Введение

Группа всех аффинных преобразований аффинного пространства

В математике аффинная группа или общая аффинная группа любого аффинного пространства — это группа всех обратимых аффинных преобразований пространства на себя. В случае евклидова пространства (где соответствующее поле скаляров — это действительные числа), аффинная группа состоит из функций, отображающих каждую прямую в прямую. Над любым полем аффинную группу можно естественным образом рассматривать как матричную группу. Если соответствующее поле скаляров является полем действительных или комплексных чисел, то аффинная группа является группой Ли.

Плановая аффиновая группа над действительными числами

Элементы могут принимать простую форму в правильно выбранной аффинной системе координат. Более точно, для заданного аффинного преобразования аффинной плоскости над действительными числами, существует аффинная система координат, в которой оно принимает одну из следующих форм, где a, b и t – действительные числа (указанные условия обеспечивают обратимость преобразований, но не служат для разграничения классов; например, тождественное преобразование принадлежит всем классам). Случай 1 соответствует сдвигам (трансляциям). Случай 2 соответствует масштабированию, которое может быть различным в двух направлениях. При работе с евклидовой плоскостью эти направления не обязаны быть перпендикулярными, поскольку оси координат не обязаны быть перпендикулярными. Случай 3 соответствует масштабированию в одном направлении и сдвигу в другом. Случай 4 соответствует сдвигу, совмещенному с растяжением. Случай 5 соответствует сдвигу, совмещенному с растяжением. Случай 6 соответствует подобиям, когда оси координат перпендикулярны. Аффинные преобразования, не имеющие неподвижных точек, относятся к случаям 1, 3 и 5. Преобразования, не сохраняющие ориентацию плоскости, относятся к случаям 2 (при ab < 0) или 3 (при a < 0). Доказательство можно построить, сначала отметив, что если аффинное преобразование не имеет неподвижных точек, то матрица соответствующего линейного преобразования имеет собственное значение, равное единице, а затем, используя теорему о жордановой нормальной форме для вещественных матриц.

Специальная аффинальная группа

Подмножество всех обратимых аффинных преобразований, сохраняющих фиксированную объёмную форму с точностью до знака, называется специальной аффинной группой. (Сами преобразования иногда называются эквиаффинностями.) Эта группа является аффинным аналогом специальной линейной группы. В терминах полупрямого произведения специальная аффинная группа состоит из всех пар (M, v) с условием , то есть аффинных преобразований

где M — линейное преобразование, определитель которого имеет абсолютное значение 1, а v — любой фиксированный вектор сдвига. Подгруппа специальной аффинной группы, состоящая из тех преобразований, чья линейная часть имеет определитель 1, является группой сохраняющих ориентацию и объём преобразований. Алгебраически эта группа представляет собой полупрямое произведение специальной линейной группы с преобразованиями сдвига. Она порождается сдвигами.

Проективная подгруппа

Предполагая знание проективности и проективной группы проективной геометрии, аффинную группу можно легко определить. Например, Гюнтер Эвальд писал: Множество всех проективных коллинеаций является группой, которую мы можем назвать проективной группой. Если мы переходим от проективного пространства к аффинному пространству, объявляя гиперплоскость ω гиперплоскостью на бесконечности, мы получаем аффинную группу как подгруппу, состоящую из всех элементов, фиксирующих ω.

Изометрии евклидовой области

Когда аффинное пространство A является евклидовым пространством (над полем вещественных чисел), группа преобразований, сохраняющих расстояние (изометрий) A, является подгруппой аффинной группы. Алгебраически, эта группа представляет собой полупрямое произведение ортогональной группы и сдвигов. Геометрически, это подгруппа аффинной группы, порожденная ортогональными отражениями.