Алгебры фон Неймана: теория и свойства

Введение

алгебра ограниченных операторов на гильбертовом пространстве

В математике алгебра фон Неймана или алгебра W* — это * алгебра ограниченных операторов на гильбертовом пространстве, замкнутая в слабой операторной топологии и содержащая единичный оператор. Это особый тип C*-алгебры. Алгебры фон Неймана были первоначально введены Джоном фон Нейманом, что было обусловлено его изучением отдельных операторов, представлений групп, эргодической теории и квантовой механики. Его теорема о двойственном коммутанте показывает, что аналитическое определение эквивалентно чисто алгебраическому определению как алгебре симметрий. Два основных примера алгебр фон Неймана следующие: кольцо по существу ограниченных измеримых функций на вещественной прямой является коммутативной алгеброй фон Неймана, элементы которой действуют как операторы умножения посредством поточечного умножения на гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций. Алгебра всех ограниченных операторов на гильбертовом пространстве является алгеброй фон Неймана, некоммутативной, если размерность гильбертова пространства равна или превышает 2. Алгебры фон Неймана впервые были изучены в 1929 году; он и Фрэнсис Мюррей разработали базовую теорию под первоначальным названием «кольца операторов» в серии статей, написанных в 1930-х и 1940-х годах (; ), перепечатанных в собрании сочинений . Вводные сведения об алгебрах фон Неймана представлены в онлайн-заметках и книгах , , и . Трехтомная работа дает энциклопедическое изложение теории. В книге обсуждаются более продвинутые темы.

Определения

Существует три распространенных способа определения алгебры фон Неймана. Первый и наиболее распространенный способ — определить их как слабо замкнутые * алгебры ограниченных операторов (на гильбертовом пространстве), содержащие единичный оператор. В этом определении слабая (операторная) топология может быть заменена многими другими распространенными топологиями, включая сильную, ультрасильную или ультраслабую операторные топологии. * Алгебры ограниченных операторов, замкнутые в топологии нормы, являются C*-алгебрами, поэтому, в частности, любая алгебра фон Неймана является C*-алгеброй. Второе определение состоит в том, что алгебра фон Неймана является субалгеброй ограниченных операторов, замкнутой относительно инволюции (операции *) и равной своему двойственному коммутанту, или, эквивалентно, коммутанту некоторой субалгебры, замкнутой относительно *. Теорема о двойственном коммутанте фон Неймана утверждает, что первые два определения эквивалентны. Первые два определения описывают алгебру фон Неймана конкретно как множество операторов, действующих на заданное гильбертово пространство. Было показано, что алгебры фон Неймана также могут быть определены абстрактно как C*-алгебры, имеющие преддуальное пространство; другими словами, алгебра фон Неймана, рассматриваемая как банахово пространство, является дуальным пространством некоторого другого банахова пространства, называемого преддуальным. Преддуальное пространство алгебры фон Неймана на самом деле единственно с точностью до изоморфизма. Некоторые авторы используют термин "алгебра фон Неймана" для обозначения алгебр вместе с действием на гильбертово пространство, а термин "W*-алгебра" — для абстрактного понятия, поэтому алгебра фон Неймана представляет собой W*-алгебру вместе с гильбертовым пространством и подходящим верным унитальным действием на этом пространстве. Конкретные и абстрактные определения алгебры фон Неймана аналогичны конкретным и абстрактным определениям C*-алгебры, которые могут быть определены либо как * алгебры операторов на гильбертовом пространстве, замкнутые по норме, либо как банаховы * алгебры, удовлетворяющие условию ||aa*|| = ||a|| ||a*||.

