Шин Тун Яу: Қытай-Америкалық математигінің өмір жолы мен ғылыми еңбектері

Шин Тун Яу – әйгілі қытай-американ математигі, Филдс жүлдесінің иегері. Математика ғылымдарына зор үлес қосып, әртүрлі теңдеулерді шешудегі жетістіктерімен танымал.

17 мин оқу

100%

Дереккөз: Shing-Tung Yau — Wikipedia

Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.

Мазмұны

Кіріспе

Қытай математигі Шинг Тунг Яу (/j//aʊ/; 1949 жылдың 4 сәуірінде туған) – қытай-американдық математик. Ол Цинхуа университетінің Яу математикалық ғылымдар орталығының директоры және Гарвард университетінің зейнеткер профессор (Professor Emeritus). 2022 жылға дейін Гарвардта Уильям Каспар Граустейн атындағы математика профессоры болды, содан кейін Цинхуаға көшті. Яу Қытай Республикасының Кантон қаласындағы Сватов қаласында дүниеге келді, жас кезінде Британдық Гонконгқа көшіп, 1969 жылы АҚШ-қа барды. Ол 1982 жылы жартылай дифференциалдық теңдеулерге, Калаби болжамына, оң энергия теоремасына және Монже-Ампер теңдеуіне қосқан үлесі үшін Филдс медалімен марапатталды. Яу қазіргі дифференциалдық геометрия және геометриялық талдаудың дамуына зор үлес қосушылардың бірі саналады. Яудың еңбектері математика мен физика салаларында, атап айтқанда, дөңгелек геометрия, алгебралық геометрия, санамалық геометрия, айна симметриясы, жалпы салыстырмалылық теориясы және іс жүзіндегі геометрия, сондай-ақ қолданбалы математика, инженерия және сандық талдау салаларында да көрініс береді.

Өмірбаян

Яу 1949 жылы Қытай Республикасының Гуандун провинциясының Шанту қаласында хака халқының отбасында дүниеге келді. Оның әулеттік отаны – Қытайдың Цзяолин ауданы. Анасы, Юк Лам Ленг, Қытайдың Мейксян ауданынан, ал әкесі, Чэнь Инь Чиу 丘鎭英, Қытай Республикасының философия, тарих, әдебиет және экономика ғылымының ғалымы болған. Ол сегіз баланың бесіншісі еді. Қытайдың коммунистер басып алған кезде, ол бірнеше айлық болатын, сол кезде оның отбасы Британдық Гонконгқа көшіп, ол ата-анасының туған тілі – хака тілімен қатар кантон тілін де үйренуге мәжбүр болды. 1979 жылы Хуа Луогеннің шақыруымен Қытайдың реформа және ашылу дәуірі басталғанда ғана ол қайта орала алды. Олар алдымен Юэнь-Лонг қаласында тұрды, содан кейін 1954 жылы Шатинге көшіп келді. Олар барлық мүлкін жоғалтқандықтан қаржылық қиындықтарға тап болды, ал оның әкесі мен екінші үлкен әпкесі оның он үш жасында қайтыс болды. Яу әкесінің кітаптарын оқып, оларды бағалай бастады және оқуға көбірек бейіл білді. Пуй Цзин орта мектебін бітіргеннен кейін, ол 1966 жылдан 1969 жылға дейін Гонконгтың Қытай университетінде математиканы оқыды, бірақ ерте бітіргендіктен диплом алмады. Ол оқулықтарын кіші інісі Стивен Шинг Тунг Яуға қалдырды, ол да математика мамандығын таңдады. Яу 1969 жылдың күзінде Калифорния университетінің Беркли қаласындағы математика бойынша докторантура бағдарламасына түсті. Қысқы демалыс кезінде ол «Дифференциалдық геометрия» журналының алғашқы нөмірлерін оқыды және Джон Милнордың геометриялық топтар теориясы туралы еңбектерінен терең әсер алды. Содан кейін ол Прейсман теоремасын жалпылады және келесі семестрде Блейн Лоусонмен бірге осы идеяларын одан әрі дамытты. Осы жұмысының нәтижесінде ол 1971 жылы Шиң Шен Черннің жетекшілігімен философия докторы ғылымын қорғады. 1972 жылы Стони Брук университетіне қабылданар алдында Принстонның Жоғары оқу орталығында бір жыл жұмыс істеді. 1974 жылы Стэнфорд университетінде доцент болды. 1976 жылы UCLA-да қонақ профессор болып жұмыс істеді және Берклидегі докторантурада оқыған кезде танысқан физик Ю Юн Куоға үйленді. 1987 жылы Гарвард университетіне көшті. 2022 жылдың сәуір айында Яу Гарвард университетінен зейнеткерлікке шықты, ол Уильям Каспар Грауштейннің математика профессоры болып зейнетке шықты. 1982 жылы Филдс медалін алған кездегі мәртебесі туралы Яу: «Мен математикадан Филдс медалін алғанда, мен ешқандай елдің паспортында болмадым және мені қытайлық деп санау керек деп мақтан тұтамын» деді. Ғылыми журналист Стив Надиспен бірге Яу Калаби-Яу көптүрліліктері мен сап теориясы туралы техникалық емес есеп, Гарвардтың математика факультетінің тарихы, Қытайдағы Дөңгелекті электрон-позитрон соқтығыстырғышын салу туралы ұсыныс, автобиография және геометрия мен физиканың байланысы туралы кітап жазды.

