Кіріспе
Аффиндік кеңістіктің барлық аффиндік түрлендірулерінің тобы. Математикада, кез келген аффиндік кеңістіктің аффиндік тобы немесе жалпы аффиндік тобы – кеңістіктен өзіне барлық кері аффиндік түрлендірулердің тобы. Евклид кеңістігі жағдайында (ондағы скалярлардың байланысты өрісі нақты сандар), аффиндік топ кеңістіктен өзіне дейінгі функциялардан тұрады, мұнда әрбір түзудің бейнесі түзу болып табылады. Кез келген өрісте аффиндік топты табиғи түрде матрицалық топ ретінде қарастыруға болады. Егер скалярлардың байланысты өрісі нақты немесе кешенді өріс болса, онда аффиндік топ – Ли тобы.
In mathematics, the affine group or general affine group of any affine space is the group of all invertible affine transformations from the space into itself. In the case of a Euclidean space (where the associated field of scalars is the real numbers), the affine group consists of those functions from the space to itself such that the image of every line is a line. Over any field, the affine group may be viewed as a matrix group in a natural way. If the associated field of scalars is the real or complex field, then the affine group is a Lie group.
Реалдардағы жазықтық аффиндік топ
Элементтері жақсы таңдалған аффинді координаттар жүйесінде қарапайым түйінде болуы мүмкін. Нақтырақ айтқанда, нақты сандар үстіндегі аффиндік жазықтықтың аффиндік түрлендірісін қарастыра отырып, онда осы түрлендіріс келесі түйіндердің біріне ие болатын аффиндік координаттар жүйесі бар, мұнда a, b және t – нақты сандар (берілген шарттар түрлендірулердің инверттік екенін қамтамасыз етеді, бірақ түйіндерді ерекшелеу үшін емес; мысалы, тождество барлық түйіндерге жатады). 1-ші жағдай аудармаларға сәйкес келеді. 2-ші жағдай екі түрлі бағыттағы масштабтауларға сәйкес келеді. Евклид жазықтығымен жұмыс істегенде бұл бағыттар міндетті түрде перпендикуляр болуы қажет емес, өйткені координаттар өстері міндетті түрде перпендикуляр болуы қажет емес. 3-ші жағдай бір бағыттағы масштабтауға және екінші бағыттағы аудармаға сәйкес келеді. 4-ші жағдай – дилатациямен біріктірілген қисайтуға сәйкес келеді. 5-ші жағдай – дилатациямен біріктірілген қисайтуға сәйкес келеді. 6-шы жағдай координаталық өстер перпендикуляр болғандағы ұқсастықтарға сәйкес келеді. Тұрақты нүктесі жоқ аффиндік түрлендірулер 1, 3 және 5-ші жағдайларға жатады. Жазықтықтың бағытын сақтамайтын түрлендірулер 2-ші (ab < 0) немесе 3-ші (a < 0) жағдайларға жатады. Дәлелдеуді алдымен аффиндік түрлендірудің тұрақты нүктесі болмаса, онда байланысты сызықтық түрлендірудің матрицасының өзіндік мәні бірге тең болады деп атап өту арқылы, содан кейін нақты матрицалар үшін Джорданның нормальды түрі туралы теореманы қолдану арқылы жүргізуге болады.
Арнайы аффиндік топ
Белгіге дейін көлемді сақтайтын барлық инверттік аффиндік түрлендірулердің ішкі жиыны арнайы аффиндік топ деп аталады. (Бұл түрлендірулердің өзі кейде эквиаффинитеттер деп аталады.) Бұл топ арнайы сызықтық топтың аффиндік аналогы болып табылады. Жартылай тікелей көбейтінді түрінде, арнайы аффиндік топ (M, v) түріндегі барлық жұптардан тұрады, мұнда M – детерминантының абсолюттік мәні 1-ге тең сызықтық түрлендіру, ал v – кез келген тұрақты трансляция векторы. Арнайы аффиндік топтың сызықтық бөлігінің детерминанты 1-ге тең болатын түрлендірулерден тұратын ішкі тобы – бағдар мен көлемді сақтайтын түрлендірулер тобы. Алгебралық тұрғыдан алғанда, бұл топ – трансляциялармен бірге арнайы сызықтық топтың жартылай тікелей көбейтіндісі. Ол қималау түрлендірулері арқылы құрылады.
where M is a linear transformation of whose determinant has absolute value 1 and v is any fixed translation vector. The subgroup of the special affine group consisting of those transformations whose linear part has determinant 1 is the group of orientation and volume preserving maps. Algebraically, this group is a semidirect product of the special linear group of with the translations. It is generated by the shear mappings.
Жобалаушы кіші топ
Жобалаушылықты және проективті геометрияның проективті тобын білуді болжамдасақ, аффиндік топты оңай анықтауға болады. Мысалы, Гюнтер Эвальд былай деп жазды: -ның барлық проективті коллинеацияларының жиынтығы – біз проективті топ деп атауға болатын топ. Егер біз гипержазықты ω шексіздік гипержазықтығы деп қарастырып, проективті кеңістіктен аффиндік кеңістікке өтетін болсақ, ω-ны өзгеріссіз қалдыратын -ның барлық элементтерінен тұратын -ның ішкі тобы ретінде аффиндік топты аламыз.
The set of all projective collineations of is a group which we may call the projective group of If we proceed from to the affine space by declaring a hyperplane ω to be a hyperplane at infinity, we obtain the affine group of as the subgroup of consisting of all elements of that leave ω fixed.
Евклид кеңістігінің изометриясы
Афиналық кеңістік А, нақты сандар өрісіндегі Евклид кеңістігі болған жағдайда, А-ның қашықтықты сақтайтын бейнелеулер тобы (изометриялар) – аффиналық топтың кіші тобы болып табылады. Алгебралық тұрғыдан қарағанда, бұл топ – ортогональды топ пен аудармалардың жартылай тура көбейтіндісі. Геометриялық тұрғыдан алғанда, бұл – ортогональды керісулер арқылы жасалған аффиналық топтың кіші тобы.