Введение
Основной результат гармонического анализа на компактных топологических группах
В математике теорема Питера — Вейля является фундаментальным результатом в теории гармонического анализа, применимым к топологическим группам, которые компактны, но не обязательно абелевы. Она была впервые доказана Германом Вейлем совместно со своим учеником Фрицем Питером в контексте компактной топологической группы G. Теорема представляет собой совокупность результатов, обобщающих важные факты о разложении регулярного представления любой конечной группы, установленные Фердинандом Георгом Фробениусом и Иссаи Шуром. Пусть G — компактная группа. Теорема состоит из трех частей. Первая часть утверждает, что матричные коэффициенты неприводимых представлений G плотны в пространстве C(G) непрерывных комплекснозначных функций на G и, следовательно, также в пространстве L2(G) квадратично интегрируемых функций. Вторая часть утверждает полную приводимость унитарных представлений G. Третья часть утверждает, что регулярное представление G на L2(G) раскладывается в прямую сумму всех неприводимых унитарных представлений. Более того, матричные коэффициенты неприводимых унитарных представлений образуют ортонормированный базис L2(G). В случае, когда G является группой комплексных чисел по модулю единица, этот последний результат является просто стандартным результатом теории рядов Фурье.
In mathematics, the Peter–Weyl theorem is a basic result in the theory of harmonic analysis, applying to topological groups that are compact, but are not necessarily abelian. It was initially proved by Hermann Weyl, with his student Fritz Peter, in the setting of a compact topological group G The theorem is a collection of results generalizing the significant facts about the decomposition of the regular representation of any finite group, as discovered by Ferdinand Georg Frobenius and Issai Schur. Let G be a compact group. The theorem has three parts. The first part states that the matrix coefficients of irreducible representations of G are dense in the space C(G) of continuous complex valued functions on G, and thus also in the space L2(G) of square integrable functions. The second part asserts the complete reducibility of unitary representations of G. The third part then asserts that the regular representation of G on L2(G) decomposes as the direct sum of all irreducible unitary representations. Moreover, the matrix coefficients of the irreducible unitary representations form an orthonormal basis of L2(G). In the case that G is the group of unit complex numbers, this last result is simply a standard result from Fourier series.
Теория представления соединенных компактных групп Ли
Теорема Питера — Вейля, а именно утверждение о том, что характеры образуют ортонормальный базис для пространства квадратично интегрируемых классовых функций, играет ключевую роль в классификации неприводимых представлений связной компактной группы Ли. Доказательство также опирается на интегральную формулу Вейля (для классовых функций) и формулу характеров Вейля. Описание доказательства можно найти здесь.
Структура компактных топологических групп
Из теоремы Питера — Вейля можно вывести важное общее теорема о структуре. Пусть G — компактная топологическая группа, которую мы считаем хаусдорфовой. Для любого конечномерного G-инвариантного подпространства V в L2(G), где G действует слева, рассмотрим образ G в GL(V). Он замкнут, поскольку G компактна, и является подгруппой группы Ли GL(V). Из теоремы Эли Картана следует, что образ G также является группой Ли. Если теперь взять предел (в смысле теории категорий) по всем таким пространствам V, то получим результат о G: поскольку G действует верно на L2(G), G является обратным пределом групп Ли. Разумеется, сама G может и не быть группой Ли: например, она может быть проконечной группой.