Yau was born in Shantou, Guangdong, Republic of China in 1949 to Hakka parents. His ancestral hometown is Jiaoling County, China. His mother, Yeuk Lam Leung, was from Meixian District, China; his father, Chen Ying Chiu 丘鎭英, was a Republic of China Kuomintang scholar of philosophy, history, literature, and economics. He was the fifth of eight children. During the Communist takeover of mainland China when he was only a few months old, his family moved to British Hong Kong where he was forced to learn to speak the Cantonese language as well as his parent's native Hakka Chinese language. He was not able to revisit until 1979, at the invitation of Hua Luogeng, when mainland China entered the reform and opening era. They lived in Yuen Long at first, and then moved to Shatin in 1954. They had financial troubles from having lost all of their possessions, and his father and second oldest sister died when he was thirteen. Yau began to read and appreciate his father's books, and became more devoted to schoolwork. After graduating from Pui Ching Middle School, he studied mathematics at the Chinese University of Hong Kong from 1966 to 1969, without receiving a degree due to graduating early. He left his textbooks with his younger brother, Stephen Shing Toung Yau, who then decided to major in mathematics as well. Yau left for the Ph. D. program in mathematics at University of California, Berkeley in the fall of 1969. Over the winter break, he read the first issues of the Journal of Differential Geometry, and was deeply inspired by John Milnor's papers on geometric group theory. Subsequently he formulated a generalization of Preissman's theorem, and developed his ideas further with Blaine Lawson over the next semester. Using this work, he received his Ph. D. the following year, in 1971, under the supervision of Shiing Shen Chern. He spent a year as a member of the Institute for Advanced Study at Princeton before joining Stony Brook University in 1972 as an assistant professor. In 1974, he became an associate professor at Stanford University. In 1976, he took a visiting faculty position at UCLA and married physicist Yu Yun Kuo, whom he knew from his time as a graduate student at Berkeley. In 1987, he moved to Harvard University. In April 2022, Yau retired from Harvard, where he was became William Caspar Graustein Professor of Mathematics Emeritus. Regarding his status when receiving his Fields Medal in 1982, Yau stated "I am proud to say that when I was awarded the Fields Medal in mathematics, I held no passport of any country and should certainly be considered Chinese." With science journalist Steve Nadis, Yau has written a non technical account of Calabi Yau manifolds and string theory, a history of Harvard's mathematics department,, a case for the construction of the Circular Electron Positron Collider in China,, an autobiography, and a book on the relation of geometry to physics.

Академиялық қызмет

Яу қазіргі заманғы дифференциалдық геометрия мен геометриялық талдауды дамытуға зор үлес қосты. 1981 жылы Уильям Терстон айтқандай: «Біз бір математиктің жұмысының, қысқа мерзім ішінде зерттеудің толық салаларына әсер ететінін көруге сирек мүмкіндік аламыз. Геометрия саласында соңғы он жылдағы осындай құбылыстың ең айқын мысалы – Шинг Тунг Яудың еңбектері. Оның ең танымал нәтижелері: Монге Ампер теңдеуінің шекаралық мән есебін (Шиу Юэн Ченгпен бірге) шешу, жалпы салыстырмалылық теориясының математикалық талдауындағы оң масса теоремасы (Ричард Шоенмен бірге), Калаби болжамын шешу, минималды беттердің топологиялық теориясы (Уильям Микспен бірге), Дональдсон-Уленбек-Яу теоремасы (Карен Уленбекпен бірге), сондай-ақ Ченг-Яу және Ли-Яу градиенттік бағалаулары. Яудың көптеген нәтижелері (басқалардың еңбектерімен қатар) Шоенмен бірлесіп жазылған оқулықтарға енгізілді. Зерттеулерімен қатар, Яу негізінен Қытайдағы бірнеше математикалық институттардың негізін қалаушы және директоры. Джон Коутс: «Біздің замандағы ешбір математик Яудың Қытай мен Гонконгта математикалық шараларға қаржы жинаудағы табысына жақындамады» деді. Цинхуа университетінде, Тайвань Ұлттық университетінде және Саньяда. Соңғы кезде, 2014 жылы Яу математикалық ғылымдар мен қолданбалар орталығын (оның директоры), Жасыл ғимараттар мен қалалар орталығын және иммунологиялық зерттеулер орталығын құру үшін қаражат жинады – бәрі де Гарвард университетінде. Цун Дао Ли мен Чэнь Ниң Ян ұйымдастырған физикалық конференция үлгісін алған Яу Қытай математиктерінің халықаралық конгресін ұсынды, ол қазір үш жылда бір рет өткізіледі. Алғашқы конгресс 1998 жылдың 12-18 желтоқсанында Морнингсайд орталығында өтті. Ол жыл сайынғы «Дифференциалдық геометрия журналы» және «Математикадағы қазіргі дамулар» конференцияларын бірлесіп ұйымдастырады. Яу – «Дифференциалдық геометрия журналының», «Азия математикалық журналының» және «Теориялық және математикалық физиканың жетістіктерінің» бас редакторы. 2021 жылға дейін ол жетпістен астам Ph.D. студенттерін басшылыққа алды. Келесі бірнеше жылда бірнеше математик Перелманның жұмысын толықтыруға және математикалық қауымдастыққа түсіндіруге уақыт арнады. 2006 жылдың тамызында Сильвия Насар мен Дэвид Грубердің «New Yorker» журналында жариялаған мақаласы Яуға қатысты кәсіби дауларды көпшілік назарына әкелді. 1980 жылдары Яудың әріптесі Юм Тонг Сиу, Яудың Ph.D. студенті Ган Тянь өзінің жұмысының бір бөлігін плагиаттаған деп айыптады. Сол кезде Яу Сиудың айыптауларына қарсы Тяньді қорғады. 2000 жылдары Яу Сиудың айыптауларын күшейтіп, Тяньнің Принстон және Пекин университеттеріндегі екі лауазымын Пекин университетінен алатын жоғары жалақысының есебінен, университетке белсенді үлес қосып жүрген басқа профессорлар мен студенттерге қарағанда этикалық емес деп тапты. «Science Magazine» журналы Қытайдағы осындай лауазымдардың кең таралған құбылысын қамтыды, оның орталық тұлғалары Тянь мен Яу болды. Насар мен Грубердің айтуынша, 1980 жылдардың ортасынан бері ешқандай маңызды жұмыс жасамаған Яу, Ши Пинг Чжу мен Яудың бұрынғы студенті Хуай Донг Цао Терстон мен Пуанкаре болжамдарын шешкенін мәлімдеу арқылы қайтадан танымал болуға тырысты, бұл Перелманның идеяларына ішінара ғана негізделген. Насар мен Грубер Яудың математикалық орталықтарының бірінің директор міндетін атқарушысымен келіскенін, ол баспасөз конференциясында Цао мен Чжуға болжамдарды шешудегі еңбегі үшін кредиттің отыз пайызын бергенін, ал Перелманға тек жиырма бес пайызын (ал қалғаны Ричард Гамильтонға) бергенін айтты. Бірнеше айдан кейін NPR-дің «All Things Considered» бағдарламасы баспасөз конференциясының аудио жазбасын қарап шықты және Яу немесе директор міндетін атқарушы осындай мәлімдеме жасаған жоқ екенін анықтады. Яу Насар мен Грубердің мақаласы жамандау болып табылады және онда бірнеше жалғандық бар, сондай-ақ оларға даудың өзінің жағын білдіруге мүмкіндік бермеді деп мәлімдеді. Ол журналға қарсы сотқа беріп, кәсіби зиянды өтеуді талап етуді қарастырды, бірақ мұндай шараның қандай нәтиже беретіні анық емес деп шешті. Ол «New Yorker» мақаласына бірнеше математиктердің, соның ішінде өзінің және мақалада сөз етілген тағы екі математиктің жауаптарымен қоғамдық қатынастар веб-сайтын құрды. Өзінің өмірбаяндық еңбегінде Яу 2006 жылы Цао мен Чжу «Пуанкаре болжамын дәлелдеудің бірінші толық және егжей-тегжейлі есебін» бергені туралы мәлімдемесін дұрыс формулировать керек болғанын айтты. Ол Цао мен Чжудың жұмысы Перелманның жұмысын толықтырғанын және ең толыққанды түсіндіргенін сенсе де, олар Перелманның жұмысын ешқандай жолмен басып өтпегенін нақтылау керек болғанын айтады. Ол сондай-ақ (2019 жылғы мәліметтер бойынша) Перелманның дәлелінің соңғы бөлімдерін математикалық қауымдастық жақсырақ түсінуі керек екенін, сондай-ақ оларда байқалмаған қателер болуы мүмкін екенін сақтап келеді.

