Введение
Метод решения квадратных уравнений
In elementary algebra, completing the square is a technique for converting a quadratic polynomial of the form
to the form
for some values of h and k.
In other words, completing the square places a perfect square trinomial inside of a quadratic expression. Completing the square is used in
solving quadratic equations,
deriving the quadratic formula,
graphing quadratic functions,
evaluating integrals in calculus, such as Gaussian integrals with a linear term in the exponent,
finding Laplace transforms. In mathematics, completing the square is often applied in any computation involving quadratic polynomials.
В элементарной алгебре выделение полного квадрата — это техника приведения квадратного многочлена вида
In elementary algebra, completing the square is a technique for converting a quadratic polynomial of the form
to the form
for some values of h and k.
In other words, completing the square places a perfect square trinomial inside of a quadratic expression. Completing the square is used in
solving quadratic equations,
deriving the quadratic formula,
graphing quadratic functions,
evaluating integrals in calculus, such as Gaussian integrals with a linear term in the exponent,
finding Laplace transforms. In mathematics, completing the square is often applied in any computation involving quadratic polynomials.
к виду
In elementary algebra, completing the square is a technique for converting a quadratic polynomial of the form
to the form
for some values of h and k.
In other words, completing the square places a perfect square trinomial inside of a quadratic expression. Completing the square is used in
solving quadratic equations,
deriving the quadratic formula,
graphing quadratic functions,
evaluating integrals in calculus, such as Gaussian integrals with a linear term in the exponent,
finding Laplace transforms. In mathematics, completing the square is often applied in any computation involving quadratic polynomials.
для некоторых значений h и k.
In elementary algebra, completing the square is a technique for converting a quadratic polynomial of the form
to the form
for some values of h and k.
In other words, completing the square places a perfect square trinomial inside of a quadratic expression. Completing the square is used in
solving quadratic equations,
deriving the quadratic formula,
graphing quadratic functions,
evaluating integrals in calculus, such as Gaussian integrals with a linear term in the exponent,
finding Laplace transforms. In mathematics, completing the square is often applied in any computation involving quadratic polynomials.
Другими словами, выделение полного квадрата позволяет представить квадратное выражение в виде суммы полного квадрата и некоторой константы. Выделение полного квадрата используется при:
In elementary algebra, completing the square is a technique for converting a quadratic polynomial of the form
to the form
for some values of h and k.
In other words, completing the square places a perfect square trinomial inside of a quadratic expression. Completing the square is used in
solving quadratic equations,
deriving the quadratic formula,
graphing quadratic functions,
evaluating integrals in calculus, such as Gaussian integrals with a linear term in the exponent,
finding Laplace transforms. In mathematics, completing the square is often applied in any computation involving quadratic polynomials.
решении квадратных уравнений,
выводе формулы для корней квадратного уравнения,
построении графиков квадратичных функций,
вычислении интегралов в математическом анализе, например, гауссовых интегралов с линейным членом в показателе степени,
нахождении преобразований Лапласа. В математике выделение полного квадрата часто применяется в любых вычислениях, связанных с квадратными многочленами.
In elementary algebra, completing the square is a technique for converting a quadratic polynomial of the form
to the form
for some values of h and k.
In other words, completing the square places a perfect square trinomial inside of a quadratic expression. Completing the square is used in
solving quadratic equations,
deriving the quadratic formula,
graphing quadratic functions,
evaluating integrals in calculus, such as Gaussian integrals with a linear term in the exponent,
finding Laplace transforms. In mathematics, completing the square is often applied in any computation involving quadratic polynomials.
История
Техника выделения полного квадрата была известна в Древней Вавилонской империи. Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми, знаменитый ученый-эрудит, автор раннего алгебраического трактата «Аль-Джабр», использовал технику выделения полного квадрата для решения квадратных уравнений.
Отношение к графику
В аналитической геометрии график любой квадратичной функции представляет собой параболу в плоскости xy. Для квадратичного многочлена вида
числа h и k можно интерпретировать как декартовы координаты вершины (или стационарной точки) параболы. То есть, h – это x-координата оси симметрии (т. е. ось симметрии имеет уравнение x = h), а k – минимальное значение (или максимальное значение, если a < 0) квадратичной функции. Один из способов увидеть это – заметить, что график функции f(x) = x² является параболой, вершина которой находится в начале координат (0, 0). Следовательно, график функции f(x – h) = (x – h)² представляет собой параболу, сдвинутую вправо на h, вершина которой находится в точке (h, 0), как показано на верхнем рисунке. В отличие от этого, график функции f(x) + k = x² + k представляет собой параболу, сдвинутую вверх на k, вершина которой находится в точке (0, k), как показано на центральном рисунке. Комбинируя как горизонтальные, так и вертикальные сдвиги, получаем f(x – h) + k = (x – h)² + k – параболу, сдвинутую вправо на h и вверх на k, вершина которой находится в точке (h, k), как показано на нижнем рисунке.
Немоник
Для уравнения, содержащего немоничный квадратный трехчлен, первым шагом к его решению является деление обеих частей уравнения на коэффициент при x². Например:
Применение этой процедуры к общему виду квадратного уравнения приводит к формуле корней квадратного уравнения.