Введение

78-мерная исключительная простая группа Ли

ОТОБРАЖАЕМОЕ ЗАГОЛОВКИЕ: E6 (математика)

В математике, E6 — это название ряда тесно связанных групп Ли, линейных алгебраических групп или их алгебр Ли, все из которых имеют размерность 78; та же нотация E6 используется для соответствующей корневой решётки, имеющей ранг 6. Обозначение E6 происходит из классификации Картана — Киллинга комплексных простых алгебр Ли (см.). Эта классификация делит алгебры Ли на четыре бесконечных серии, обозначенные An, Bn, Cn, Dn, и пять исключительных случаев, обозначенных E6, E7, E8, F4 и G2. Таким образом, алгебра E6 является одной из пяти исключительных случаев. Фундаментальная группа комплексной формы, компактной вещественной формы или любой алгебраической версии E6 является циклической группой Z/3Z, а её внешняя группа автоморфизмов — циклической группой Z/2Z. Её фундаментальное представление 27-мерно (комплексное), и базис задаётся 27 прямыми на кубической поверхности. Двойственное представление, которое неэквивалентно, также 27-мерно. В физике элементарных частиц E6 играет роль в некоторых теориях великого объединения.

E6 как алгебраическая группа

С помощью основы Шевалье для алгебры Ли можно определить E6 как линейную алгебраическую группу над целыми числами и, следовательно, над любым коммутативным кольцом и, в частности, над любым полем: это определяет так называемую расщеплённую (иногда также известную как "неискривлённую") присоединённую форму E6. Над алгебраически замкнутым полем это и её тройное накрытие являются единственными формами; однако над другими полями часто существует множество других форм или "скручений" E6, которые классифицируются в общей структуре кохомологии Галуа (над совершенным полем k) множеством H¹(k, Aut(E6)). Поскольку диаграмма Динкина E6 (см. ниже) имеет группу автоморфизмов Z/2Z, это множество отображается в H¹(k, Z/2Z) = Hom(Gal(k), Z/2Z) с ядром H¹(k, E6, ad). Над полем вещественных чисел реальная компонента единицы этих алгебраически искривлённых форм E6 совпадает с тремя упомянутыми выше вещественными группами Ли, но с тонкостью, касающейся фундаментальной группы: все присоединённые формы E6 имеют фундаментальную группу Z/3Z в смысле алгебраической геометрии, с действием Галуа как на кубические корни из единицы; это означает, что они допускают ровно одно тройное накрытие (которое может быть тривиальным в вещественных точках). Дальнейшие некомпактные вещественные формы группы Ли, следовательно, не являются алгебраическими и не допускают верных конечномерных представлений. Компактная вещественная форма E6, а также некомпактные формы EI = E6(6) и EIV = E6(26) называются внутренними или типа 1E6, что означает, что их класс лежит в H¹(k, E6, ad) или что комплексное сопряжение индуцирует тривиальный автоморфизм на диаграмме Динкина, в то время как другие две вещественные формы называются внешними или типа 2E6. Над конечными полями теорема Лэнг-Штейнберга влечёт, что H¹(k, E6) = 0, что означает, что E6 имеет ровно одну искривлённую форму, известную как 2E6: см. ниже.

Автоморфизмы алгебры Альберта

Подобно тому, как алгебраическая группа G2 является группой автоморфизмов октонионов, а алгебраическая группа F4 является группой автоморфизмов алгебры Альберта, исключительной алгебры Джордана, алгебраическая группа E6 является группой линейных автоморфизмов алгебры Альберта, сохраняющих определенную кубическую форму, называемую "детерминантом".

Диаграмма Динкина

Диаграмма Динкина для E6 представлена как , которую также можно изобразить как .

Группа Вейла

Группа Вейля для E6 имеет порядок 51840: это группа автоморфизмов единственной простой группы порядка 25920 (которая может быть представлена в виде одной из следующих: PSU4(2), PSΩ6−(2), PSp4(3) или PSΩ5(3)).

Важные субальгебры и представления

В алгебре Ли E6 есть субальгебра F4, которая является фиксированной субальгеброй внешнего автоморфизма, и субальгебра SU(3) × SU(3) × SU(3). Другими максимальными субальгебрами, имеющими значение в физике (см. ниже) и которые можно прочитать с диаграммы Динкина, являются алгебры SO(10) × U(1) и SU(6) × SU(2). В дополнение к 78-мерному сопряженному представлению, существуют два дуальных 27-мерных "векторных" представления. Характеры конечных размерностей представлений вещественных и комплексных алгебр и групп Ли все задаются формулой характеров Вейля. Размеры наименьших неразложимых представлений:

1, 27 (дважды), 78, 351 (четыре раза), 650, 1728 (дважды), 2430, 2925, 3003 (дважды), 5824 (дважды), 7371 (дважды), 7722 (дважды), 17550 (дважды), 19305 (четыре раза), 34398 (дважды), 34749, 43758, 46332 (дважды), 51975 (дважды), 54054 (дважды), 61425 (дважды), 70070, 78975 (дважды), 85293, 100386 (дважды), 105600, 112320 (дважды), 146432 (дважды), 252252 (дважды), 314496 (дважды), 359424 (четыре раза), 371800 (дважды), 386100 (дважды), 393822 (дважды), 412776 (дважды), 442442 (дважды)

Подчеркнутые члены в приведенной выше последовательности – это размеры тех неразложимых представлений, которые принадлежат сопряженной форме E6 (эквивалентно, те, чьи веса принадлежат решетке корней E6), в то время как полная последовательность дает размеры неразложимых представлений простосвязной формы E6. Симметрия диаграммы Динкина E6 объясняет, почему многие размеры встречаются дважды, соответствующие представления связаны нетривиальным внешним автоморфизмом; однако иногда существует даже больше представлений, чем это, например, четыре представления размерности 351, два из которых являются фундаментальными, а два – нет. Фундаментальные представления имеют размеры 27, 351, 2925, 351, 27 и 78 (соответствующие шести узлам на диаграмме Динкина в порядке, выбранном для матрицы Картана выше, то есть узлы считываются в цепочке из пяти узлов сначала, а последний узел соединен со средним). Вложения максимальных подгрупп E6 до размерности 78 показаны справа.

Политоп E6

Политоп E6 — это выпуклая оболочка корней E6. Следовательно, он существует в 6 измерениях; его группа симметрии содержит группу Коксетера для E6 как подгруппу индекса 2.