Yau has made major contributions to the development of modern differential geometry and geometric analysis. As said by William Thurston in 1981:
We have rarely had the opportunity to witness the spectacle of the work of one mathematician affecting, in a short span of years, the direction of whole areas of research. In the field of geometry, one of the most remarkable instances of such an occurrence during the last decade is given by the contributions of Shing Tung Yau. His most widely celebrated results include the resolution (with Shiu Yuen Cheng) of the boundary value problem for the Monge Ampère equation, the positive mass theorem in the mathematical analysis of general relativity (achieved with Richard Schoen), the resolution of the Calabi conjecture, the topological theory of minimal surfaces (with William Meeks), the Donaldson Uhlenbeck Yau theorem (done with Karen Uhlenbeck), and the Cheng−Yau and Li−Yau gradient estimates for partial differential equations (found with Shiu Yuen Cheng and Peter Li). Many of Yau's results (in addition to those of others) were written into textbooks co authored with Schoen. In addition to his research, Yau is the founder and director of several mathematical institutes, mostly in China. John Coates has commented that "no other mathematician of our times has come close" to Yau's success at fundraising for mathematical activities in Mainland China and Hong Kong. at Tsinghua University, at National Taiwan University, and in Sanya. More recently, in 2014, Yau raised money to establish the Center of Mathematical Sciences and Applications (of which he is the director), the Center for Green Buildings and Cities, and the Center for Immunological Research, all at Harvard University. Modeled on an earlier physics conference organized by Tsung Dao Lee and Chen Ning Yang, Yau proposed the International Congress of Chinese Mathematicians, which is now held every three years. The first congress was held at the Morningside Center from December 12 to 18, 1998. He co organizes the annual "Journal of Differential Geometry" and "Current Developments in Mathematics" conferences. Yau is an editor in chief of the Journal of Differential Geometry, Asian Journal of Mathematics, and Advances in Theoretical and Mathematical Physics. As of 2021, he has advised over seventy Ph. D. students. Over the next few years, several mathematicians devoted their time to fill in details and provide expositions of Perelman's work to the mathematical community. A well known August 2006 article in the New Yorker written by Sylvia Nasar and David Gruber about the situation brought some professional disputes involving Yau to public attention. In the 1980s, Yau's colleague Yum Tong Siu accused Yau's Ph. D. student Gang Tian of plagiarizing some of his work. At the time, Yau defended Tian against Siu's accusations. In the 2000s, Yau began to amplify Siu's allegations, saying that he found Tian's dual position at Princeton University and Peking University to be highly unethical due to his high salary from Peking University compared to other professors and students who made more active contributions to the university. Science Magazine covered the broader phenomena of such positions in China, with Tian and Yau as central figures. Nasar and Gruber say that, having allegedly not done any notable work since the middle of the 1980s, Yau tried to regain prominence by claiming that Xi Ping Zhu and Yau's former student Huai Dong Cao had solved the Thurston and Poincaré conjectures, only partially based on some of Perelman's ideas. Nasar and Gruber quoted Yau as agreeing with the acting director of one of Yau's mathematical centers, who at a press conference assigned Cao and Zhu thirty percent of the credit for resolving the conjectures, with Perelman receiving only twenty five (with the rest going to Richard Hamilton). A few months later, a segment of NPR's All Things Considered covering the situation reviewed an audio recording of the press conference and found no such statement made by either Yau or the acting director. Yau claimed that Nasar and Gruber's article was defamatory and contained several falsehoods, and that they did not give him the opportunity to represent his own side of the disputes. He considered filing a lawsuit against the magazine, claiming professional damage, but says he decided that it wasn't sufficiently clear what such an action would achieve. He established a public relations website, with letters responding to the New Yorker article from several mathematicians, including himself and two others quoted in the article. In his autobiography, Yau said that his statements in 2006 such as that Cao and Zhu gave "the first complete and detailed account of the proof of the Poincaré conjecture" should have been phrased more carefully. Although he does believe Cao and Zhu's work to be the first and most rigorously detailed account of Perelman's work, he says he should have clarified that they had "not surpassed Perelman's work in any way." He has also maintained the view that (as of 2019) the final parts of Perelman's proof should be better understood by the mathematical community, with the corresponding possibility that there remain some unnoticed errors.

Математикаға техникалық үлес

Яу дифференциалдық геометрияға және оның математика мен ғылымның басқа салаларындағы қолданысына қатысты маңызды ғылыми еңбектер жасады. Зерттеулерімен қатар, Яу дифференциалдық геометриядағы шешілмеген мәселелердің ықпалды тізімін жасады, онда белгілі ескі болжамдар мен жаңа ұсыныстар, сондай-ақ проблемалар бар. Яудың 1980-ші жылдардағы ең көп сілтемеленген мәселелер тізімінің екеуі 2014 жылғы жағдай бойынша прогресс туралы түсіндірмелермен жаңартылды. Атап айтқанда, ең төменгі гипербеттердің болуы және олардың спектрлік геометриясы туралы болжамдар кеңінен танымал.

