Введение

Китайский математик

Шинг Тунг Яу (/j//aʊ/; родился 4 апреля 1949 года) — китайско-американский математик. Он является директором Центра математических наук Яу при Университете Цинхуа и профессором-эмеритом Гарвардского университета. До 2022 года он занимал должность профессора математики имени Уильяма Каспара Грастейна в Гарварде, после чего перешёл в Университет Цинхуа. Яу родился в Сватоу, провинция Гуандун, Китайская Республика, в юном возрасте переехал в Британский Гонконг, а затем в 1969 году — в Соединённые Штаты. В 1982 году он был удостоен медали Филдса за вклад в теорию частных дифференциальных уравнений, доказательство гипотезы Калаби, теорему о положительной энергии и уравнение Монжа-Ампера. Яу считается одним из ключевых разработчиков современной дифференциальной геометрии и геометрического анализа. Влияние его работ прослеживается также в математических и физических областях, таких как выпуклая геометрия, алгебраическая геометрия, энумеративная геометрия, зеркальная симметрия, общая теория относительности и теория струн, а также в прикладной математике, инженерии и численном анализе.

Биография

Яу родился в Шанту, провинция Гуандун, Китайская Республика, в 1949 году в семье хакка. Его родной город – уезд Цзяолин, Китай. Его мать, Юк Лам Лён, родом из района Мэйсянь, Китай; его отец, Чэнь Инцю 丘鎭英, был ученым Гоминьдана, специалистом в области философии, истории, литературы и экономики. Он был пятым из восьми детей. Во время коммунистического захвата материкового Китая, когда ему было всего несколько месяцев, его семья переехала в Британский Гонконг, где он был вынужден изучать кантонский язык, а также родной язык своих родителей – хакка. Он смог вернуться туда только в 1979 году по приглашению Хуа Луогэна, когда материковый Китай вступил в эпоху реформ и открытости. Сначала они жили в Юэньлуне, а затем переехали в Шатин в 1954 году. Они столкнулись с финансовыми трудностями из-за потери всего имущества, а его отец и вторая старшая сестра умерли, когда ему было тринадцать лет. Яу начал читать и ценить книги своего отца и стал более усердно учиться. После окончания средней школы Пуй Чин он изучал математику в Китайском университете Гонконга с 1966 по 1969 год, не получив степень из-за раннего окончания. Он оставил свои учебники младшему брату, Стифену Шин Туну Яу, который затем тоже решил изучать математику. Осенью 1969 года Яу поступил в докторантуру по математике в Калифорнийский университет в Беркли. Во время зимних каникул он прочитал первые выпуски журнала «Дифференциальная геометрия» и был глубоко вдохновлен работами Джона Милнора по геометрической теории групп. Впоследствии он сформулировал обобщение теоремы Прейсмана и развивал свои идеи дальше вместе с Блейном Лоусоном в течение следующего семестра. Благодаря этой работе он получил степень доктора философии в 1971 году под руководством Шиин Шен Чёрна. Год он провел в качестве научного сотрудника Института перспективных исследований в Принстоне, прежде чем в 1972 году присоединиться к Университету Стоуни-Брук в качестве ассистента профессора. В 1974 году он стал доцентом в Стэнфордском университете. В 1976 году он получил приглашенную должность в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе и женился на физике Ю Юнь Куо, с которой познакомился еще во время учебы в Беркли. В 1987 году он перешел в Гарвардский университет. В апреле 2022 года Яу вышел на пенсию из Гарварда, где стал профессором математики Уильяма Каспара Граустейна. О своем статусе во время получения Медали Филдса в 1982 году Яу заявил: «Я горжусь тем, что когда мне была присуждена Медаль Филдса по математике, у меня не было паспорта ни одной страны, и меня, безусловно, следует считать китайцем». Вместе с научным журналистом Стивом Надисом Яу написал научно-популярную книгу о многообразиях Калаби-Яу и теории струн, историю математического факультета Гарварда, обоснование строительства Кругового электронно-позитронного коллайдера в Китае, автобиографию и книгу о связи геометрии с физикой.

