Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
78 өлшемді ерекше қарапайым Лай тобы
78 dimensional exceptional simple Lie group
ДИСПЛЕЙТАЙТЛ: E6 (математика)
DISPLAYTITLE:E6 (mathematics)
Математикада E6 – бірнеше тығыз байланысты Лай топтарының, сызықтық алгебралық топтардың немесе олардың Лай алгебраларының атауы, олардың барлығы 78 өлшемді; дәл осы E6 белгісі 6-рангты тиісті түбір торы үшін қолданылады. E6 атауы күрделі қарапайым Лай алгебраларының Картан-Килинг жіктелуінен шыққан (қараңыз). Бұл Лай алгебраларын An, Bn, Cn, Dn деп белгіленген төрт шексіз қатарға және E6, E7, E8, F4 және G2 деп белгіленген бес ерекше жағдайға жіктейді. Сөйтіп, E6 алгебрасы бес ерекше жағдайдың бірі болып табылады. E6-ның күрделі формасының, компактты нақты формасының немесе кез келген алгебралық түрінің негізгі тобы Z/3Z циклдік тобы болып табылады, ал оның сыртқы автоморфизм тобы Z/2Z циклдік тобы болып табылады. Оның негізгі өкілдігі 27 өлшемді (кешенді), ал оның негізін кубтық беттегі 27 түзу құрайды. Теңдес емес, қосарлы өкілдік те 27 өлшемді. Бөлшек физикасында E6 кейбір біріктірілген теорияларда маңызды рөл атқарады.
In mathematics, E6 is the name of some closely related Lie groups, linear algebraic groups or their Lie algebras , all of which have dimension 78; the same notation E6 is used for the corresponding root lattice, which has rank 6. The designation E6 comes from the Cartan–Killing classification of the complex simple Lie algebras (see ). This classifies Lie algebras into four infinite series labeled An, Bn, Cn, Dn, and five exceptional cases labeled E6, E7, E8, F4, and G2. The E6 algebra is thus one of the five exceptional cases. The fundamental group of the complex form, compact real form, or any algebraic version of E6 is the cyclic group Z/3Z, and its outer automorphism group is the cyclic group Z/2Z. Its fundamental representation is 27 dimensional (complex), and a basis is given by the 27 lines on a cubic surface. The dual representation, which is inequivalent, is also 27 dimensional. In particle physics, E6 plays a role in some grand unified theories.
Э6 алгебралық топ ретінде
Шевалли негізін пайдаланып, жаттық алгебра үшін E6-ны бүтін сандар үстіндегі сызықтық алгебралық топ ретінде анықтауға болады, содан кейін кез келген коммутативтік сақина және әсіресе, кез келген өріс үстінде: бұл E6-ның бөлінген (кейде "бұрмаланбаған") қосылған түрін анықтайды. Алгебралық жабық өріс үстінде бұл және оның үштік жамылғысы ғана нысандар болып табылады; алайда, басқа өрістерде көбінесе көптеген басқа нысандар немесе E6-ның "бұрмалары" болады, олар Галуа когомологиясының жалпы шеңберінде (әдемі өріс k үстінде) H1(k, Aut(E6)) жиынтығы бойынша жіктеледі. E6 Динкин диаграммасының (төменде қараңыз) автоморфизм тобы Z/2Z болғандықтан, ол H1(k, Z/2Z) = Hom(Gal(k), Z/2Z) кескініне жіберіледі, ядросы H1(k, E6,ad) болып табылады. Нақты сандар өрісінде, E6-ның осы алгебралық бұрмаланған формаларының нақты компонентінің сәйкестігі жоғарыда аталған үш нақты жаттық топтарымен сәйкес келеді, бірақ негізгі топқа қатысты бір нюанс бар: E6-ның барлық қосылған формалары алгебралық геометрия мағынасында Z/3Z негізгі тобына ие, Галуа әрекеті бірліктің үшінші түбіріне сәйкес келеді; бұл олардың дәл бір үштік жамылғыға ие екенін (нақты нүктелерде тривиальды болуы мүмкін) білдіреді; сондықтан E6-ның нақты топтарының компакт емес формалары алгебралық емес және адал шекті өлшемді бейнелеулерге ие емес. E6-ның компактты нақты формасы, сондай-ақ компакт емес формалары EI=E6(6) және EIV=E6(26) ішкі немесе 1E6 типі деп аталады, яғни олардың класы H1(k, E6,ad) немесе күрделі конъюгация Динкин диаграммасындағы тривиальды автоморфизмді тудырады, ал қалған екі нақты форма сыртқы немесе 2E6 типі деп аталады. Шекті өрістерде Ланг-Штейнберг теоремасы H1(k, E6) = 0 екенін білдіреді, яғни E6 дәл бір бұрмаланған формаға ие, ол 2E6 деп аталады: төменде қараңыз.
