Введение
Простая группа Ли; группа автоморфизмов октонионов DISPLAYTITLE: G2 (математика)
DISPLAYTITLE:G2 (mathematics)
В математике G2 — это три простых группы Ли (комплексная форма, компактная вещественная форма и расщеплённая вещественная форма), их алгебры Ли, а также некоторые алгебраические группы. Они являются наименьшими из пяти исключительных простых групп Ли. G2 имеет ранг 2 и размерность 14. У неё два фундаментальных представления размерности 7 и 14. Компактная форма G2 может быть описана как группа автоморфизмов октонионной алгебры или, эквивалентно, как подгруппа SO(7), сохраняющая любой выбранный конкретный вектор в её 8-мерном вещественном спиноре (спинорное представление).
История
Алгебра Ли, будучи наименьшей исключительной простой алгеброй Ли, была первой из них, обнаруженной в попытке классифицировать простые алгебры Ли. 23 мая 1887 года Вильгельм Киллинг написал письмо Фридриху Энгелю, сообщив, что он нашёл 14-мерную простую алгебру Ли, которую мы теперь называем . В 1893 году Эли Картан опубликовал заметку, описывающую открытое множество, снабжённое 2-мерным распределением, то есть плавно меняющимся полем 2-мерных подпространств касательного пространства, для которого алгебра Ли выступает в качестве бесконечно малых симметрий. В том же году, в том же журнале, Энгель отметил то же самое. Позже было обнаружено, что 2-мерное распределение тесно связано с шаром, катящимся по другому шару. Пространство конфигураций катящегося шара имеет 5 измерений, с 2-мерным распределением, описывающим движения шара при качении без проскальзывания и скручивания. В 1900 году Энгель обнаружил, что общая антисимметричная трилинейная форма (или 3-форма) на 7-мерном комплексном векторном пространстве сохраняется группой, изоморфной комплексной форме G2. В 1908 году Картан упомянул, что группа автоморфизмов октонионов является 14-мерной простой группой Ли. В 1914 году он заявил, что это компактная вещественная форма G2. В старых книгах и статьях G2 иногда обозначается как E2.
In 1893, Élie Cartan published a note describing an open set in equipped with a 2 dimensional distribution—that is, a smoothly varying field of 2 dimensional subspaces of the tangent space—for which the Lie algebra appears as the infinitesimal symmetries. In the same year, in the same journal, Engel noticed the same thing. Later it was discovered that the 2 dimensional distribution is closely related to a ball rolling on another ball. The space of configurations of the rolling ball is 5 dimensional, with a 2 dimensional distribution that describes motions of the ball where it rolls without slipping or twisting. In 1900, Engel discovered that a generic antisymmetric trilinear form (or 3 form) on a 7 dimensional complex vector space is preserved by a group isomorphic to the complex form of G2. In 1908 Cartan mentioned that the automorphism group of the octonions is a 14 dimensional simple Lie group. In 1914 he stated that this is the compact real form of G2. In older books and papers, G2 is sometimes denoted by E2.
Группа Weyl/Coxeter
Его группа Вейля/Кокстера является диэдрической группой порядка 12. Она имеет минимальную верную степень.
Специальная голономия
G2 — одна из возможных специальных групп, которые могут возникать в качестве группы голономии римановой метрики. Многообразия с голономией G2 также называют G2-многообразиями.
Представительства
Характеры конечных представлений вещественных и комплексных алгебр и групп Ли задаются формулой характеров Вейля. Размеры наименьших неприводимых представлений: 1, 7, 14, 27, 64, 77 (дважды), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (дважды), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (дважды), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090.
1, 7, 14, 27, 64, 77 (twice), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (twice), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (twice), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090
The 14 dimensional representation is the adjoint representation, and the 7 dimensional one is action of G2 on the imaginary octonions. There are two non isomorphic irreducible representations of dimensions 77, 2079, 4928, 30107, etc. The fundamental representations are those with dimensions 14 and 7 (corresponding to the two nodes in the Dynkin diagram in the order such that the triple arrow points from the first to the second). described the (infinite dimensional) unitary irreducible representations of the split real form of G2. The embeddings of the maximal subgroups of G2 up to dimension 77 are shown to the right.
14-мерное представление является сопряжённым представлением, а 7-мерное – действием G2 на воображаемые октонионы. Существуют два неизоморфных неприводимых представления размерностей 77, 2079, 4928, 30107 и т.д. Фундаментальные представления – это представления размерностей 14 и 7 (соответствующие двум вершинам на диаграмме Динкина в таком порядке, чтобы тройная стрелка указывала от первой ко второй). Были описаны (бесконечномерные) унитарные неприводимые представления расщепленной вещественной формы G2. Вложения максимальных подгрупп G2 до размерности 77 показаны справа.
1, 7, 14, 27, 64, 77 (twice), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (twice), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (twice), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090
The 14 dimensional representation is the adjoint representation, and the 7 dimensional one is action of G2 on the imaginary octonions. There are two non isomorphic irreducible representations of dimensions 77, 2079, 4928, 30107, etc. The fundamental representations are those with dimensions 14 and 7 (corresponding to the two nodes in the Dynkin diagram in the order such that the triple arrow points from the first to the second). described the (infinite dimensional) unitary irreducible representations of the split real form of G2. The embeddings of the maximal subgroups of G2 up to dimension 77 are shown to the right.
Конечные группы
Группа G2(q) – это точки алгебраической группы G2 над конечным полем Fq. Эти конечные группы были впервые введены Леонардом Юджином Диксоном для нечетных q и для четных q. Порядок G2(q) равен q⁶(q⁶ − 1)(q² − 1). При q ≠ 2 группа является простой, а при q = 2 она имеет простую подгруппу индекса 2, изоморфную 2A₂(3²), и является группой автоморфизмов октонионов максимального порядка. Группа Янко J1 была впервые построена как подгруппа G2(11). Введены скрученные группы Ри 2G2(q) порядка q³(q³ + 1)(q − 1) для q = 3^(2n)+1, нечетной степени 3.