Академическая деятельность

Яу внес значительный вклад в развитие современной дифференциальной геометрии и геометрического анализа. Как сказал Уильям Терстон в 1981 году: редко удается наблюдать, как работа одного математика в течение короткого времени влияет на направление целых областей исследований. В области геометрии одним из наиболее заметных примеров такого явления за последнее десятилетие являются работы Шин Тун Яу. Его наиболее известные результаты включают решение (совместно с Шиу Юэнь Чэнь) краевой задачи для уравнения Монжа-Ампера, теорему о положительной массе в математическом анализе общей теории относительности (достигнутую совместно с Ричардом Шоуном), доказательство гипотезы Калаби, топологическую теорию минимальных поверхностей (совместно с Уильямом Миксом), теорему Дональдсона-Уленбека-Яу (совместно с Карен Уленбек), а также оценки градиента Чэнь-Яу и Ли-Яу для частных дифференциальных уравнений (совместно с Шиу Юэнь Чэнь и Питером Ли). Многие результаты Яу (в дополнение к результатам других) были включены в учебники, написанные совместно со Шоуном. Помимо своих исследований, Яу является основателем и директором нескольких математических институтов, в основном в Китае. Джон Коутс отметил, что «ни один другой математик нашего времени не смог сравниться» с успехом Яу в привлечении финансирования для математической деятельности в материковом Китае и Гонконге – в Университете Цинхуа, в Национальном Тайваньском Университете и в Санья. Совсем недавно, в 2014 году, Яу привлек средства для создания Центра математических наук и приложений (которым он является директором), Центра экологичных зданий и городов и Центра иммунологических исследований, все при Гарвардском университете. По примеру более ранней физической конференции, организованной Цун Дао Ли и Чэнь Нин Яном, Яу предложил Международный конгресс китайских математиков, который теперь проводится каждые три года. Первый конгресс состоялся в Морнингсайдском центре с 12 по 18 декабря 1998 года. Он является соорганизатором ежегодных конференций «Journal of Differential Geometry» и «Current Developments in Mathematics». Яу является главным редактором журналов «Journal of Differential Geometry», «Asian Journal of Mathematics» и «Advances in Theoretical and Mathematical Physics». По состоянию на 2021 год он руководил более чем семьюдесятью диссертационными работами. В течение следующих нескольких лет несколько математиков посвятили свое время уточнению деталей и представлению работы Перельмана математическому сообществу. Широко известная статья в журнале New Yorker за август 2006 года, написанная Сильвией Насар и Дэвидом Грубером, привлекла внимание общественности к некоторым профессиональным разногласиям, связанным с Яу. В 1980-х годах коллега Яу, Юм Тонг Сиу, обвинил докторанта Яу, Ган Тяня, в плагиате некоторых его работ. В то время Яу защищал Тяня от обвинений Сиу. В 2000-х годах Яу начал усиливать обвинения Сиу, заявив, что считает двойную должность Тяня в Принстонском и Пекинском университетах крайне неэтичной из-за его высокой зарплаты в Пекинском университете по сравнению с другими профессорами и студентами, которые вносили более значительный вклад в университет. Журнал Science Magazine осветил более широкое явление подобных должностей в Китае, с Тянем и Яу в качестве центральных фигур. Насар и Грубер утверждают, что, предположительно не проведя никаких значительных исследований с середины 1980-х годов, Яу попытался восстановить свою известность, заявив, что Си Пин Чжу и бывший студент Яу Хуай Донг Цао решили гипотезы Терстона и Пуанкаре, лишь частично основываясь на некоторых идеях Перельмана. Насар и Грубер цитируют Яу, соглашающегося с исполняющим обязанности директора одного из математических центров Яу, который на пресс-конференции приписал Цао и Чжу тридцать процентов заслуг в решении гипотез, а Перельману – только двадцать пять (остальное – Ричарду Гамильтону). Через несколько месяцев сегмент программы NPR «All Things Considered», освещавший ситуацию, проанализировал аудиозапись пресс-конференции и не обнаружил подобных заявлений ни от Яу, ни от исполняющего обязанности директора. Яу утверждал, что статья Насар и Грубера была клеветнической и содержала несколько неточностей, и что им не предоставили возможности изложить свою точку зрения на спор. Он рассматривал возможность подачи иска против журнала, требуя компенсации за профессиональный ущерб, но решил, что неясно, чего можно достичь таким образом. Он создал веб-сайт по связям с общественностью, на котором были опубликованы письма с ответами на статью в New Yorker от нескольких математиков, включая самого Яу и еще двух, процитированных в статье. В своей автобиографии Яу заявил, что его заявления в 2006 году, например, о том, что Цао и Чжу дали «первое полное и подробное изложение доказательства гипотезы Пуанкаре», следовало сформулировать более осторожно. Хотя он верит, что работа Цао и Чжу является первым и наиболее подробным изложением работы Перельмана, он считает, что следовало уточнить, что они «ни в коей мере не превзошли работу Перельмана». Он также придерживается мнения (по состоянию на 2019 год), что последние части доказательства Перельмана должны быть лучше поняты математическим сообществом, и существует вероятность, что там могут оставаться незамеченные ошибки.