Калаби болжамы

1978 жылы Яу күрделі Монже-Ампер теңдеуін зерттеу арқылы, 1954 жылы Эудженио Калаби ұсынған Калаби болжамын шешті. Арнайы жағдай ретінде, бұл бірінші Черн класы оң емес кез келген жабық Kähler көптігінде Kähler-Einstein метрикасының бар екенін көрсетті. Яу әдісі Калаби, Юрген Мозер және Алексей Погореловтың квазилинейлік эллиптикалық дербес дифференциалдық теңдеулер және нақты Монже-Ампер теңдеуі үшін жасалған бұрынғы жұмыстарын күрделі Монже-Ампер теңдеуіне бейімдеді. Дифференциалдық геометрияда Яу теоремасы арнайы голономиясы бар жабық көптіктердің жалпы бар екенін дәлелдеуде маңызды рөл атқарады; Амброз-Сингер теоремасына сәйкес, кез келген жай ғана байланысқан жабық Kähler көптігінің голономия тобы арнайы унитарлық топқа кіруі керек. Доминик Джойс және Питер Кронхаймер басқа арнайы голономиялық топтармен компактты Риманн көптіктердің мысалдарын тапты, бірақ басқа топтар үшін Калаби болжамдарына ұқсас жалпы нәтижелер табылмады. Калаби болжамын компакт емес жағдайда түсіну толыққанды емес. Ганг Тянь мен Яу Яудың күрделі Монже-Ампер теңдеуін компакт емес жағдайға талдауын кеңейтті, онда кесу функцияларын және сәйкес интегралдық бағалауларды қолдану шексіздікке жақын белгілі бір бақыланатын геометрияның алдымен болжамын қажет етті. Бұл мәселені осындай асимптотикалық қасиеттері бар Kähler метрикаларының бар екендігі туралы сұраққа дейін тоғыстырды; олар белгілі бір тегіс квазипроективті күрделі сорттар үшін мұндай метрикаларды алды. Кейіннен олар өз жұмыстарын шар тәрізді сингулярлықтарға рұхсат ету үшін кеңейтті. Брайан Грин, Альфред Шапэр және Кумрун Вафамен бірге Яу, белгілі бір сюръективті голоморфтық карталардың тұрақты нүктелер жиынтығында Kähler метрикасының ансатын енгізді, оның Риччи қисықтығы шамамен нөлге тең. Олар Тиан-Яу барлық теоремасын қолданып, дәл Риччи жазық Kähler метрикасын құрастыра алды. Грин-Шапер-Вафа-Яу ансаты және оның табиғи жалпылануы, қазір жартылай жазық метрика ретінде белгілі, Kähler геометриясының көптеген мәселелерін зерттеуде маңызды роль атқарады.

In 1978, by studying the complex Monge–Ampère equation, Yau resolved the Calabi conjecture, which had been posed by Eugenio Calabi in 1954. As a special case, this showed that Kähler Einstein metrics exist on any closed Kähler manifold whose first Chern class is nonpositive. Yau's method adapted earlier work of Calabi, Jürgen Moser, and Aleksei Pogorelov, developed for quasilinear elliptic partial differential equations and the real Monge–Ampère equation, to the setting of the complex Monge–Ampère equation. In differential geometry, Yau's theorem is significant in proving the general existence of closed manifolds of special holonomy; any simply connected closed Kähler manifold which is Ricci flat must have its holonomy group contained in the special unitary group, according to the Ambrose–Singer theorem. Examples of compact Riemannian manifolds with other special holonomy groups have been found by Dominic Joyce and Peter Kronheimer, although no proposals for general existence results, analogous to Calabi's conjecture, have been successfully identified in the case of the other groups. The understanding of the Calabi conjecture in the noncompact setting is less definitive. Gang Tian and Yau extended Yau's analysis of the complex Monge−Ampère equation to the noncompact setting, where the use of cutoff functions and corresponding integral estimates necessitated the conditional assumption of certain controlled geometry near infinity. This reduces the problem to the question of existence of Kähler metrics with such asymptotic properties; they obtained such metrics for certain smooth quasi projective complex varieties. They later extended their work to allow orbifold singularities. With Brian Greene, Alfred Shapere, and Cumrun Vafa, Yau introduced an ansatz for a Kähler metric on the set of regular points of certain surjective holomorphic maps, with Ricci curvature approximately zero. They were able to apply the Tian−Yau existence theorem to construct a Kähler metric which is exactly Ricci flat. The Greene−Shapere−Vafa−Yau ansatz and its natural generalization, now known as a semi flat metric, has become important in several analyses of problems in Kähler geometry.

Омори-Яу максимум қағидаты

Дәстүрлі түрде, максимум принциптік техникасы тек тығыз кеңістіктерге ғана тікелей қолданылады, себебі максимумдардың болуы кепілдендіріледі. 1967 жылы Хидеки Омори секциялық қисықтықтары төменнен шектелген тығыз емес Римандық көпүрліліктеріне қолданылатын жаңа максимум принципін тапты. Шамамен максимумдардың бар екендігі анық; Омори сондай-ақ градиент және екінші туындылардың мәндері тиісті түрде бақыланатын жағдайда шамамен максимумдардың бар екендігін дәлелдеді. Яу Оморидің нәтижесін Риччи қисықтығының төменгі шегін ғана талап ету үшін ішінара кеңейтті; бұл нәтиже Омори-Яу максимум принципі деп аталады. Мұндай жалпыламалық Бохнер формуласында Риччи қисықтығының пайда болуына байланысты пайдалы, онда төменгі шек алгебралық түрлендірулерде де әдетте қолданылады. Принциптің өзін өте қарапайым түрде дәлелдеуден басқа, Шиу Юэн Ченг және Яу Омори-Яу максимум принципіндегі Риччи қисықтығы туралы болжамды белгілі бір бақыланатын геометриясы бар кесу функцияларының болуы туралы болжаммен алмастыруға болатынын көрсетті. Яу Омори-Яу принципін тікелей қолданып, күрделі талдаудың классикалық Шварц-Пик леммасын жалпылады. Ларс Ахлфорс және басқалар бұрын лемманы Риманн беттеріне қатысты жалпылаған болатын. Өзінің әдістерімен Яу толық Келер көпүрлілігінен (Риччи қисықтығының төменгі шегімен) жоғарыда теріс санмен шектелген голоморфты екі қиылысты қисықтығы бар Гермит көпүрлілігіне бейнелеуді қарастыра алды.