By means of a Chevalley basis for the Lie algebra, one can define E6 as a linear algebraic group over the integers and, consequently, over any commutative ring and in particular over any field: this defines the so called split (sometimes also known as "untwisted") adjoint form of E6. Over an algebraically closed field, this and its triple cover are the only forms; however, over other fields, there are often many other forms, or "twists" of E6, which are classified in the general framework of Galois cohomology (over a perfect field k) by the set H1(k, Aut(E6)) which, because the Dynkin diagram of E6 (see below) has automorphism group Z/2Z, maps to H1(k, Z/2Z) = Hom (Gal(k), Z/2Z) with kernel H1(k, E6,ad). Over the field of real numbers, the real component of the identity of these algebraically twisted forms of E6 coincide with the three real Lie groups mentioned above, but with a subtlety concerning the fundamental group: all adjoint forms of E6 have fundamental group Z/3Z in the sense of algebraic geometry, with Galois action as on the third roots of unity; this means that they admit exactly one triple cover (which may be trivial on the real points); the further non compact real Lie group forms of E6 are therefore not algebraic and admit no faithful finite dimensional representations. The compact real form of E6 as well as the noncompact forms EI=E6(6) and EIV=E6( 26) are said to be inner or of type 1E6 meaning that their class lies in H1(k, E6,ad) or that complex conjugation induces the trivial automorphism on the Dynkin diagram, whereas the other two real forms are said to be outer or of type 2E6. Over finite fields, the Lang–Steinberg theorem implies that H1(k, E6) = 0, meaning that E6 has exactly one twisted form, known as 2E6: see below.
Альберт алгебрасының автоморфизмдері
Алгебралық топ G2 октониондардың автоморфизм тобы болғандай, ал алгебралық топ F4 – Альберт алгебрасының, ерекше Джордан алгебрасының автоморфизм тобы, алгебралық топ E6 – белгілі бір кубтық пішін сақтайтын Альберт алгебрасының сызықтық автоморфизмдер тобы, бұл пішін "детерминант" деп аталады.
Similar to how the algebraic group G2 is the automorphism group of the octonions and the algebraic group F4 is the automorphism group of an Albert algebra, an exceptional Jordan algebra, the algebraic group E6 is the group of linear automorphisms of an Albert algebra that preserve a certain cubic form, called the "determinant".
Динкин диаграммасы
E6 үшін Динкин диаграммасы келесідей берілген: , және оны былай да салуға болады: .
The Dynkin diagram for E6 is given by , which may also be drawn as .
Вейл тобы
E6 Вейл тобы 51840 реттік: ол 25920 реттік жалғыз қарапайым топтың автоморфизм тобы болып табылады (оны PSU4(2), PSΩ6−(2), PSp4(3) немесе PSΩ5(3) деп де сипаттауға болады).
The Weyl group of E6 is of order 51840: it is the automorphism group of the unique simple group of order 25920 (which can be described as any of: PSU4(2), PSΩ6−(2), PSp4(3) or PSΩ5(3)).