Технический вклад в математику

Яу сделал ряд значительных научных вкладов, сосредоточенных на дифференциальной геометрии и её проявлениях в других областях математики и науки. Помимо своих исследований, Яу составил влиятельные списки нерешенных задач в дифференциальной геометрии, включающие как известные давние гипотезы с новыми предложениями, так и новые проблемы. Два наиболее часто цитируемых списка задач Яу, составленные в 1980-х годах, были обновлены с комментариями о достигнутом прогрессе на 2014 год. Особенно известны гипотеза о существовании минимальных гиперповерхностей и гипотеза о спектральной геометрии минимальных гиперповерхностей.

Гипотеза Калаби

В 1978 году, изучая сложное уравнение Монжа-Ампера, Яу решил гипотезу Калаби, сформулированную Эухенио Калаби в 1954 году. В качестве частного случая, это показало, что метрики кэлеровых эйнштейновых пространств существуют на любом замкнутом кэлеровом многообразии, чей первый класс Черна неположителен. Метод Яу адаптировал более ранние работы Калаби, Юргена Мозера и Алексея Погорелова, разработанные для квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных и вещественного уравнения Монжа-Ампера, к случаю комплексного уравнения Монжа-Ампера. В дифференциальной геометрии теорема Яу важна для доказательства общего существования замкнутых многообразий со специальной голономией; любое простосвязное замкнутое кэлерово многообразие, имеющее плоскую риччиеву кривизну, должно иметь голономическую группу, содержащуюся в специальной унитарной группе, согласно теореме Амброуза-Сингера. Доминик Джойс и Питер Кронхаймер нашли примеры компактных римановых многообразий с другими специальными голономическими группами, однако не было успешно идентифицировано предложений об общих результатах существования, аналогичных гипотезе Калаби, для других групп. Понимание гипотезы Калаби в некомпактном случае менее определенно. Ган Тянь и Яу расширили анализ Яу комплексного уравнения Монжа-Ампера на некомпактный случай, где использование отсекающих функций и соответствующих интегральных оценок потребовало условного предположения об определенной контролируемой геометрии вблизи бесконечности. Это сводит задачу к вопросу о существовании кэлеровых метрик с такими асимптотическими свойствами; они получили такие метрики для определенных гладких квазипроективных комплексных многообразий. Позднее они расширили свою работу, допустив орбитальные сингулярности. Вместе с Брайаном Грином, Альфредом Шапером и Камруном Вафой Яу предложили анзац для кэлеровой метрики на множестве регулярных точек некоторых сюръективных голоморфных отображений с риччиевой кривизной, приблизительно равной нулю. Им удалось применить теорему о существовании Тянь-Яу для построения кэлеровой метрики, которая точно имеет плоскую риччиеву кривизну. Анзац Грина-Шапера-Вафы-Яу и его естественное обобщение, теперь известное как полуплоская метрика, стало важным в ряде анализов задач в кэлеровой геометрии.

Принцип максимума Омори-Яу

Традиционно, метод принципа максимума применяется непосредственно только к компактным пространствам, поскольку в этом случае существование максимумов гарантировано. В 1967 году Хидеки Омори обнаружил новый принцип максимума, применимый к некомпактным римановым многообразиям, чьи сеченияльные кривизны ограничены снизу. Существование приближенных максимумов тривиально; Омори дополнительно доказал существование приближенных максимумов, при которых значения градиента и вторых производных находятся под подходящим контролем. Яу частично расширил результат Омори, потребовав лишь нижней границы для кривизны Риччи; этот результат известен как принцип максимума Омори — Яу. Такая общность полезна, поскольку кривизна Риччи появляется в формуле Бохнера, где нижняя граница также обычно используется в алгебраических преобразованиях. Помимо предоставления очень простого доказательства самого принципа, Шиу Юэнь Чэн и Яу смогли показать, что предположение о кривизне Риччи в принципе максимума Омори — Яу может быть заменено предположением о существовании функций отсечения с определенной контролируемой геометрией. Яу смог непосредственно применить принцип Омори — Яу для обобщения классической леммы Шварца — Пика из комплексного анализа. Ларс Ахлфорс и другие ранее обобщили эту лемму для поверхностей Римана. Используя свои методы, Яу смог рассмотреть случай отображения из полного многообразия Келера (с нижней границей для кривизны Риччи) в эрмитово многообразие с голоморфной бисекционной кривизной, ограниченной сверху отрицательным числом.