Дифференциалдық Харнак теңсіздіктері

Яудың Омори-Яу максимум принципін алғашқы қолданылуы екінші реттік эллиптік дербес дифференциалдық теңдеулердің градиенттік бағалауларын орнату болды. Лапласиан функция мен градиенттік мәндерге қатысты түрлі шарттарды қанағаттандыратын толық және тегіс Риманн көптүрлілігіндегі функция берілгенде, Яу градиенттің мөлшерін бақылау үшін әртүрлі күрделі құрама өрнектерге максимум принципін қолданды. Алгебралық түрлендірулер күрделі болғанымен, Яудың дәлелінің түсіндірмелік формасы керемет қарапайым. Калаби-Яу теоремасы сияқты, Дональдсон-Уленбек-Яу теоремасы да теориялық физикада қызығушылық тудырады.

Геометриялық ауытқулар проблемалары

1982 жылы Ли мен Яу енбеген жағдайда Виллмор болжамын шешті. Нақтырақ айтқанда, олар 3 сфераға жабық беттің тегіс суға батуын ескере отырып, егер бұл кіріктірілмесе, Виллмор энергиясы 8π-ден төмен болмайды. Бұл 2012 жылы Фернандо Маркес пен Андре Невес көрсеткен нәтижемен толықтырылды, онда 2 өлшемді тордың тегіс кіріктірілуінің баламалы жағдайында Виллмор энергиясы 2π²-ден төмен болмайды. Бұл нәтижелер Томас Виллмордің 1965 жылы тұжырымдаған Виллмор болжамын толықтырады. Олардың болжамдары мен қорытындылары өте ұқсас болғанымен, Ли-Яу және Маркес-Невес әдістері ерекшеленеді. Дегенмен, екеуі де құрылымдық тұрғыдан ұқсас минимакс схемаларын қолданады. Маркес пен Невес геометриялық өлшемдер теориясынан аудандық функционалдың Альмгрен-Питтс мини-макс теориясын жаңаша пайдаланды; ал Ли мен Яудың тәсілі олардың жаңа "конформдық инвариантына" негізделді, ол Дирихле энергиясына негізделген мини-макс шама. Олардың мақаласының негізгі бөлігі осы конформдық инвариантты басқа геометриялық шамалармен байланыстыруға арналған. Уильям Микс пен Яу Джесси Дуглас пен Чарльз Морридің бұрынғы жұмыстарында ашық қалған мәселелерді қарастырып, үш өлшемді көптүрліліктердегі минималды беттер туралы маңызды нәтижелер келтірді. Жазықтыққа дәлелдеудің кілттік мәні – төмен өлшемді Евклид кеңістіктеріндегі конустық емес және жазық емес тұрақты минималды гипербеттердің болмауы; Рихард Шоен, Леон Саймон және Яу осыған қарапайым дәлел келтірді. Олардың Симонс теңсіздігін ауданның екінші вариациясының формуласымен біріктіру әдісі әдебиетте көп рет қолданылды. Стандартты Бернштейн мәселесіндегі "шешілімдік" өлшем құбылыстарын ескере отырып, Шиу Юэн Ченг пен Яудың көрсетуінше, Лоренц аналогында өлшемдік шектеулер жоқ: көп өлшемді Минковский кеңістігіндегі кез келген кеңістіктік гипербет, егер ол Евклид кеңістігіндегі график болып табылып, орташа қисықтығы нөлге тең болса, жазық болуы керек. Олардың дәлелі бұрынғы дифференциалдық Харнак бағалауларын дәлелдеу үшін қолданған максимум принципі әдістерін пайдаланады. Кейіннен олар ұқсас әдістерді қолданып, аффиндік геометриядағы толық параболалық немесе эллиптикалық аффиндік гиперсфераларды жіктеудің жаңа дәлелін келтірді. Өзінің ерте мақалаларының бірінде Яу тұрақты орташа қисықтық шартын жоғары кодименсияға кеңейтті, онда бұл шартты нормальдық буып-түйеудің қимасы бойынша параллельдік ретінде немесе орташа қисықтықтың ұзындығының тұрақтылығы ретінде қарастыруға болады. Бұрынғы түсіндіру бойынша ол Риман кеңістігі формаларындағы екі өлшемді беттердің жағдайын толық сипаттады және екінші (әлсіз) түсіндіру бойынша ішінара нәтижелер тапты. Оның кейбір нәтижелерін Банг Йен Чен тәуелсіз түрде тапты. Филип Хартман мен Луи Ниренбергтің Евклид кеңістігінің ішкі жазық гипербеттері туралы бұрынғы жұмысын кеңейтіп, Ченг пен Яу тұрақты скалярлық қисықтығы бар кеңістік нысандарының гипербеттерін қарастырды. Олардың талдауындағы кілттік құрал Герман Вейлдің дифференциалдық сәйкестігінің кеңейтілуі болды, ол Вейлдің изометриялық кіріктіру мәселесін шешуде қолданылды. Субманифолдтық қатаңдық мәселелерінен тыс, Яу Юрген Мозердің Каччополли теңсіздіктерін дәлелдеу әдісін бейімдей алды, осылайша толық Риман көптүрліліктеріндегі функциялар үшін жаңа қатаңдық нәтижелерін дәлелдеді. Оның ең танымал нәтижесінің бірі – субгармоникалық функция оң және Lp интегралданатын болса, тұрақты болуы керек. Сол сияқты, толық Кэхлер көптүрлілігінде голоморфты функция тұрақты болмаса, Lp интегралдана алмайды.

