Кіріспе

Өзіне кері функция

Бұл терминнің көне қолданылуы. Математикада инволюция, инволюциялық функция немесе өзіне кері функция – f функциясы, ол өзінің керісіне тең, яғни f(f(x)) = x, f функциясының анықталу облысындағы барлық x үшін. Басқаша айтқанда, f функциясын екі рет қолданғанда бастапқы мән шығады.

Жалпы қасиеттері

Кез келген инволюция — биекция болып табылады. Сәйкестік функциясы инволюцияның тривиальды мысалы болып табылады. Тривиальды емес инволюциялардың мысалдары: теріске шығару (x ↦ −x), өзара шамаға айналдыру (x ↦ 1/x) және арифметикадағы кешенді конъюгация; геометриядағы көрістіру, жарты айналу және шеңбер инверсиясы; жиын теориясындағы толықтыру; және ROT13 түрлендіруі және Бофорт полиалфавиттік шифры сияқты өзара шифрлаулар. Екі инволюция f және g-нің g ∘ f композициясы, олар коммутативті болса және тек сонда ғана инволюция болады: 1 = g ∘ f = f ∘ g.

Евклидтік геометрия

Үш өлшемді Евклид кеңістігінің инволюциясының қарапайым мысалы – жазықтық арқылы шағылысу. Екі рет шағылыс жасау нүктені бастапқы координаталарына қайтарады. Тағы бір инволюция – нөл нүктесі арқылы шағылысу; бұл жоғарыдағы мағынадағы шағылыс емес, сондықтан басқаша мысал. Бұл түрлендірулер аффиндік инволюциялардың мысалы болып табылады.

Жобалау геометриясы

Инволюция — бұл 2-кезеңді проективтілік, яғни нүктелер жұбын ауыстыратын проективтілік. Екі нүктені ауыстыратын кез келген проективтілік инволюция болып табылады. Толық төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғаларының үш жұбы, төбесінен өтпеген кез келген түзуді, инволюцияның үш жұбында кесіп өтеді. Бұл теорема Десаргтың инволюция теоремасы деп аталады. Оның бастауы Евклидтің Поризмдеріне қосымшалардың IV леммасында, Александриялық Папптың жинағының VII томында кездеседі. Егер инволюцияда бір бекітілген нүкте болса, онда оның тағы біреуі де болады, және ол осы екі нүктеге қатысты үйлесімді жұптардың сәйкестігінен тұрады. Мұндай жағдайда инволюция "гиперболалық" деп аталады, ал бекітілген нүктелер болмаса, ол "эллипстік" болып табылады. Проективтіліктер контекстінде бекітілген нүктелер "қос нүктелер" деп аталады.

Сызықтық алгебра

Сызықтық алгебрада инволюция – векторлық кеңістіктегі сызықтық оператор T, мұндағы 2-ге тән ерекшелік болмаса, мұндай операторлар берілген негізде сәйкес матрицаның диагоналінде тек 1-дер мен -1-дер болатын диагональдық түрге келтіріледі. Егер оператор ортогоналды болса (ортогоналды инволюция), онда ол ортонормальдық түрде диагональдық түрге келтіріледі. Мысалы, V векторлық кеңістігі үшін негіз таңдалды делік, және e1 және e2 – негіз элементтері. f сызықтық түрлендіруі e1-ді e2-ге, ал e2-ні e1-ге жіберсін, ал қалған барлық негіз векторларында сәйкестік сақталсын. V-дегі барлық x үшін 1=f(f(x)) = x екені тексеріледі. Яғни, f – V инволюциясы. Белгілі бір негіз үшін кез келген сызықтық операторды T матрицасы арқылы бейнелеуге болады. Әрбір матрицаның транспозыциясы бар, ол қатарларды бағандармен ауыстыру арқылы алынады. Бұл транспозиция матрицалар жиынында инволюция болып табылады. Элемент бойынша комплекс конъюгация тәуелсіз инволюция болғандықтан, конъюгациялық транспозиция немесе Эрмиттік қосымша да инволюция болып табылады. Инволюцияның анықтамасы модульдерге де оңай қолданылады. Егер R сақинасы арқылы M модулі берілсе, M-нің R эндоморфизмі M-дегі сәйкестік гомоморфизмі болса, онда ол инволюция деп аталады. Инволюциялар идемпотенттермен байланысты; егер 2 инвертирленетін болса, онда олар бір-бірге сәйкес келеді. Функционалдық талдауда Банах * алгебралары және C* алгебралары – инволюциялары бар Банах алгебраларының ерекше түрлері.