Терминология

Некоторые термины в теории алгебр фон Неймана могут быть запутывающими, и эти термины часто имеют иное значение вне этой области. Фактор — это алгебра фон Неймана с тривиальным центром, то есть центром, состоящим только из скалярных операторов. Конечная алгебра фон Неймана — это алгебра, являющаяся прямым интегралом конечных факторов (что означает, что алгебра фон Неймана имеет верное нормальное трассировочное состояние). Аналогично, собственно бесконечные алгебры фон Неймана являются прямым интегралом собственно бесконечных факторов. Алгебра фон Неймана, действующая на сепарабельном гильбертовом пространстве, называется сепарабельной. Следует отметить, что такие алгебры редко сепарабельны в норменной топологии. Алгебра фон Неймана, порожденная множеством ограниченных операторов на гильбертовом пространстве, — это наименьшая алгебра фон Неймана, содержащая все эти операторы. Тензорное произведение двух алгебр фон Неймана, действующих на два гильбертовых пространства, определяется как алгебра фон Неймана, порожденная их алгебраическим тензорным произведением, рассматриваемым как операторы на тензорном произведении гильбертовых пространств. Отбрасывая топологию на алгебре фон Неймана, мы можем рассматривать её как (унитарную) * -алгебру, или просто как кольцо. Алгебры фон Неймана полунаследственны: каждый конечно порожденный подмодуль проективного модуля сам по себе является проективным. Было предпринято несколько попыток аксиоматизировать базовые кольца алгебр фон Неймана, включая * -кольца Баэра и AW* -алгебры. * -алгебра аффилированных операторов конечной алгебры фон Неймана является кольцом фон Неймана, удовлетворяющим условию регулярности. (Сама алгебра фон Неймана, как правило, не является регулярным кольцом фон Неймана.)

Коммутативные алгебры фон Неймана

Отношения между коммутативными алгебрами фон Неймана и пространствами с мерой аналогичны отношениям между коммутативными C*-алгебрами и локально компактными хаусдорфовыми пространствами. Каждая коммутативная алгебра фон Неймана изоморфна L∞(X) для некоторого пространства с мерой (X, μ), и наоборот, для каждого σ-конечного пространства с мерой X, * -алгебра L∞(X) является алгеброй фон Неймана. Благодаря этой аналогии теория алгебр фон Неймана получила название некомутативной теории меры, а теория C*-алгебр иногда называется некомутативной топологией.

Прогнозы

Операторы E в алгебре фон Неймана, для которых E = EE = E* называются проекциями; они являются точно теми операторами, которые задают ортогональную проекцию H на некоторое замкнутое подпространство. Говорят, что подпространство гильбертова пространства H принадлежит алгебре фон Неймана M, если оно является образом некоторой проекции из M. Это устанавливает взаимно однозначное соответствие между проекциями в M и подпространствами, принадлежащими M. Неформально, это замкнутые подпространства, которые могут быть описаны с помощью элементов M, или о которых алгебра M "знает". Можно показать, что замыкание образа любого оператора из M и ядро любого оператора из M принадлежат M. Также, замыкание образа любого подпространства, принадлежащего M, под действием оператора из M также принадлежит M. (Эти результаты являются следствием полярного разложения).

Теория сравнения проекций

Основная теория проекций была разработана. Два подпространства, принадлежащие M, называются (Murray–von Neumann) эквивалентными, если существует частичная изометрия, отображающая первое изоморфно на другое, являющаяся элементом алгебры фон Неймана (неформально, если M "знает", что подпространства изоморфны). Это порождает естественное отношение эквивалентности на проекциях, определяя E эквивалентным F, если соответствующие подпространства эквивалентны, или, другими словами, если существует частичная изометрия H, отображающая образ E изометрически на образ F и являющаяся элементом алгебры фон Неймана. Другой способ выразить это: E эквивалентен F, если E=uu* и F=u*u для некоторой частичной изометрии u в M. Отношение эквивалентности ~, таким образом, определено как аддитивное в следующем смысле: предположим, E1 ~ F1 и E2 ~ F2. Если E1 ⊥ E2 и F1 ⊥ F2, то E1 + E2 ~ F1 + F2. Аддитивность не будет выполняться, если требовать унитарной эквивалентности в определении ~, то есть если говорить, что E эквивалентен F, если u*Eu = F для некоторого унитарного оператора u. Теоремы Шредера–Бернштейна для операторных алгебр дают достаточное условие для эквивалентности Мюррея–фон Неймана. Подпространства, принадлежащие M, частично упорядочены включением, и это порождает частичный порядок ≤ на проекциях. Существует также естественный частичный порядок на множестве классов эквивалентности проекций, индуцированный частичным порядком ≤ на проекциях. Если M является фактором, то ≤ является полным порядком на классах эквивалентности проекций, который описан в разделе о следах ниже. Проекция (или подпространство, принадлежащее M) E называется конечной проекцией, если не существует проекции F < E (то есть F ≤ E и F ≠ E), которая эквивалентна E. Например, все проекции (или подпространства) конечной размерности являются конечными (поскольку изометрии между пространствами Гильберта сохраняют размерность), но тождественный оператор на бесконечномерном пространстве Гильберта не является конечным в алгебре фон Неймана всех ограниченных операторов на нем, поскольку он изометрически изоморфен собственному подмножеству. Однако бесконечномерные подпространства могут быть конечными. Ортогональные проекции являются некоммутативными аналогами индикаторных функций в L∞(R). L∞(R) – это ||·||∞-замыкание подпространства, порожденного индикаторными функциями. Аналогично, алгебра фон Неймана генерируется своими проекциями; это следствие спектральной теоремы для самосопряженных операторов. Проекции конечного фактора образуют непрерывную геометрию.