In 1982, Li and Yau resolved the Willmore conjecture in the non embedded case. More precisely, they established that, given any smooth immersion of a closed surface in the 3 sphere which fails to be an embedding, the Willmore energy is bounded below by 8π. This is complemented by a 2012 result of Fernando Marques and André Neves, which says that in the alternative case of a smooth embedding of the 2 dimensional torus S^(1) × S^(1), the Willmore energy is bounded below by 2π2. Together, these results comprise the full Willmore conjecture, as originally formulated by Thomas Willmore in 1965. Although their assumptions and conclusions are quite similar, the methods of Li−Yau and Marques−Neves are distinct. Nonetheless, they both rely on structurally similar minimax schemes. Marques and Neves made novel use of the Almgren–Pitts min max theory of the area functional from geometric measure theory; Li and Yau's approach depended on their new "conformal invariant", which is a min max quantity based on the Dirichlet energy. The main work of their article is devoted to relating their conformal invariant to other geometric quantities. William Meeks and Yau produced some foundational results on minimal surfaces in three dimensional manifolds, revisiting points left open by older work of Jesse Douglas and Charles Morrey. The key point of the proof of planarity is the non existence of conical and non planar stable minimal hypersurfaces of Euclidean spaces of low dimension; this was given a simple proof by Richard Schoen, Leon Simon, and Yau. Their technique of combining the Simons inequality with the formula for second variation of area has subsequently been used many times in the literature. Given the "threshold" dimension phenomena in the standard Bernstein problem, it is a somewhat surprising fact, due to Shiu Yuen Cheng and Yau, that there is no dimensional restriction in the Lorentzian analogue: any spacelike hypersurface of multidimensional Minkowski space which is a graph over Euclidean space and has zero mean curvature must be a plane. Their proof makes use of the maximum principle techniques which they had previously used to prove differential Harnack estimates. Later they made use of similar techniques to give a new proof of the classification of complete parabolic or elliptic affine hyperspheres in affine geometry. In one of his earliest papers, Yau considered the extension of the constant mean curvature condition to higher codimension, where the condition can be interpreted either as the mean curvature being parallel as a section of the normal bundle, or as the constancy of the length of the mean curvature. Under the former interpretation, he fully characterized the case of two dimensional surfaces in Riemannian space forms, and found partial results under the (weaker) second interpretation. Some of his results were independently found by Bang Yen Chen. Extending Philip Hartman and Louis Nirenberg's earlier work on intrinsically flat hypersurfaces of Euclidean space, Cheng and Yau considered hypersurfaces of space forms which have constant scalar curvature. The key tool in their analysis was an extension of Hermann Weyl's differential identity used in the solution of the Weyl isometric embedding problem. Outside of the setting of submanifold rigidity problems, Yau was able to adapt Jürgen Moser's method of proving Caccioppoli inequalities, thereby proving new rigidity results for functions on complete Riemannian manifolds. A particularly famous result of his says that a subharmonic function cannot be both positive and Lp integrable unless it is constant. Similarly, on a complete Kähler manifold, a holomorphic function cannot be Lp integrable unless it is constant.

Минковский проблемасы мен Монже-Ампер теңдеуі

Классикалық дифференциалдық геометрияның Минковский проблемасын Гаусс қисықтығын беру проблемасы ретінде қарастыруға болады. 1950 жылдары Луи Ниренберг пен Алексей Погорелов екі өлшемді беттер үшін бұл проблеманы шешті, екі өлшемді домендер үшін Монже-Ампер теңдеуі бойынша жаңа жетістіктерді пайдаланды. 1970 жылдары Монже-Ампер теңдеуін жоғары өлшемдерде түсіну әлі де жетілмеген еді. 1976 жылы Шиу Юэн Ченг пен Яу Минковский проблемасын жалпы өлшемдерде үздіксіздік әдісі арқылы шешті, Монже-Ампер теңдеуінің теориясын емес, толыққанды геометриялық бағалауларды қолданды. Олар Минковский проблемасын шешу арқылы Монже-Ампер теңдеуін түсінуде де жетістікке қол жеткізді. Басты байқау – Монже-Ампер теңдеуінің шешімінің Лежандр түрлендіруінің графигінің Гаусс қисықтығы Монже-Ампер теңдеуінің "оң жағына" байланысты қарапайым формуламен анықталады. Осының нәтижесінде олар Дирихле проблемасының Монже-Ампер теңдеуі үшін жалпы шешімділігін дәлелдеуге мүмкіндік алды, бұл сол кезде екі өлшемді домендерден басқа ашық мәселе болып келді. Погорелов өзінің бастапқы идеяларының толыққанды нұсқасын жариялады, ал проблемаларды шешу еңбегі Ченг-Яу және Погорелов екеуіне де тиесілі деп есептеледі.