Топтық теория

Топтар теориясында топтың элементі, егер оның реті 2-ге тең болса, инволюция деп аталады; яғни инволюция – a ≠ e және a^(2) = e, мұндағы e – сәйкестік элементі. Алғашқыда бұл анықтама жоғарыдағы бірінші анықтамамен сәйкес келді, себебі топтардың мүшелері әрқашан жиынның өзіне бірге орналастыру (биекция) болды; яғни, топ – пермутация тобы ретінде қарастырылды. 19 ғасырдың соңында топ кеңірек анықталды, демек инволюция да солай анықталды. Пермутация, егер оны үзіліссіз транспозициялардың шекті көбейтіндісі түрінде жазуға болады, ғана инволюция болып табылады. Топтың инволюциялары топтың құрылымына зор әсер етеді. Инволюцияларды зерттеу шекті жай топтарды жіктеуде шешуші роль атқарды. Егер G тобының x элементі үшін t инволюциясы болса, онда ол элемент күшті нақты деп аталады. Коксетер топтары – S жиынтығындағы инволюциялар арқылы құрылған топтар, олар S элементтерінің жұптарының дәрежелерін қамтитын қатынастарға ғана бағынады. Коксетер топтарын, басқа нәрселермен қатар, мүмкін болатын дұрыс көпжақтарды және олардың жоғары өлшемдерге жалпыламаларын сипаттау үшін қолдануға болады.

Математикалық логика

Буль алгебрасындағы толықтыру операциясы инволюция болып табылады. Сәйкесінше, классикалық логикадағы екі рет терістеу заңы орындалады: ¬¬A, A-ға эквивалентті. Жалпы алғанда, классикалық емес логикаларда екі рет терістеу заңын қанағаттандыратын терістеу инволютивті деп аталады. Алгебралық семантикада мұндай терістеу шындық мәндері алгебрасында инволюция ретінде іске асырылады. Инволютивті терістеуі бар логикалардың мысалдары: Клейне мен Бохвардың үшмәнді логикалары, Лукасевичтің көпмәнді логикасы, бұлыңғыр логика IMTL және т.б. Инволютивті терістеу кейде инволютивті емес терістеуі бар логикаларға қосымша байланыс ретінде қосылады; мысалы, t-нормалы бұлыңғыр логикаларда осыған ұқсас жағдай кездеседі. Теристеудің инволютивтілігі – логикалар мен сәйкес алгебра түрлері үшін маңызды сипаттамалық қасиет. Мысалы, инволютивті терістеу Гейтинг алгебралары арасында Буль алгебрасын анықтайды. Осыған сәйкес, классикалық Буль логикасы интуиционистік логикаға екі рет терістеу заңын қосу арқылы туындайды. MV алгебралары мен BL алгебралары (соответственно, Лукасевич логикасы мен BL бұлыңғыр логикасы), IMTL және MTL, сондай-ақ алгебраның және сәйкес логикалардың басқа да маңызды түрлері арасында да осындай қатынас сақталады. Бинарлық қатынастарды зерттеуде әрбір қатынастың кері қатынасы болады. Кері қатынастың керісі бастапқы қатынасқа тең болғандықтан, түрлендіру операциясы қатынастар санатында инволюция болып табылады. Бинарлық қатынастар кіріктіру арқылы реттелген. Бұл реттілік толықтыру инволюциясымен кері айналса, түрлендіру кезінде сақталады.

Компьютерлік ғылым

Бір параметрдің белгілі бір мәнімен XOR биттік операциясы екінші параметр үшін инволюция болып табылады. Кейбір жағдайларда XOR маскалары суреттерге графика салу үшін қолданылды, оларды фонға екі рет салғанда фон бастапқы күйіне қайтады. NOT биттік операциясы да инволюция болып табылады және ол XOR операциясының ерекше жағдайы болып табылады, онда бір параметрдің барлық биттері 1-ге тең етілген. Тағы бір мысал – біт маскасы және ауыстыру функциясы, (R, G, B) түрінде сақталған түс мәндерімен жұмыс істейді, R және B-ні ауыстырып, (B, G, R) түрін береді: 1=f(f(RGB)) = RGB, f(f(BGR)) = BGR. RC4 криптографиялық шифры инволюция болып табылады, себебі шифрлеу және дешифрлеу операциялары бірдей функцияны қолданады. Көптеген механикалық шифрлеу машиналары өзара шифрлеуді іске асырады, ол әрбір терілген әріп үшін инволюция болып табылады. Шифрлеуге арналған бір машина және дешифрлеуге арналған бір машина жасаудың орнына, барлық машиналар бірдей болуы мүмкін және оларды бірдей конфигурациялауға (кілттеуге) болады.