Введение
Подгруппа изометрической группы корневой системы
В математике, в частности в теории алгебр Ли, группа Вейля (названа в честь Германна Вейля) корневой системы Φ является подгруппой изометрической группы этой корневой системы. В частности, она порождается отражениями относительно гиперплоскостей, ортогональных корням, и таким образом является конечной группой отражений. Фактически, большинство конечных групп отражений являются группами Вейля. В абстрактном смысле группы Вейля являются конечными группами Коксетера и служат важными примерами таких групп. Группа Вейля полупростой группы Ли, полупростой алгебры Ли, полупростой линейной алгебраической группы и т.п. является группой Вейля корневой системы соответствующей группы или алгебры.
Отношения
Между тем, если и принадлежат , то диаграмма Динкина для относительно базы сообщает нам некоторую информацию о поведении пары . В частности, предположим, что и – соответствующие вершины в диаграмме Динкина. Тогда мы имеем следующие результаты:
Если между и нет ребра, то и коммутируют. Поскольку и каждый имеет порядок два, это эквивалентно тому, что если между и есть одно ребро, то если между и есть два ребра, то если между и есть три ребра, то вышеуказанное утверждение несложно проверить, если просто вспомнить, что диаграмма Динкина сообщает нам об угле между каждой парой корней. Если, например, между двумя вершинами нет ребра, то и ортогональны, из чего легко следует, что соответствующие отражения коммутируют. В более общем случае, число ребер определяет угол между корнями. Произведение двух отражений тогда является вращением на угол в плоскости, натянутой на и , что читатель может проверить, и из чего легко следует вышеуказанное утверждение.
If there is no bond between and , then and commute. Since and each have order two, this is equivalent to saying that If there is one bond between and , then If there are two bonds between and , then If there are three bonds between and , then The preceding claim is not hard to verify, if we simply remember what the Dynkin diagram tells us about the angle between each pair of roots. If, for example, there is no bond between the two vertices, then and are orthogonal, from which it follows easily that the corresponding reflections commute. More generally, the number of bonds determines the angle between the roots. The product of the two reflections is then a rotation by angle in the plane spanned by and , as the reader may verify, from which the above claim follows easily.
Как группа Коксетера
Группы Вейля являются примерами конечных групп отражений, поскольку они порождаются отражениями; абстрактные группы (не рассматриваемые как подгруппы линейной группы) соответственно являются конечными группами Коксетера, что позволяет классифицировать их по диаграмме Коксетера — Динкина. Быть группой Коксетера означает, что группа Вейля имеет специальный вид представления, в котором каждый генератор xi имеет порядок два, а отношения, отличные от xi² = 1, имеют вид (xixj)mij = 1. Генераторы — это отражения, соответствующие простым корням, а mij равно 2, 3, 4 или 6 в зависимости от того, образуют ли корни i и j угол в 90, 120, 135 или 150 градусов, то есть соединены ли они в диаграмме Динкина несвязанным ребром, простым ребром, двойным ребром или тройным ребром. Мы уже упоминали об этих соотношениях выше, но утверждение о том, что группа является группой Коксетера, означает, что это единственные соотношения, определяющие группу. Группы Вейля имеют порядок Бруа и функцию длины, заданные этим представлением: длина элемента группы Вейля — это длина кратчайшего слова, представляющего этот элемент в терминах этих стандартных генераторов. В группе Коксетера существует единственный самый длинный элемент, который противоположен единичному элементу в порядке Бруа.
Weyl groups have a Bruhat order and length function in terms of this presentation: the length of a Weyl group element is the length of the shortest word representing that element in terms of these standard generators. There is a unique longest element of a Coxeter group, which is opposite to the identity in the Bruhat order.
Группы Вейла в алгебраических, теоретических и геометрических условиях
Выше группа Вейля была определена как подгруппа группы изометрий корневой системы. Существуют также различные определения групп Вейля, специфичные для различных теоретико-групповых и геометрических контекстов (алгебры Ли, группы Ли, симметрические пространства и т.д.). Для каждого из этих способов определения групп Вейля, доказывается (обычно нетривиальная) теорема о том, что это группа Вейля в смысле определения, данного в начале этой статьи, то есть группа Вейля некоторой корневой системы, связанной с рассматриваемым объектом. Конкретная реализация такой группы Вейля обычно зависит от выбора – например, картанской под-алгебры для алгебры Ли или максимального тора для группы Ли.