Айналы симметрия

Калаби-Яу көптігі – Риччи жазық болатын тығыз Кэлер көптігі; Яудың Калаби болжамын тексеруінің ерекше жағдайы ретінде мұндай көптіктердің бар екені белгілі. 1980-жылдардың соңында теориялық физиктер ұсынған айна симметриясы үш өлшемді күрделі Калаби-Яу көптіктерді белгілі бір сипаттамаларды бөлісетін жұптарға топтастыруға болады, мысалы, Эйлер және Ходж сандары. Осы болжамдық суреттің негізінде физиктер Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин және Линда Паркс төрт өлшемді күрделі проективті кеңістіктің жалпы квинтикалық гипербетіне кез келген белгіленген дәрежедегі рационалдық қисықтардың санын кодтайтын санама геометрия формуласын ұсынды. Бонг Лиан, Кефен Лю және Яу бұл формуланың дұрыс екеніне нақты дәлел келтірді. Бір жыл бұрын Александр Гивентал айна формулаларының дәлелін жариялаған; Лиан, Лю және Яудың айтуынша, оның дәлелінің егжей-тегжейі тек олардың жариялануларынан кейін ғана толыққан. Гивентал және Лиан-Лю-Яу еңбектері үш өлшемді Калаби-Яу көптіктерді жұптастырудың негізгі айна симметриясы болжамымен жасалған болжамды растайды. Алайда, олардың еңбектері логикалық тұрғыдан болжамның өзіне байланысты емес, сондықтан оның жарамдылығына тікелей әсер етпейді. Эндрю Стромингер мен Эрик Заслоумен бірге Яу айна симметриясының жүйелі түрде қалай түсінілуі және оның дұрыс екендігін дәлелдеуге болатыны туралы геометриялық суретті ұсынды. Олардың идеясы бойынша, күрделі өлшемді үштікке ие Калаби-Яу көптігіне арнайы Лагранж торилері жабылуы керек, олар Калаби-Яу құрылымының негізінде тұрған алты өлшемді Риманн көптігінің үш өлшемді минималды субкөптіктерінің белгілі бір түрлері. Айналы көптіктер осы болжамдық құрылым бойынша екі жапырақтан тұруымен сипатталады. Strominger-Yau-Zaslow (SYZ) ұсынысы 1996 жылдан бері әртүрлі жолдармен өзгертіліп, дамытылды. Оның тұжырымдамалық суреті айна симметриясын зерттеуге маңызды ықпал етті, ал оның әртүрлі аспектілерін зерттеу қазіргі уақытта белсенді сала болып табылады. Оны Максим Концевичтің гомологиялық айна симметриясы ұсынысымен салыстыруға болады. SYZ болжамының көзқарасы Калаби-Яу кеңістіктеріндегі геометриялық құбылыстарға қатысты, ал Концевич болжамы проблеманы таза алгебралық құрылымдар мен категориялар теориясымен айналысу үшін абстракттайды. Олардың нәтижелері оң емес қисықтығы бар метрикалық кеңістіктердегі изометриялық топтық әрекеттердің кеңірек контекстіне дейін кеңейтілді. Джефф Чигер мен Яу Риман коллекторындағы жылу ядросын зерттеді. Олар геодезиялық сфералардың тұрақты орташа қисықтығы бар Риманн метрикасының ерекше жағдайын анықтады, олардың жылу ядросының радиалдық симметриясымен сипатталатынын дәлелдеді. Айналымдық симметриялы метрикаға маманданған, олар экспоненциалдық картаны жылу ядросын жалпы Риманн коллекторындағы геодезиялық шарға трансплантациялау үшін қолданды. Симметриялық "үлгі" кеңістігі коллектордың Риччи қисықтығын бағалайды деген болжаммен, олар түзілген функцияның жылу теңдеуінің субшешімі екенін көрсететін тікелей есептеуді жүргізді. Нәтижесінде олар жалпы Риманн коллекторындағы оның Риччи қисықтығының төменгі шектеріне қатысты жылу ядросының төменгі бағасын алды. Риччидің теріс емес қисықтығының ерекше жағдайларында Питер Ли мен Яу градиенттік бағалауды Чейгер-Яу бағалауын күшейту және жақсарту үшін пайдалана алды. 1910 жылдары Герман Вейль жазықтықтың тегіс және шектелген ашық ішкі жиынында Дирихле шекаралық шарттарының жағдайында, өзіндік мәндердің аймақтағы аумақпен толықтай анықталатын асимптотикалық мінез-құлқына ие екенін көрсетті. Оның нәтижесі Вейль заңы деп аталады. 1960 жылы Джордж Поля Вейль заңының әр жеке өзіндік мәнге ғана емес, олардың асимптотикалық таралуына да бақылау жасайтынын болжады. Ли мен Яу Поляның болжамының әлсіретілген нұсқасын дәлелдеді, Вейль заңындағы өрнек бойынша өзіндік мәндердің орташасын бақылауға алды. 1980 жылы Ли мен Яу Лаплас-Белтрами өзіндік мәндері үшін бірқатар жаңа теңсіздіктерді анықтады, олардың барлығы ең жоғары принципке және Яу мен Ченг-Яу бес жыл бұрын ізашарлық жасаған дифференциалдық Харнак бағалауларына негізделген. Геометриялық деректерге негізделген төменгі шектердегі олардың нәтижесі өте танымал. Шамамен сол уақытта Михаил Громовтың изопериметриялық әдістерімен ұқсас теңсіздік алынды, бірақ оның нәтижесі Ли мен Яудан нашар. 1982 жылы Яу спектрлік геометрияда қызығушылық тудыратын он төрт проблеманы анықтады, соның ішінде жоғарыдағы Поля болжамы. Яудың өзіндік функциялардың деңгей жиынтығының мөлшерін сәйкес өзіндік мәнмен бақылау туралы болжамы Александр Логунов пен Евгения Малинникова шешті, олар 2017 жылғы Clay Research Award сыйлығының бір бөлігін осы еңбектері үшін алды.

A Calabi–Yau manifold is a compact Kähler manifold which is Ricci flat; as a special case of Yau's verification of the Calabi conjecture, such manifolds are known to exist. Mirror symmetry, which is a proposal developed by theoretical physicists dating from the late 1980s, postulates that Calabi−Yau manifolds of complex dimension three can be grouped into pairs which share certain characteristics, such as Euler and Hodge numbers. Based on this conjectural picture, the physicists Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green, and Linda Parkes proposed a formula of enumerative geometry which encodes the number of rational curves of any fixed degree in a general quintic hypersurface of four dimensional complex projective space. Bong Lian, Kefeng Liu, and Yau gave a rigorous proof that this formula holds. A year earlier, Alexander Givental had published a proof of the mirror formulas; according to Lian, Liu, and Yau, the details of his proof were only successfully filled in following their own publication. The works of Givental and of Lian−Liu−Yau confirm a prediction made by the more fundamental mirror symmetry conjecture of how three dimensional Calabi−Yau manifolds can be paired off. However, their works do not logically depend on the conjecture itself, and so have no immediate bearing on its validity. With Andrew Strominger and Eric Zaslow, Yau proposed a geometric picture of how mirror symmetry might be systematically understood and proved to be true. Their idea is that a Calabi−Yau manifold with complex dimension three should be foliated by special Lagrangian tori, which are certain types of three dimensional minimal submanifolds of the six dimensional Riemannian manifold underlying the Calabi−Yau structure. Mirror manifolds would then be characterized, in terms of this conjectural structure, by having dual foliations. The Strominger−Yau−Zaslow (SYZ) proposal has been modified and developed in various ways since 1996. The conceptual picture that it provides has had a significant influence in the study of mirror symmetry, and research on its various aspects is currently an active field. It can be contrasted with the alternative homological mirror symmetry proposal by Maxim Kontsevich. The viewpoint of the SYZ conjecture is on geometric phenomena in Calabi–Yau spaces, while Kontsevich's conjecture abstracts the problem to deal with purely algebraic structures and category theory. Their results have been extended to the broader context of isometric group actions on metric spaces of nonpositive curvature. Jeff Cheeger and Yau studied the heat kernel on a Riemannian manifold. They established the special case of Riemannian metrics for which geodesic spheres have constant mean curvature, which they proved to be characterized by radial symmetry of the heat kernel. Specializing to rotationally symmetric metrics, they used the exponential map to transplant the heat kernel to a geodesic ball on a general Riemannian manifold. Under the assumption that the symmetric "model" space under estimates the Ricci curvature of the manifold itself, they carried out a direct calculation showing that the resulting function is a subsolution of the heat equation. As a consequence, they obtained a lower estimate of the heat kernel on a general Riemannian manifold in terms of lower bounds on its Ricci curvature. In the special case of nonnegative Ricci curvature, Peter Li and Yau were able to use their gradient estimates to amplify and improve the Cheeger−Yau estimate. In the 1910s, Hermann Weyl showed that, in the case of Dirichlet boundary conditions on a smooth and bounded open subset of the plane, the eigenvalues have an asymptotic behavior which is dictated entirely by the area contained in the region. His result is known as Weyl's law. In 1960, George Pólya conjectured that the Weyl law actually gives control of each individual eigenvalue, and not only of their asymptotic distribution. Li and Yau proved a weakened version of Pólya's conjecture, obtaining control of the averages of the eigenvalues by the expression in the Weyl law. In 1980, Li and Yau identified a number of new inequalities for Laplace–Beltrami eigenvalues, all based on the maximum principle and the differential Harnack estimates as pioneered five years earlier by Yau and Cheng−Yau. Their result on lower bounds based on geometric data is particularly well known, Around the same time, a similar inequality was obtained by isoperimetric methods by Mikhael Gromov, although his result is weaker than Li and Yau's. In 1982, Yau identified fourteen problems of interest in spectral geometry, including the above Pólya conjecture. A particular conjecture of Yau's, on the control of the size of level sets of eigenfunctions by the value of the corresponding eigenvalue, was resolved by Alexander Logunov and Eugenia Malinnikova, who were awarded the 2017 Clay Research Award in part for their work.

