkin diagram in the order such that the triple arrow points from the first to the second). described the (infinite dimensional) unitary irreducible representations of the split real form of G2. The embeddings of the maximal subgroups of G2 up to dimension 77 are shown to the right.
14 өлшемді бейнелеу – қосымша бейнелеу, ал 7 өлшемді бейнелеу – G2 тобының қиял октониондарына әсер етуі. 77, 2079, 4928, 30107 және т.б. өлшемдерде екі теңестірілмейтін, қайталанбайтын бейнелеулер бар. Негізгі бейнелеулер – 14 және 7 өлшемді бейнелеулер (Динкин диаграммасындағы екі түйінге сәйкес келеді, мұнда үштік жебе біріншіден екіншіге қарай бағытталған). G2 тобының бөлінген нақты түрінің (шексіз өлшемді) бірлікте қысқартылмайтын бейнелері сипатталған. G2 тобының ең үлкен кіші топтарының 77 өлшемге дейінгі енуі оң жақта көрсетілген.
1, 7, 14, 27, 64, 77 (twice), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (twice), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (twice), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090
The 14 dimensional representation is the adjoint representation, and the 7 dimensional one is action of G2 on the imaginary octonions. There are two non isomorphic irreducible representations of dimensions 77, 2079, 4928, 30107, etc. The fundamental representations are those with dimensions 14 and 7 (corresponding to the two nodes in the Dynkin diagram in the order such that the triple arrow points from the first to the second). described the (infinite dimensional) unitary irreducible representations of the split real form of G2. The embeddings of the maximal subgroups of G2 up to dimension 77 are shown to the right.
Түпкіленген топтар
G2(q) тобы – Fq шекті өрісіндегі G2 алгебралық тобының нүктелері. Бұл шекті топтарды алғаш рет Леонард Юджин Диксон тақ q және жұп q үшін енгізді. G2(q) тобының реті q⁶(q⁶ − 1)(q² − 1) болып табылады. q ≠ 2 болғанда топ қарапайым, ал q = 2 болғанда, 2A₂(3²) изоморфты индексі 2 болатын қарапайым кіші тобы бар және ол октониондардың максималды ретінің автоморфизм тобы болып табылады. Янко тобы J₁ алғаш рет G₂(11) тобының кіші тобы ретінде құрылды. 1=q = 3²ⁿ+1 үшін, 3-тің тақ дәрежесі ретінде 2G₂(q) бұрылған Ree топтары q³(q³ + 1)(q − 1) ретімен енгізілді.