Факторы типа I

Фактор называется типа I, если существует минимальная проекция E ≠ 0, то есть проекция E, для которой не существует другой проекции F такой, что 0 < F < E. Любой фактор типа I изоморфен алгебре фон Неймана всех ограниченных операторов на некотором гильбертовом пространстве; поскольку для каждого кардинального числа существует единственное гильбертово пространство, классы изоморфизма факторов типа I находятся в точном соответствии с кардинальными числами. Поскольку многие авторы рассматривают алгебры фон Неймана только на сепарабельных гильбертовых пространствах, принято называть ограниченные операторы на гильбертовом пространстве конечной размерности n фактором типа In, а ограниченные операторы на сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве – фактором типа I∞.

Факторы типа II

Фактор называется типа II, если у него нет минимальных проекций, но есть ненулевые конечные проекции. Это означает, что любую проекцию E можно "разделить" на две части, то есть существуют две проекции F и G, которые эквивалентны по Мюррею — фон Нейману и удовлетворяют E = F + G. Если оператор идентичности в факторе типа II конечен, то фактор называется типа II1; в противном случае он называется типа II∞. Наиболее хорошо изученными факторами типа II являются гиперконечный фактор типа II1 и гиперконечный фактор типа II∞, найденные в результате исследований. Это единственные гиперконечные факторы типов II1 и II∞; существует несчетное количество других факторов этих типов, которые являются предметом интенсивного изучения. Доказал фундаментальный результат о том, что фактор типа II1 имеет единственное конечное трассировочное состояние, а множество следов проекций равно [0,1]. Фактор типа II∞ имеет полуограниченный след, однозначно определенный с точностью до перемасштабирования, а множество следов проекций равно [0,∞). Множество действительных чисел λ, для которых существует автоморфизм, перемасштабирующий след в λ раз, называется фундаментальной группой фактора типа II∞. Тензорное произведение фактора типа II1 и бесконечного фактора типа I имеет тип II∞, и наоборот, любой фактор типа II∞ можно построить таким образом. Фундаментальная группа фактора типа II1 определяется как фундаментальная группа его тензорного произведения с бесконечным (разделимым) фактором типа I. Долгое время оставалось открытым вопросом найти фактор типа II, фундаментальная группа которого не была бы группой положительных действительных чисел, но Коннес показал, что алгебра группы фон Неймана счетной дискретной группы, обладающей свойством Каждана (T) (тривиальное представление изолировано в двойственном пространстве), такой как SL(3,Z), имеет счетную фундаментальную группу. Впоследствии Сорин Попа показал, что фундаментальная группа может быть тривиальной для определенных групп, включая полупрямое произведение Z2 по SL(2,Z). Примером фактора типа II1 является алгебра группы фон Неймана счетной бесконечной дискретной группы, такой что каждый нетривиальный класс сопряженности бесконечен. Нашел несчетное семейство таких групп с неизоморфными алгебрами групп фон Неймана, тем самым показав существование несчетного множества различных разделимых факторов типа II1.

Факторы типа III

Наконец, факторы типа III – это факторы, не содержащие каких-либо ненулевых конечных проекций. В своей первой работе авторы не смогли определить, существуют ли они вообще; первые примеры были найдены позднее. Поскольку оператор тождества всегда бесконечен в этих факторах, в прошлом их иногда называли типа III∞, но в последнее время это обозначение было вытеснено обозначением IIIλ, где λ – действительное число в интервале [0,1]. Более точно, если спектр Коннеса (его модулярной группы) равен 1, то фактор является типа III0, если спектр Коннеса состоит из всех целых степеней λ для 0 < λ < 1, то тип – IIIλ, и если спектр Коннеса состоит из всех положительных действительных чисел, то тип – III1. (Спектр Коннеса является замкнутой подгруппой положительных действительных чисел, поэтому это единственные возможные варианты.) Единственный след на факторах типа III принимает значение ∞ на всех ненулевых положительных элементах, и любые две ненулевые проекции эквивалентны. В свое время факторы типа III считались неисследуемыми объектами, но теория Томиты–Такасаки привела к хорошо развитой теории структуры. В частности, любой фактор типа III можно канонически представить в виде перекрестного произведения фактора типа II∞ и действительных чисел.