Маңызды субальгебралар мен бейнелеулер
E6 Ли алгебрасы F4 субальгебрасына ие, ол сыртқы автоморфизмнің инвариантты субальгебрасы, сондай-ақ SU(3) × SU(3) × SU(3) субальгебрасын қамтиды. Физикада маңыздылығы бар (төменде қараңыз) және Динкин диаграммасынан анықталатын басқа максималды субалгебралар – SO(10) × U(1) және SU(6) × SU(2) алгебралары. 78 өлшемді қосымша өкілдіктен басқа, екі екілік 27 өлшемді "векторлық" өкілдіктер де бар. Шектелген өлшемді нақты және кешенді Ли алгебралары мен Ли топтарының өкілдіктерінің сипаттамалары Вейль сипаттамалық формуласымен беріледі. Ең кіші ирредуктибелді өкілдіктердің өлшемдері:
The Lie algebra E6 has an F4 subalgebra, which is the fixed subalgebra of an outer automorphism, and an SU(3) × SU(3) × SU(3) subalgebra. Other maximal subalgebras which have an importance in physics (see below) and can be read off the Dynkin diagram, are the algebras of SO(10) × U(1) and SU(6) × SU(2). In addition to the 78 dimensional adjoint representation, there are two dual 27 dimensional "vector" representations. The characters of finite dimensional representations of the real and complex Lie algebras and Lie groups are all given by the Weyl character formula. The dimensions of the smallest irreducible representations are :
Жоғарыдағы тізбекте сызылып көрсетілген мүшелер – E6-ның адъюнктылық түріне тән ирредуктибелді өкілдіктердің (әйтпесе, салмақтары E6 түбірлік торға жататын өкілдіктердің) өлшемдері, ал толық тізбек E6-ның қарапайым байланысқан түрінің ирредуктибелді өкілдіктерінің өлшемдерін береді. E6 Динкин диаграммасының симметриясы көптеген өлшемдердің екі рет кездесуін түсіндіреді, сәйкес өкілдіктер тривиальды емес сыртқы автоморфизммен байланысты; алайда, кейде одан да көп өкілдіктер болуы мүмкін, мысалы, 351 өлшемнің төртеуі, олардың екеуі фундаменталды, ал екеуі – емес. Фундаменталды өкілдіктердің өлшемдері: 27, 351, 2925, 351, 27 және 78 (жоғарыда көрсетілген Картан матрицасы үшін таңдалған тәртіптегі Динкин диаграммасындағы алты түйінге сәйкес келеді, яғни түйіндер бес түйіндік тізбекте бірінші оқылады, ал соңғы түйін ортаңғы түйінге қосылады). E6-ның максималды кіші топтарының 78 өлшемге дейінгі енуі оң жақта көрсетілген.
The underlined terms in the sequence above are the dimensions of those irreducible representations possessed by the adjoint form of E6 (equivalently, those whose weights belong to the root lattice of E6), whereas the full sequence gives the dimensions of the irreducible representations of the simply connected form of E6. The symmetry of the Dynkin diagram of E6 explains why many dimensions occur twice, the corresponding representations being related by the non trivial outer automorphism; however, there are sometimes even more representations than this, such as four of dimension 351, two of which are fundamental and two of which are not. The fundamental representations have dimensions 27, 351, 2925, 351, 27 and 78 (corresponding to the six nodes in the Dynkin diagram in the order chosen for the Cartan matrix above, i. e., the nodes are read in the five node chain first, with the last node being connected to the middle one). The embeddings of the maximal subgroups of E6 up to dimension 78 are shown to the right.
E6 политопы
E6 политопы – E6 түбірлерінің дөңгелек қабығы. Сондықтан ол 6 өлшемде болады; оның симметрия тобында E6 үшін Коксетер тобы индекс 2 кіші тобы ретінде кіреді.
The E6 polytope is the convex hull of the roots of E6. It therefore exists in 6 dimensions; its symmetry group contains the Coxeter group for E6 as an index 2 subgroup.