Дискрет және есептеу геометриясы

Сянфен Гу мен Яу екі өлшемді көптүрліліктер арасындағы конформды бейнелеулердің сандық есептеуін (дискреттелген торлар түрінде берілген) қарастырды, сондай-ақ біркелкілік теоремасы болжағандай, біркелкілендіруші бейнелеулерді есептеуді зерттеді. 0-тұқымды беттер үшін бейнелеу конформды болу үшін міндетті түрде гармоникалық болуы керек, сондықтан Гу мен Яу дискреттелген Дирихле энергиясын тікелей азайту арқылы конформды бейнелеулерді есептей алады. Жоғары тұқымды жағдайларда біркелкілендіруші бейнелеулер олардың градиенттері арқылы есептеледі, бұл жабық және гармоникалық 1-формалардың Ходж теориясынан анықталады. Сондықтан, негізгі жұмыс классикалық теорияның сандық тұрғыдан тиімді дискреттеулерін анықтау болып табылады. Олардың әдісі шекарасы бар кез келген беттермен жұмыс істеуге жеткілікті икемді. Тони Чан, Пол Томпсон және Ялин Вангпен бірлесіп, Гу мен Яу өздерінің зерттеулерін екі ми бетін сәйкестендіру мәселесіне қолданды, бұл медициналық бейнелеуде маңызды мәселе болып табылады. Ең маңызды 0-тұқымды жағдайда конформды бейнелеулер Мёбиус тобының әрекетіне дейін ғана анықталған. Мидың орталық тегіл сияқты милық белгілердің сәйкессіздігін өлшейтін Дирихле энергиясын одан әрі оңтайландыру арқылы, олар осындай неврологиялық ерекшеліктермен анықталған бейнелеулерді алды. Графтар теориясы саласында Фан Чунг мен Яу Риман геометриясының ұғымдары мен нәтижелерінің аналогтарын кеңінен дамытты. Рональд Грэм мен Александр Григорьянмен бірлесіп алынған дифференциалдық Харнак теңсіздіктері, Соболев теңсіздіктері және жылу ядросын талдау нәтижелері кейіннен оның танымал "Спектрлік графтар теориясы" кітабының соңғы тарауларында оқулық түрінде жазылды. Кейін олар графтар үшін анықталған Грин функциясын енгізді, ол граф Лапласианының псевдо-инверсісіне тең. Олардың жұмысы кездейсоқ серуендердің соқтығысу уақытын және осыған байланысты мәселелерді зерттеуге табиғи түрде қолданылады. Олардың нәтижелері үшін жалпы графтық теориялық контексттерді табу мақсатында Чунг пен Яу графтың Риччи тегістігін анықтады.

Xianfeng Gu and Yau considered the numerical computation of conformal maps between two dimensional manifolds (presented as discretized meshes), and in particular the computation of uniformizing maps as predicted by the uniformization theorem. In the case of genus zero surfaces, a map is conformal if and only if it is harmonic, and so Gu and Yau are able to compute conformal maps by direct minimization of a discretized Dirichlet energy. In the case of higher genus, the uniformizing maps are computed from their gradients, as determined from the Hodge theory of closed and harmonic 1 forms. The main work is thus to identify numerically effective discretizations of the classical theory. Their approach is sufficiently flexible to deal with general surfaces with boundary. With Tony Chan, Paul Thompson, and Yalin Wang, Gu and Yau applied their work to the problem of matching two brain surfaces, which is an important issue in medical imaging. In the most relevant genus zero case, conformal maps are only well defined up to the action of the Möbius group. By further optimizing a Dirichlet type energy which measures the mismatch of brain landmarks such as the central sulcus, they obtained mappings which are well defined by such neurological features. In the field of graph theory, Fan Chung and Yau extensively developed analogues of notions and results from Riemannian geometry. These results on differential Harnack inequalities, Sobolev inequalities, and heat kernel analysis, found partly in collaboration with Ronald Graham and Alexander Grigor'yan, were later written into textbook form as the last few chapters of her well known book "Spectral Graph Theory". Later, they introduced a Green's function as defined for graphs, amounting to a pseudo inverse of the graph Laplacian. Their work is naturally applicable to the study of hitting times for random walks and related topics. In the interest of finding general graph theoretic contexts for their results, Chung and Yau introduced a notion of Ricci flatness of a graph.

Негізгі басылымдар

Зерттеу мақалалары. Яу бес жүзден астам мақаланың авторы. Ең көп сілтеме жасалғандардың арасында төмендегілері қарастырылды:

Шолу мақалалары және жинақталған еңбектердің жарияланымдары. Оқулықтар мен техникалық монографиялар. Көп оқылатын кітаптар.