Веса, состояния и следы

Веса и их особые случаи – состояния и следы – подробно обсуждаются в тексте. Вес ω на алгебре фон Неймана – это линейное отображение из множества положительных элементов (вида a*a) в [0, ∞]. Положительный линейный функционал – это вес с конечным ω(1) (или, точнее, расширение ω на всю алгебру посредством линейности). Состояние – это вес с ω(1) = 1. След – это вес, для которого ω(aa*) = ω(a*a) для всех a. Трациальное состояние – это след с ω(1) = 1. Любой фактор имеет след, такой что след ненулевой проекции отличен от нуля, а след проекции бесконечен тогда и только тогда, когда проекция бесконечна. Такой след единственен с точностью до масштабирования. Для факторов, являющихся сепарабельными или конечными, две проекции эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же след. Тип фактора можно определить по возможным значениям этого следа на проекциях фактора следующим образом:
Тип In: 0, x, 2x, ..., nx для некоторого положительного x (обычно нормализованного до 1/n или 1). Тип I∞: 0, x, 2x, ..., ∞ для некоторого положительного x (обычно нормализованного до 1). Тип II1: [0, x] для некоторого положительного x (обычно нормализованного до 1). Тип II∞: [0, ∞]. Тип III: {0, ∞}. Если алгебра фон Неймана действует на гильбертово пространство, содержащее вектор v с нормой 1, то функционал a → (av, v) является нормальным состоянием. Эту конструкцию можно обратить, чтобы получить действие на гильбертово пространство из нормального состояния: это GNS-конструкция для нормальных состояний.

Тензорные произведения алгебры фон Неймана

Тензорное произведение пространства Гильберта двух пространств Гильберта является завершением их алгебраического тензорного произведения. Можно определить тензорное произведение алгебр фон Неймана (завершение алгебраического тензорного произведения алгебр, рассматриваемых как кольца), которое, опять же, является алгеброй фон Неймана, и действовать на тензорное произведение соответствующих пространств Гильберта. Тензорное произведение двух конечных алгебр конечно, а тензорное произведение бесконечной алгебры и ненулевой алгебры – бесконечно. Тип тензорного произведения двух алгебр фон Неймана (I, II или III) равен максимуму их типов. Теорема о коммутации для тензорных произведений утверждает, что, где обозначает коммутант M.

Тензорное произведение бесконечного числа алгебр фон Неймана, если выполнять его наивно, обычно является чрезмерно большой несепарабельной алгеброй. Вместо этого показал, что следует выбирать состояние на каждой из алгебр фон Неймана, использовать это для определения состояния на алгебраическом тензорном произведении, которое можно использовать для получения пространства Гильберта и (достаточно малой) алгебры фон Неймана. изучал случай, когда все факторы являются конечными матричными алгебрами; эти факторы называются факторами Араки–Вудса или факторами ITPFI (ITPFI расшифровывается как "бесконечное тензорное произведение конечных факторов типа I"). Тип бесконечного тензорного произведения может существенно меняться при изменении состояний; например, бесконечное тензорное произведение бесконечного числа факторов типа I2 может иметь любой тип в зависимости от выбора состояний. В частности, было найдено несчетное семейство неизоморфных гиперконечных факторов типа IIIλ для 0 < λ < 1, называемых факторами Пауэрса, путем взятия бесконечного тензорного произведения факторов типа I2, каждый из которых имеет состояние, заданное:

Все гиперконечные алгебры фон Неймана, не типа III0, изоморфны факторам Араки–Вудса, но существует несчетное количество факторов типа III0, которые таковыми не являются.

