Кіріспе
Математикада Питер–Вейль теоремасы – компактты, бірақ міндетті түрде абельдік емес топологиялық топтарға қатысты гармоникалық талдау теориясының негізгі нәтижесі. Оны алғаш рет Герман Вейль өзінің студенті Фриц Питермен бірге компактты топологиялық топ G жағдайында дәлелдеді. Теорема – Фердинанд Георг Фробеньус пен Иссай Шурдың ашқандары бойынша кез келген шекті топтың тұрақты өкілдігінің ыдырауы туралы маңызды фактілерді жалпылайтын нәтижелер жиынтығы. G компактты топ болсын. Теорема үш бөліктен тұрады. Бірінші бөлігінде G-дің ирредукциялық өкілдіктерінің матрицалық коэффициенттері G-дегі үздіксіз кешенді мәнді функциялар C(G) кеңістігінде тығыз, сондай-ақ L2(G) квадраттық интегралды функциялар кеңістігінде де тығыз екені айтылады. Екінші бөлігі G-дің унитарлық өкілдіктерінің толық ирредукцияланатынын бекітеді. Үшінші бөлігі G-дің L2(G) кеңістігіндегі тұрақты өкілдігі барлық ирредукциялық унитарлық өкілдіктердің тікелей қосындысы ретінде ыдырайтынын бекітеді. Сонымен қатар, ирредукциялық унитарлық өкілдіктердің матрицалық коэффициенттері L2(G) кеңістігінің ортонормалдық базасын құрайды. Егер G – бірлік кешенді сандар тобы болса, соңғы нәтиже Фурье қатарларының стандартты нәтижесі болып табылады.
In mathematics, the Peter–Weyl theorem is a basic result in the theory of harmonic analysis, applying to topological groups that are compact, but are not necessarily abelian. It was initially proved by Hermann Weyl, with his student Fritz Peter, in the setting of a compact topological group G The theorem is a collection of results generalizing the significant facts about the decomposition of the regular representation of any finite group, as discovered by Ferdinand Georg Frobenius and Issai Schur. Let G be a compact group. The theorem has three parts. The first part states that the matrix coefficients of irreducible representations of G are dense in the space C(G) of continuous complex valued functions on G, and thus also in the space L2(G) of square integrable functions. The second part asserts the complete reducibility of unitary representations of G. The third part then asserts that the regular representation of G on L2(G) decomposes as the direct sum of all irreducible unitary representations. Moreover, the matrix coefficients of the irreducible unitary representations form an orthonormal basis of L2(G). In the case that G is the group of unit complex numbers, this last result is simply a standard result from Fourier series.
Байланысты компактті Ли топтарының бейнелеу теориясы
Питер-Вейл теоремасы – атап айтқанда, таңбалар квадраттық интегралданатын сыныптық функциялар кеңістігі үшін ортонормальды базис құрайды деген тұжырым – байланысқан компакттық Лай тобының ирредуктибелді бейнелеулерін жіктеуде маңызды рөл атқарады. Бұл дәлел Вейль интегралдық формуласына (сыныптық функциялар үшін) және Вейль таңбалық формуласына да сүйенеді. Дәлелдің схемасын мына жерден табуға болады.
Топтық топтардың құрылымы
Питер-Вейл теоремасынан маңызды жалпы құрылым теоремасын шығаруға болады. G – компактты топологиялық топ болсын, ол Хаусдорф ақсиомасын қанағаттандырады деп есептейміз. G сол жақтан әрекет ететін L2(G) кеңістігіндегі кез келген шекті өлшемді G-инвариантты V подкеңістігі үшін, біз GL(V)-дегі G-дің бейнесін қарастырамыз. G компактты болғандықтан, ол жабық және GL(V) Ли тобының кіші тобы болып табылады. Эли Картан теоремасы бойынша, G-дің бейнесі де Ли тобы болып табылады. Егер енді біз V-тің барлық мұндай кеңістіктері бойынша лимит алсақ (категория теориясының мағынасында), G туралы мынадай нәтижеге жетеміз: G, L2(G)-ге адал әрекет ететіндіктен, G – Ли топтарының кері лимиті болып табылады. Әрине, G өзі Ли тобы болмауы мүмкін: мысалы, ол проконектік топ болуы мүмкін.