Кіріспе
Тамыр жүйесінің изометриялық тобының кіші тобы. Математикада, әсіресе Ли алгебралары теориясында, тамыр жүйесі Φ-ның Вейль тобы (Герман Вейльдің есімімен аталған) – осы тамыр жүйесінің изометриялық тобының кіші тобы болып табылады. Нақтырақ айтқанда, ол тамырларға перпендикуляр гипержазықтықтар арқылы жасалатын көрістірулер арқылы туындайтын кіші топ, және осылайша шекті көрістіру тобы болып табылады. Шындығында, көптеген шекті көрістіру топтары Вейль топтары болып келеді. Абстрактілі түрде, Вейль топтары шекті Коксетер топтары болып табылады және олардың маңызды мысалдары есептеледі. Жартылай жай Лай тобының, жартылай жай Лай алгебрасының, жартылай жай сызықтық алгебралық топтың және т.б. Вейль тобы – осы топтың немесе алгебраның тамыр жүйесінің Вейль тобы болып табылады.
In mathematics, in particular the theory of Lie algebras, the Weyl group (named after Hermann Weyl) of a root system Φ is a subgroup of the isometry group of that root system. Specifically, it is the subgroup which is generated by reflections through the hyperplanes orthogonal to the roots, and as such is a finite reflection group. In fact it turns out that most finite reflection groups are Weyl groups. Abstractly, Weyl groups are finite Coxeter groups, and are important examples of these. The Weyl group of a semisimple Lie group, a semisimple Lie algebra, a semisimple linear algebraic group, etc. is the Weyl group of the root system of that group or algebra.
Қарым-қатынастар
Егер және -ге тең болса, онда негізге қатысты Динкин диаграммасы осы жұптың қалай әрекет ететіні туралы ақпарат береді. Атап айтқанда, және Динкин диаграммасындағы сәйкес келетін төбелер деп есептейік. Онда келесі нәтижелер орын алады: Егер және арасында байланыс болмаса, онда және өзара ауыстырылады. және әрқайсысының реті екі болғандықтан, бұл және арасында бір байланыс болса, онда және арасында екі байланыс болса, онда және арасында үш байланыс болса, онда екенін білдіреді. Бұл тұжырымды тексеру қиын емес, егер Динкин диаграммасы әрбір түбір жұбы арасындағы бұрыш туралы не айтатынын есімізде ұстасақ. Мысалы, егер екі төбе арасында байланыс болмаса, онда және өзара перпендикуляр болады, содан кейін сәйкес келетін кері өзгерістер өзара ауыстырылады. Жалпы, байланыстардың саны түбірлер арасындағы бұрышты анықтайды. Оқырман тексере алатындай, екі кері өзгерістің көбейтіндісі және түбірлері созылатын жазықтықта бұрышқа айналуға тең, содан жоғарыдағы тұжырым оңай шығады.
If there is no bond between and , then and commute. Since and each have order two, this is equivalent to saying that If there is one bond between and , then If there are two bonds between and , then If there are three bonds between and , then The preceding claim is not hard to verify, if we simply remember what the Dynkin diagram tells us about the angle between each pair of roots. If, for example, there is no bond between the two vertices, then and are orthogonal, from which it follows easily that the corresponding reflections commute. More generally, the number of bonds determines the angle between the roots. The product of the two reflections is then a rotation by angle in the plane spanned by and , as the reader may verify, from which the above claim follows easily.
Коксетер тобы ретінде
Вейл топтары – шекті шағылыстыру топтарының мысалы, себебі олар шағылыстар арқылы жасалады; абстрактілі топтар (сызықтық топтың кіші топтары ретінде қарастырылмайды) сәйкесінше шекті Коксетер топтары болып табылады, бұл оларды Коксетер–Динкин диаграммасы бойынша жіктеуге мүмкіндік береді. Коксетер тобы болу, Вейл тобының әр генераторы xi екінші дәрежелі болып табылатын ерекше түріндегі ұсынысын білдіреді, ал xi2=1-ден басқа қатынастар (xixj)mij=1 түрінде болады. Генераторлар – бұл қарапайым түбірлерге сәйкес келетін шағылыстар, ал mij – 2, 3, 4 немесе 6, i және j түбірлері арасындағы бұрыш 90, 120, 135 немесе 150 градусқа байланысты, яғни Динкин диаграммасында олар байланыспаған, қарапайым қабырғамен байланысқан, қос қабырғамен немесе үш қабырғамен байланысқан. Бұл қатынастарды жоғарыдағы тізімде атап көрсеттік, бірақ Коксетер тобы деу арқылы, біз осы ұсыныс бойынша ғана қатынастар бар екенін айтамыз. Вейл топтарында осы ұсыныс тұрғысынан Брухат реті және ұзындық функциясы бар: Вейл тобының элементінің ұзындығы – осы стандартты генераторлар арқылы сол элементті бейнелейтін ең қысқа сөздің ұзындығы. Коксетер тобының Брухат ретіндегі сәйкестігіне қарама-қарсы келетін бірегей ең ұзын элементі бар.
Weyl groups have a Bruhat order and length function in terms of this presentation: the length of a Weyl group element is the length of the shortest word representing that element in terms of these standard generators. There is a unique longest element of a Coxeter group, which is opposite to the identity in the Bruhat order.
Алгебралық, топтық-теориялық және геометриялық параметрлердегі Вейль топтары
Жоғарыда Вейл тобы тамыр жүйесінің изометриялық тобының кіші тобы ретінде анықталды. Сонымен қатар, түрлі теориялық және геометриялық контексттерде (Ли алгебрасы, Ли тобы, симметриялық кеңістік және т.б.) Вейл тобының әртүрлі анықтамалары бар. Вейл тобын анықтаудың әрбір тәсілі үшін, бұл мақаланың басында берілген анықтамадағы Вейл тобы – яғни, берілген объектіге байланысты кейбір тамыр жүйесінің Вейл тобы – (көбінесе тривиалды емес) теорема болып табылады. Мұндай Вейл тобының нақты көрінісі әдетте таңдауға байланысты, мысалы, Ли алгебрасы үшін Картан субальгебрасы, Ли тобы үшін максималды торус таңдауға.