Кіріспе
Математикалық теорема
Математикада, әсіресе функционалдық талдауда, Мерсер теоремасы – квадраттағы симметриялық, оң анықталған функцияны өнім функцияларының жинақты тізбегінің қосындысы ретінде көрсетеді. Бұл теорема, Джеймс Мерсердің (1883–1932) еңбегінде ұсынылған, оның ең маңызды нәтижелерінің бірі болып табылады. Бұл интегралдық теңдеулер теориясындағы маңызды теориялық құрал; ол, мысалы, Кархунен-Лоев теоремасындағы, кездейсоқ процестердің Гильберт кеңістігі теориясында қолданылады; сондай-ақ, симметриялық, оң анықталған ядроны қайта жасайтын ядро ретінде сипаттайтын ядролық Гильберт кеңістігі теориясында қолданылады.
In mathematics, specifically functional analysis, Mercer's theorem is a representation of a symmetric positive definite function on a square as a sum of a convergent sequence of product functions. This theorem, presented in , is one of the most notable results of the work of James Mercer (1883–1932). It is an important theoretical tool in the theory of integral equations; it is used in the Hilbert space theory of stochastic processes, for example the Karhunen–Loève theorem; and it is also used in the reproducing kernel Hilbert space theory where it characterizes a symmetric positive definite kernel as a reproducing kernel.
Кіріспе
Мерсер теоремасын түсіндіру үшін алдымен маңызды ерекше жағдайды қарастырамыз; одан да жалпы тұжырымдама үшін төмендегіге қараңыз. Бұл контексте ядро – симметриялық үздіксіз функция, мұнда симметриялық дегеніміз, барлық үшін . Ядро оң анықталған деп аталады, егер және тек егер, [a, b] аралығындағы x1, …, xn нүктелерінің кез келген шекті тізбегі және c1, …, cn нақты сандарының кез келген таңдауы үшін . "Оң анықталған" термині анықтамадағы әлсіз теңсіздікке қарамастан, әдебиетте жақсы орныққан. K-ге функциялар бойынша сызықтық оператор (нақтырақ айтқанда, Хилберт-Шмидт интегралдық оператор) интегралмен анықталады. Техникалық қарастырулар үшін, L2[a, b] (Lp кеңістігін қараңыз) кеңістігінде квадраттық интегралданатын нақты мәнді функциялар арқылы өте алады деп есептейміз. TK сызықтық оператор болғандықтан, TK-ның өзіндік мәндері мен өзіндік функциялары туралы сөйлесе аламыз. Теорема. Егер K үздіксіз симметриялық оң анықталған ядро болса, онда L2[a, b]-нің ортонормалды негізі {ei}i болады, ол TK-ның өзіндік функцияларынан тұрады, сондықтан сәйкес өзіндік мәндер тізбегі {λi}i теріс емес. Нөлдік емес өзіндік мәндерге сәйкес келетін өзіндік функциялар [a, b] аралығында үздіксіз болады және K мынадай түрде көрсетіледі:
where symmetric means that for all
K is said to be a positive definite kernel if and only if
for all finite sequences of points x1, , xn of [a, b] and all choices of real numbers c1, , cn. Note that the term "positive definite" is well established in literature despite the weak inequality in the definition. Associated to K is a linear operator (more specifically a Hilbert–Schmidt integral operator) on functions defined by the integral
For technical considerations we assume can range through the space
L2[a, b] (see Lp space) of square integrable real valued functions. Since TK is a linear operator, we can talk about eigenvalues and eigenfunctions of TK. Theorem. Suppose K is a continuous symmetric positive definite kernel. Then there is an orthonormal basis
{ei}i of L2[a, b] consisting of eigenfunctions of TK such that the corresponding
sequence of eigenvalues {λi}i is nonnegative. The eigenfunctions corresponding to non zero eigenvalues are continuous on [a, b] and K has the representation
where the convergence is absolute and uniform.
мұнда жинақылық абсолютті және біркелкі.
where symmetric means that for all
K is said to be a positive definite kernel if and only if
for all finite sequences of points x1, , xn of [a, b] and all choices of real numbers c1, , cn. Note that the term "positive definite" is well established in literature despite the weak inequality in the definition. Associated to K is a linear operator (more specifically a Hilbert–Schmidt integral operator) on functions defined by the integral
For technical considerations we assume can range through the space
L2[a, b] (see Lp space) of square integrable real valued functions. Since TK is a linear operator, we can talk about eigenvalues and eigenfunctions of TK. Theorem. Suppose K is a continuous symmetric positive definite kernel. Then there is an orthonormal basis
{ei}i of L2[a, b] consisting of eigenfunctions of TK such that the corresponding
sequence of eigenvalues {λi}i is nonnegative. The eigenfunctions corresponding to non zero eigenvalues are continuous on [a, b] and K has the representation
where the convergence is absolute and uniform.
Дискретті аналог
Бұл оң жартылай белгілі матрицаның анықтамасына ұқсас. Бұл – өлшемі матрица, ол кез келген векторлар үшін келесі қасиетті қанағаттандырады: .
.