Кіріспе
Ықтималдық теориясындағы ұғым: Браун экскурсиясынан алынған континуумдық кездейсоқ ағаш. Ықтималдық теориясында Браун ағашы, немесе Алдос ағашы, немесе континуумдық кездейсоқ ағаш (CRT) – Браун экскурсиясынан анықталатын кездейсоқ нақты ағаш. Браун ағашын Дэвид Алдос 1991 және 1993 жылдары жарияланған үш мақалада анықтап, зерттеген. Одан бері бұл ағаш жалпыланды. Бұл кездейсоқ ағаштың бірнеше мағыналас анықтамасы мен құрылысы бар: шекті жапырақтар санымен жасалған кіші ағаштарды пайдалану, Браун экскурсиясын пайдалану, Пуассон арқылы түзу сызықты бөлу немесе Гальтон-Уотсон ағаштарының лиміті ретінде қарастыру. Интуитивті тұрғыдан алғанда, Браун ағашы – түйіндері (немесе тармақталу нүктелері) ағашта тығыз орналасқан бинарлық ағаш; яғни, ағаштың кез келген екі бөлек нүктесінің арасында әрқашан түйін табылады. Бұл фракталды нысан, оны компьютерлермен немесе дендриттік құрылымдары бар физикалық процестер арқылы жуықтауға болады.
the Continuum Random Tree obtained from a Brownian excursion
In probability theory, the Brownian tree, or Aldous tree, or Continuum Random Tree (CRT) is a random real tree that can be defined from a Brownian excursion. The Brownian tree was defined and studied by David Aldous in three articles published in 1991 and 1993. This tree has since then been generalized. This random tree has several equivalent definitions and constructions: using sub trees generated by finitely many leaves, using a Brownian excursion, Poisson separating a straight line or as a limit of Galton Watson trees. Intuitively, the Brownian tree is a binary tree whose nodes (or branching points) are dense in the tree; which is to say that for any distinct two points of the tree, there will always exist a node between them. It is a fractal object which can be approximated with computers or by physical processes with dendritic structures.
Анықтамалар
Келесі анықтамалар – бұл Браун ағашының әртүрлі сипаттамалары, олар Ольдустың үш мақаласынан алынған. Жапырақ, түйін, бұтақ, тамыр ұғымдары ағаш туралы қалыпты түсініктер (толық мәліметтер үшін нақты ағаштарға қараңыз).
Шекті өлшемді заңдар
Бұл анықтама шекті сандағы жапырақтар арқылы туындайтын кіші ағаштардың шекті өлшемді заңдарын береді. Біз жапырақтары 1-ден n-ге дейін нөмірленген барлық бинарлы ағаштар кеңістігін қарастырайық. Бұл ағаштардың ұзындығы A болатын шеттері бар. Ағаш оның пішінімен (яғни түйіндердің ретімен) және шеттерінің ұзындығымен анықталады. Осы кеңістікте кездейсоқ айнымалының ықтималдық заңын былай анықтаймыз:
мұндағы
Басқаша айтқанда, ағаш пішініне емес, барлық шеттерінің ұзындығының жалпы сомасына байланысты. Басқаша айтқанда, Браун ағашы одан жасалатын барлық шекті кіші ағаштардың заңдары арқылы анықталады.
In other words, depends not on the shape of the tree but rather on the total sum of all the edge lengths. In other words, the Brownian tree is defined from the laws of all the finite sub trees one can generate from it.
Poisson желісін бұзатын конструкция
Бұл сондай-ақ таяқ үзіп салу құрылысы деп аталады. Н-тен біртекті емес Пуассон нүктелі процесті қарастырайық. Басқаша айтқанда, кез келген үшін, – параметрі бар Пуассон айнымалысы. - нүктелері болсын. Онда - интервалдардың ұзындығы азаятын орташа мәндері бар экспоненциалдық айнымалылар болады. Содан кейін келесі құрылым жасалады: (бастамалау) Бірінші қадам – интервалдағы кездейсоқ нүктені біркелкі таңдау. Содан кейін сегментті (математикалық тұрғыдан алғанда, біз жаңа қашықтықты анықтаймыз) жабыстырамыз. Біз тамыры 0 нүктесінде, екі жапырағы ( және ) және бір бинарлық тармақталу нүктесі ( нүктесі) бар ағаш аламыз. (итерация) k-шы қадамда сегмент ағашқа, -ның біркелкі кездейсоқ нүктесінде ұқсас жабысады. Бұл алгоритм броун ағаштарын сандық түрде модельдеу үшін қолданылуы мүмкін.
(initialisation) The first step is to pick a random point uniformly on the interval Then we glue the segment to (mathematically speaking, we define a new distance). We obtain a tree with a root (the point 0), two leaves ( and ), as well as one binary branching point (the point ). (iteration) At step k, the segment is similarly glued to the tree , on a uniformly random point of
This algorithm may be used to simulate numerically Brownian trees.
Гальтон-Уотсон ағаштарының шегі
Гальтон-Уотсон ағашын қарастырайық, оның көбею заңы шекті, нөлдік емес дисперсияға ие, және түйіндер саны белгілі болған жағдайда. Осы ағашты T деп белгілейік, оның қабырғаларының ұзындығы In-ға бөлінген. Яғни, әр қабырғаның ұзындығы 1/n болады. Бұл құрылымды Гальтон-Уотсон ағашын метрикалық кеңістік ретінде қарастыру арқылы немесе қайта нормаланған контурлық процестерді қолдану арқылы формалдауға болады. Мұнда қолданылатын лимит – Скорход кеңістігіндегі (контурлық процестерді қарастырған жағдайда) стохастикалық процестердің таралу бойынша жуықтасуы, немесе метрикалық кеңістіктерді қарастырған жағдайда Хаусдорф қашықтығы арқылы анықталған таралу бойынша жуықтасу.