Дифференциальные неравенства Харнака

Оригинальное применение Яу принципа максимума Омори-Яу заключалось в получении оценок градиента для ряда эллиптических частных дифференциальных уравнений второго порядка. Для функции, заданной на полном и гладком римановом многообразии и удовлетворяющей различным условиям, связывающим лапласиан с функцией и значениями градиента, Яу применил принцип максимума к сложным составным выражениям для контроля величины градиента. Несмотря на сложность алгебраических преобразований, концептуальная схема доказательства Яу удивительно проста. Как и теорема Калаби-Яу, теорема Дональдсона-Уленбека-Яу представляет интерес для теоретической физики.

Геометрические вариационные задачи

В 1982 году Ли и Яу решили гипотезу Уиллмора в не-встроенном случае. Более точно, они установили, что для любого гладкого погружения замкнутой поверхности в 3-сферу, которое не является вложением, энергия Уиллмора ограничена снизу значением 8π. Это дополняется результатом 2012 года Фернандо Маркеса и Андре Невеса, согласно которому в альтернативном случае гладкого вложения 2-мерного тора S¹ × S¹, энергия Уиллмора ограничена снизу значением 2π². Вместе эти результаты составляют полную гипотезу Уиллмора, первоначально сформулированную Томасом Уиллмором в 1965 году. Хотя их предположения и заключения довольно схожи, методы Ли-Яу и Маркеса-Невеса различны. Тем не менее, оба подхода опираются на структурно аналогичные минимакс-схемы. Маркес и Невес внесли новый вклад, используя теорию min-max площади Альмгрена-Питтса из геометрической теории меры; подход Ли и Яу основывался на их новом "конформном инварианте", который является min-max величиной, основанной на энергии Дирихле. Основная часть их статьи посвящена установлению связи между их конформным инвариантом и другими геометрическими величинами. Уильям Микс и Яу получили фундаментальные результаты о минимальных поверхностях в трехмерных многообразиях, пересмотрев вопросы, оставленные открытыми в более ранних работах Джесси Дугласа и Чарльза Моррея. Ключевым моментом доказательства плоскостности является отсутствие конических и непланарных стабильных минимальных гиперповерхностей в евклидовых пространствах малой размерности; простое доказательство этого факта было дано Ричардом Шоеном, Леоном Саймоном и Яу. Их метод, сочетающий неравенство Саймонса с формулой для второй вариации площади, впоследствии многократно использовался в литературе. Учитывая феномен "пороговой" размерности в стандартной проблеме Бернштейна, несколько удивительным фактом, установленным Шиу Юэнем Чэном и Яу, является отсутствие размерных ограничений в лоренцевом аналоге: любая пространственноподобная гиперповерхность многомерного пространства Минковского, являющаяся графиком над евклидовым пространством и имеющая нулевую среднюю кривизну, должна быть плоскостью. Их доказательство использует методы максимального принципа, которые они ранее применяли для получения дифференциальных оценок Харнака. Позднее они использовали аналогичные методы для получения нового доказательства классификации полных параболических или эллиптических аффинных гиперсфер в аффинной геометрии. В одной из своих ранних работ Яу рассматривал обобщение условия постоянной средней кривизны на случай более высоких коразмерностей, где это условие можно интерпретировать либо как параллельность средней кривизны как сечения нормального расслоения, либо как постоянство длины средней кривизны. В рамках первой интерпретации он полностью охарактеризовал случай двухмерных поверхностей в римановых пространствах постоянной кривизны и получил частные результаты в рамках второй (более слабой) интерпретации. Некоторые из его результатов были независимо получены Бангом Йеном Ченом. Развивая более ранние работы Филиппа Хартмана и Луиса Ниренберга об внутренне плоских гиперповерхностях евклидова пространства, Чэн и Яу рассматривали гиперповерхности пространств постоянной кривизны, имеющие постоянную скалярную кривизну. Ключевым инструментом в их анализе стало обобщение дифференциального тождества Германа Вейля, использованного при решении проблемы изометрического вложения Вейля. Помимо задач, связанных с жесткостью подмногообразий, Яу смог адаптировать метод Юргена Мозера для доказательства неравенств Каччополли, тем самым получив новые результаты жесткости для функций на полных римановых многообразиях. Особенно известным результатом является утверждение о том, что субармоническая функция не может быть одновременно положительной и Lp-интегрируемой, если она не является постоянной. Аналогично, на полном комплексном многообразии Келера голоморфная функция не может быть Lp-интегрируемой, если она не является постоянной.

