Кіріспе
Квадраттық теңдеулерді шешу әдісі
In elementary algebra, completing the square is a technique for converting a quadratic polynomial of the form
to the form
for some values of h and k.
In other words, completing the square places a perfect square trinomial inside of a quadratic expression. Completing the square is used in
solving quadratic equations,
deriving the quadratic formula,
graphing quadratic functions,
evaluating integrals in calculus, such as Gaussian integrals with a linear term in the exponent,
finding Laplace transforms. In mathematics, completing the square is often applied in any computation involving quadratic polynomials.
Элементарлық алгебрада толық квадратқа келтіру – бұл h және k сандарының белгілі бір мәндері үшін келесі формадағы квадраттық көпжүйені келесі формаға түрлендіру тәсілі:
In elementary algebra, completing the square is a technique for converting a quadratic polynomial of the form
to the form
for some values of h and k.
In other words, completing the square places a perfect square trinomial inside of a quadratic expression. Completing the square is used in
solving quadratic equations,
deriving the quadratic formula,
graphing quadratic functions,
evaluating integrals in calculus, such as Gaussian integrals with a linear term in the exponent,
finding Laplace transforms. In mathematics, completing the square is often applied in any computation involving quadratic polynomials.
Басқаша айтқанда, толық квадратқа келтіру квадраттық өрнектің ішінде толық квадраттық үшмүшені орналастырады. Толық квадратқа келтіру мыналарда қолданылады:
квадраттық теңдеулерді шешуде,
квадраттық формулаларды шығаруда,
квадраттық функциялардың графиктерін салуда,
интегралдарды есептеуде, мысалы, көрсеткіште сызықтық мүшесі бар Гаусс интегралдары,
Лаплас түрлендірулерін табуда. Математикада толық квадратқа келтіру квадраттық көпжүйелерді қамтитын кез келген есептеулерде жиі қолданылады.
In elementary algebra, completing the square is a technique for converting a quadratic polynomial of the form
to the form
for some values of h and k.
In other words, completing the square places a perfect square trinomial inside of a quadratic expression. Completing the square is used in
solving quadratic equations,
deriving the quadratic formula,
graphing quadratic functions,
evaluating integrals in calculus, such as Gaussian integrals with a linear term in the exponent,
finding Laplace transforms. In mathematics, completing the square is often applied in any computation involving quadratic polynomials.
Тарих
Квадратты толықтыру әдісі ежелгі Вавилон империясында белгілі болған. Алғашқы алгебралық еңбегі "Әл-Жабр" деп аталатын, белгілі ғалым Мұхаммед ибн Мұса Әл-Хорезми квадраттық теңдеулерді шешу үшін квадратты толықтыру әдісін қолданды.
Графикке қатынасы
Аналитикалық геометрияда кез келген квадраттық функцияның графигі xy жазықтығындағы парабола болып табылады. Егер квадратық көпмүше мынадай түрде берілген болса:
h және k сандары параболаның төбесінің (немесе тұрақты нүктесінің) Картезиандық координаттары ретінде қарастырылуы мүмкін. Яғни, h – симметрия осінің x координатасы (симметрия осінің x = h теңдеуі бар), ал k – квадраттық функцияның ең кіші мәні (немесе егер a < 0 болса, ең үлкен мәні). Мұны мыналай көруге болады: f(x) = x² функциясының графигі төбесі координаталары (0, 0) болатын парабола. Сондықтан, f(x – h) = (x – h)² функциясының графигі h бірлікке оңға жылжытылған, төбесі (h, 0) координаталарында болатын парабола болып табылады, бұл жоғарғы суретте көрсетілген. Керісінше, f(x) + k = x² + k функциясының графигі k бірлікке жоғары жылжытылған, төбесі (0, k) координаталарында болатын парабола, бұл ортаңғы суретте көрсетілген. Көлденең және тік жылжуларды біріктіргенде, f(x – h) + k = (x – h)² + k параболасы h бірлікке оңға және k бірлікке жоғары жылжытылады, төбесі (h, k) координаталарында болады, бұл төменгі суретте көрсетілген.
Моник емес кейс
Моник емес квадраттық теңдеуді шешу үшін алғашқы қадам – x² коэффициентіне бөлу. Мысалы:
Бұл процедураны квадраттық теңдеудің жалпы түріне қолдану квадраттық формулаға алып келеді.