Введение

Функция, являющаяся собственной инверсией – архаичное использование этого термина.

В математике инволюция, или самообратная функция, – это функция f, которая является своей собственной инверсией, то есть f(f(x)) = x для всех x из области определения f. Эквивалентно, последовательное применение функции f дважды возвращает исходное значение.

Общие свойства

Любая инволюция является биекцией. Тождественное отображение — тривиальный пример инволюции. Примеры нетривиальных инволюций включают отрицание (x ↦ −x), взятие обратной величины (x ↦ 1/x) и комплексное сопряжение в арифметике; отражение, поворот на 180 градусов и инверсия окружности в геометрии; дополнение в теории множеств; и взаимно однозначные шифры, такие как преобразование ROT13 и полиалфавитный шифр Бофорта. Композиция g ∘ f двух инволюций f и g является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют: g ∘ f = f ∘ g = 1.

Евклидова геометрия

Простой пример инволюции трехмерного евклидова пространства — отражение относительно плоскости. Двойное выполнение отражения возвращает точку в её исходные координаты. Другой пример инволюции — отражение относительно начала координат; это не отражение в вышеупомянутом смысле и, следовательно, является отдельным примером. Эти преобразования представляют собой примеры аффинных инволюций.

Проективная геометрия

Инволюция — это проективность периода 2, то есть проективность, которая меняет местами пары точек. Любая проективность, меняющая местами две точки, является инволюцией. Три пары противоположных сторон полного четырехугольника пересекают любую прямую (не проходящую через вершину) в трех парах точек, образующих инволюцию. Эта теорема называется теоремой инволюции Дезарга. Её истоки можно найти в Лемме IV к Леммам к Поризмам Евклида в VII томе «Собрания» Паппа Александрийского. Если инволюция имеет одну неподвижную точку, она имеет и другую, и состоит из соответствия между гармонически сопряжёнными точками относительно этих двух точек. В этом случае инволюция называется "гиперболической", а если неподвижных точек нет, то она называется "эллиптической". В контексте проективностей неподвижные точки называются двойными точками.

Линейная алгебра

В линейной алгебре инволюцией называется линейный оператор T на векторном пространстве, такой что T² = I, где I – тождественный оператор. За исключением случая характеристики 2, такие операторы диагонализуемы для данного базиса, при этом на диагонали соответствующей матрицы располагаются только 1 и −1. Если оператор ортогонален (ортогональная инволюция), то он диагонализуется ортонормально. Например, предположим, что выбран базис для векторного пространства V, и e1 и e2 – элементы этого базиса. Существует линейное преобразование f, которое отображает e1 в e2, а e2 в e1, и является тождественным для всех остальных базисных векторов. Можно проверить, что f(f(x)) = x для всех x из V. То есть, f является инволюцией V. Для конкретного базиса любой линейный оператор может быть представлен матрицей T. Каждая матрица имеет транспонированную матрицу, полученную путем замены строк на столбцы. Эта транспозиция является инволюцией на множестве матриц. Поскольку поэлементное комплексное сопряжение само по себе является инволюцией, сопряжённая транспозиция, или эрмитово сопряжение, также является инволюцией. Определение инволюции легко распространяется на модули. Если модуль M задан над кольцом R, то R-эндоморфизм f модуля M называется инволюцией, если f∘f является тождественным гомоморфизмом на M.

Инволюции связаны с идемпотентами; если 2 является обратимым элементом, то между ними существует взаимно однозначное соответствие. В функциональном анализе алгебры Банаха со звездой и C*-алгебры являются специальными типами алгебр Банаха с инволюциями.

Теория групп

В теории групп элемент группы называется инволюцией, если он имеет порядок 2; то есть инволюция – это элемент *a* такой, что *a* ≠ *e* и *a*² = *e*, где *e* – нейтральный элемент. Изначально это определение соответствовало первому, поскольку элементы групп всегда представляли собой биекции из множества в само себя; то есть под группой подразумевали группу перестановок. К концу XIX века понятие группы было расширено, и, соответственно, изменилось и определение инволюции. Перестановка является инволюцией тогда и только тогда, когда её можно представить в виде конечного произведения непересекающихся транспозиций. Инволюции группы оказывают значительное влияние на её структуру. Изучение инволюций сыграло ключевую роль в классификации конечных простых групп. Элемент *x* группы *G* называется сильно реальным, если существует инволюция *t* такая, что (*x* = *t*²). Коксетеровские группы – это группы, порожденные множеством *S* инволюций, подчиняющихся лишь соотношениям, включающим степени пар элементов из *S*. Коксетеровские группы могут быть использованы, в частности, для описания возможных правильных многогранников и их обобщений на более высокие размерности.

Математическая логика

Операция дополнения в булевой алгебре является инволюцией. Соответственно, отрицание в классической логике удовлетворяет закону двойного отрицания: ¬¬A эквивалентно A. В общем случае, в неклассических логиках отрицание, удовлетворяющее закону двойного отрицания, называется инволютивным. В алгебраической семантике такое отрицание реализуется как инволюция на алгебре значений истинности. Примерами логик с инволютивным отрицанием являются трехзначные логики Клине и Бохвара, многозначная логика Лукашевича, нечеткая логика IMTL и другие. Инволютивное отрицание иногда добавляется как дополнительный связующий элемент к логикам с неинволютивным отрицанием; это обычно делается, например, в t-нормальных нечетких логиках. Инволютивность отрицания является важным характеристическим свойством для логик и соответствующих вариаций алгебр. Например, инволютивное отрицание характеризует булевы алгебры среди алгебр Гейтинга. Соответственно, классическая булева логика возникает путем добавления закона двойного отрицания к интуиционистской логике. Та же связь существует также между MV-алгебрами и BL-алгебрами (и, соответственно, между логикой Лукашевича и нечеткой логикой BL), IMTL и MTL, а также между другими парами важных вариаций алгебр (и соответствующими логиками). При изучении бинарных отношений каждое отношение имеет обратное отношение. Поскольку обратное к обратному отношению является исходным отношением, операция обращения является инволюцией в категории отношений. Бинарные отношения упорядочены по включению. Хотя этот порядок меняется на противоположный при инволюции дополнения, он сохраняется при обращении.

Информатика

Битовая операция XOR с заданным значением для одного параметра является инволюцией относительно другого параметра. Маски XOR в некоторых случаях использовались для рисования графики на изображениях таким образом, что повторное рисование на фоне возвращает его в исходное состояние. Операция NOT по битам также является инволюцией и представляет собой частный случай операции XOR, когда все биты одного из параметров установлены в 1. Другой пример – функция битовой маски и сдвига, работающая со значениями цвета, хранящимися в виде целых чисел, например, в формате (R, G, B), которая меняет местами R и B, приводя к формату (B, G, R): f(f(RGB)) = RGB, f(f(BGR)) = BGR. Криптографический шифр RC4 является инволюцией, так как операции шифрования и расшифрования используют одну и ту же функцию. Практически все механические шифровальные машины реализуют взаимный шифр, который является инволюцией для каждой вводимой буквы. Вместо разработки двух типов машин – одной для шифрования и другой для расшифровки – все машины могут быть идентичными и настроены (заключены) одинаково.