Бимодули и субфакторы

Бимодуль (или соответствие) — это гильбертово пространство H с действиями двух коммутирующих алгебр фон Неймана, определяющими его структуру как модуля. Бимодули обладают значительно более богатой структурой, чем модули. Любой бимодуль над двумя факторами всегда порождает подфактор, поскольку один из факторов всегда содержится в коммутанте другого. Существует также тонкая операция относительного тензорного произведения для бимодулей, разработанная Коннесом. Теория субфакторов, заложенная Воганом Джонсом, объединяет эти две, казалось бы, различные точки зрения. Бимодули также играют важную роль в алгебре группы фон Неймана M дискретной группы Γ. Действительно, если V — любое унитарное представление Γ, то, рассматривая Γ как диагональную подгруппу в Γ × Γ, соответствующее индуцированное представление на l2(Γ, V) естественным образом является бимодулем для двух коммутирующих копий M. Важные свойства теории представлений Γ могут быть полностью сформулированы в терминах бимодулей и, следовательно, применимы к самой алгебре фон Неймана. Например, Коннес и Джонс дали определение аналога свойства Каждана (T) для алгебр фон Неймана именно таким образом.

Неизменные факторы

Алгебры фон Неймана I типа всегда податливы, но для остальных типов существует несчетное количество различных не податливых факторов, которые представляется крайне сложным классифицировать или даже различить друг от друга. Тем не менее, Войкулеску показал, что класс не податливых факторов, возникающих из групповой конструкции пространства мер, дизъюнктен с классом, возникающим из групповых алгебр фон Неймана свободных групп. Позже Нарутака Озава доказал, что групповые алгебры фон Неймана гиперболических групп порождают простые факторы типа II1, то есть такие, которые нельзя представить в виде тензорного произведения факторов типа II1, результат, впервые доказанный Лимингом Ге для факторов свободных групп с использованием свободной энтропии Войкулеску. Работы Попы о фундаментальных группах не податливых факторов представляют собой еще один значительный шаг вперед. Теория факторов "за пределами гиперконечных" в настоящее время стремительно развивается, появляются множество новых и неожиданных результатов; она тесно связана с явлениями жесткости в геометрической теории групп и эргодической теории.

Примеры

По существу ограниченные функции на σ-конечном измеримом пространстве образуют коммутативную (типа I1) алгебру фон Неймана, действующую на функции L2. Для некоторых не σ-конечных измеримых пространств, обычно считающихся патологическими, L∞(X) не является алгеброй фон Неймана; например, σ-алгебра измеримых множеств может быть счетной ко-счетной алгеброй на несчетном множестве. Фундаментальную теорему аппроксимации можно представить теоремой плотности Капланского. Ограниченные операторы на любом гильбертовом пространстве образуют алгебру фон Неймана, в действительности, фактор типа I. Если у нас есть какое-либо унитарное представление группы G на гильбертовом пространстве H, то ограниченные операторы, коммутирующие с G, образуют алгебру фон Неймана, чьи проекции точно соответствуют замкнутым подпространствам H, инвариантным относительно G. Эквивалентным подпредставлениям соответствуют эквивалентные проекции. Двойной коммутант G также является алгеброй фон Неймана. Алгебра группы фон Неймана дискретной группы G является алгеброй всех ограниченных операторов на H = l2(G), коммутирующих с действием G на H посредством правого умножения. Можно показать, что это алгебра фон Неймана, порожденная операторами, соответствующими умножению слева на элемент g ∈ G. Это фактор (типа II1), если каждый нетривиальный класс сопряженности G бесконечен (например, неабелева свободная группа), и является гиперконечным фактором типа II1, если в дополнение G является объединением конечных подгрупп (например, группа всех перестановок целых чисел, фиксирующих все, кроме конечного числа элементов). Тензорное произведение двух алгебр фон Неймана, или счетного числа с состояниями, является алгеброй фон Неймана, как описано в разделе выше. Пересеченное произведение алгебры фон Неймана дискретной (или, в более общем случае, локально компактной) группой может быть определено, и это алгебра фон Неймана. Особыми случаями являются групповое пространственное построение меры факторов Мюррея и фон Неймана и факторы Кригера. Алгебры фон Неймана измеримого отношения эквивалентности и измеримого группоида могут быть определены. Эти примеры обобщают алгебры группы фон Неймана и групповое измерение пространственного построения.

Приложения

Алгебры фон Неймана нашли применение в различных областях математики, таких как теория узлов, статистическая механика, квантовая теория поля, локальная квантовая физика, свободная вероятность, некомутативная геометрия, теория представлений, дифференциальная геометрия и динамические системы. Например, C*-алгебра предоставляет альтернативную аксиоматизацию теории вероятностей. В этом случае метод известен как построение Гельфанда — Наимарка — Сегала. Это аналогично двум подходам к теории меры и интегральному исчислению, где можно сначала построить меры множеств, а затем определить интегралы, или сначала построить интегралы и определить меры множеств как интегралы от характеристических функций.