Проблема Минковского и уравнение Монже-Ампера

Проблема Минковского классической дифференциальной геометрии может рассматриваться как задача о задании гауссовой кривизны. В 1950-х годах Луи Ниренберг и Алексей Погорелов решили эту проблему для двухмерных поверхностей, используя недавние достижения в теории уравнения Монжа-Ампера для двухмерных областей. К 1970-м годам понимание уравнения Монжа-Ампера в более высоких размерностях все еще оставалось недостаточным. В 1976 году Шиу Юэнь Чэнь и Яу решили проблему Минковского в общем случае, используя метод непрерывности и опираясь на исключительно геометрические оценки, а не на теорию уравнения Монжа-Ампера. Как следствие решения проблемы Минковского, Чэнь и Яу добились прогресса в понимании уравнения Монжа-Ампера. Ключевым наблюдением стало то, что преобразование Лежандра решения уравнения Монжа-Ампера имеет гауссову кривизну своего графика, задаваемую простой формулой, зависящей от "правой части" уравнения Монжа-Ампера. Благодаря этому им удалось доказать общую разрешимость задачи Дирихле для уравнения Монжа-Ампера, которая в то время оставалась важной нерешенной проблемой, за исключением случая двухмерных областей. Погорелов также опубликовал более детальную версию своих первоначальных идей, и решение этих проблем обычно приписывается как Чэню и Яу, так и Погорелову.

Зеркальная симметрия

Многообразие Калаби–Яу — это компактное многообразие Кэлера, которое является плоским Риччи; как особый случай проверки Яу гипотезы Калаби, такие многообразия, как известно, существуют. Зеркальная симметрия, предложенная физиками-теоретиками в конце 1980-х годов, постулирует, что многообразия Калаби–Яу комплексного измерения три можно сгруппировать в пары, обладающие определенными характеристиками, такими как числа Эйлера и числа Ходжа. Основываясь на этой гипотетической картине, физики Филипп Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс предложили формулу энумеративной геометрии, кодирующую число рациональных кривых любой фиксированной степени на общей квинтичной гиперповерхности четырехмерного комплексного проективного пространства. Бонг Лиан, Кефен Лю и Яу дали строгое доказательство справедливости этой формулы. За год до этого Александр Гивентал опубликовал доказательство зеркальных формул; по словам Лиана, Лю и Яу, детали его доказательства были успешно дополнены лишь после их собственной публикации. Работы Гивентала и Лиан–Лю–Яу подтверждают предсказание, сделанное более фундаментальной гипотезой зеркальной симметрии относительно того, как трехмерные многообразия Калаби–Яу могут быть сопоставлены в пары. Однако их работы не зависят от самой гипотезы и, следовательно, не имеют непосредственного отношения к ее обоснованности. Вместе с Эндрю Стромингером и Эриком Заслоу Яу предложили геометрическую картину того, как зеркальную симметрию можно систематически понять и доказать. Их идея заключается в том, что многообразие Калаби–Яу комплексного измерения три должно быть расслоено специальными лагранжевыми торами — определенными типами трехмерных минимальных подмногообразий шестимерного риманова многообразия, лежащего в основе структуры Калаби–Яу. Зеркальные многообразия, с точки зрения этой гипотетической структуры, характеризуются двойными расслоениями. Предложение Стромингера–Яу–Заслоу (SYZ) с 1996 года неоднократно модифицировалось и развивалось. Концептуальная картина, которую оно предоставляет, оказала значительное влияние на изучение зеркальной симметрии, и исследования в различных ее аспектах в настоящее время являются активной областью. Его можно противопоставить альтернативному предложению гомологической зеркальной симметрии Максима Концевича. Точка зрения гипотезы SYZ сосредоточена на геометрических явлениях в пространствах Калаби–Яу, в то время как гипотеза Концевича абстрагирует проблему, чтобы иметь дело с чисто алгебраическими структурами и теорией категорий. Их результаты были расширены на более широкий контекст действий изометрических групп на метрических пространствах неотрицательной кривизны. Джефф Чигер и Яу изучали тепловое ядро на римановом многообразии. Они установили частный случай римановой метрики, для которой геодезические сферы имеют постоянную среднюю кривизну, что, как они доказали, характеризуется радиальной симметрией теплового ядра. Специализируясь на вращательно симметричных метриках, они использовали экспоненциальное отображение для переноса теплового ядра в геодезический шар на общем римановом многообразии. При условии, что симметричное "модельное" пространство недооценивает кривизну Риччи самого многообразия, они провели прямое вычисление, показывающее, что полученная функция является подрешением уравнения теплопроводности. Как следствие, они получили нижнюю оценку теплового ядра на общем римановом многообразии с точки зрения нижних границ его кривизны Риччи. В частном случае неотрицательной кривизны Риччи Питер Ли и Яу смогли использовать свои оценки градиента для усиления и улучшения оценки Чигера–Яу. В 1910-х годах Герман Вейль показал, что в случае граничных условий Дирихле на гладком и ограниченном открытом подмножестве плоскости собственные значения имеют асимптотическое поведение, которое полностью определяется площадью, содержащейся в области. Его результат известен как закон Вейля. В 1960 году Джордж Пойя предположил, что закон Вейля фактически обеспечивает контроль над каждым отдельным собственным значением, а не только над их асимптотическим распределением. Ли и Яу доказали ослабленную версию гипотезы Пойи, получив контроль над средними значениями собственных значений посредством выражения в законе Вейля. В 1980 году Ли и Яу выявили ряд новых неравенств для собственных значений Лапласа–Бельтрами, все основанные на принципе максимума и дифференциальных оценках Гарнака, впервые разработанных Яу и Чен–Яу пятью годами ранее. Их результат о нижних границах, основанный на геометрических данных, особенно хорошо известен. Примерно в то же время аналогичное неравенство было получено Михаилом Громовым с использованием изопериметрических методов, хотя его результат слабее, чем у Ли и Яу. В 1982 году Яу определил четырнадцать проблем, представляющих интерес в спектральной геометрии, включая вышеупомянутую гипотезу Пойи. В частности, гипотеза Яу о контроле размера уровней собственных функций значением соответствующего собственного значения была разрешена Александром Логуновым и Евгенией Малинниковой, которые были удостоены премии Clay Research Award 2017 года, в том числе за их работу.

Дискретная и вычислительная геометрия

Сянфэн Гу и Яу рассмотрели численное вычисление конформных отображений между двумерными многообразиями (представленными в виде дискретизированных сеток), и в частности, вычисление униформизирующих отображений, как предсказывается теоремой об униформизации. В случае поверхностей нулевого рода отображение является конформным тогда и только тогда, когда оно гармонично, и поэтому Гу и Яу могут вычислять конформные отображения путем непосредственной минимизации дискретной энергии Дирихле. В случае поверхностей более высокого рода униформизирующие отображения вычисляются на основе их градиентов, определяемых из теории Ходжа о замкнутых и гармонических 1-формах. Основная задача состоит в определении численно эффективных дискретизаций классической теории. Их подход достаточно гибок для работы с общими поверхностями с границей. Вместе с Тони Чаном, Полом Томпсоном и Ялинь Ван, Гу и Яу применили свою работу к проблеме сопоставления двух поверхностей мозга, что является важной задачей в медицинской визуализации. В наиболее важном случае нулевого рода конформные отображения определены лишь с точностью до действия группы Мёбиуса. Дальнейшая оптимизация энергии типа Дирихле, измеряющей рассогласование ориентиров мозга, таких как центральная борозда, позволила получить отображения, однозначно определяемые такими неврологическими особенностями. В области теории графов Фан Чунг и Яу широко разработали аналоги понятий и результатов из римановой геометрии. Эти результаты по дифференциальным неравенствам Харнака, неравенствам Соболева и анализу теплового ядра, частично полученные в сотрудничестве с Рональдом Грэмом и Александром Григоряном, позднее были изложены в виде учебника в последних главах ее известной книги "Спектральная теория графов". Позднее они ввели функцию Грина, определенную для графов, что эквивалентно псевдообратной матрице Лапласа графа. Их работа естественно применима к изучению времени первого посещения для случайных блужданий и связанных с ними задач. В стремлении найти общие графотеоретические контексты для своих результатов, Чунг и Яу ввели понятие плоскости Риччи графа.

Основные публикации

Исследовательские статьи. Яу — автор более пятисот статей. Среди наиболее цитируемых, рассмотренных выше, следующие:

Обзорные статьи и публикации сборников трудов. Учебники и технические монографии. Популярные книги.