Введение
Математическая теорема
В математике, в частности в функциональном анализе, теорема Мерсера представляет собой представление симметричной положительно определенной функции на квадрате в виде суммы сходящейся последовательности функций произведения. Эта теорема, представленная в , является одним из наиболее значимых результатов работы Джеймса Мерсера (1883–1932). Она является важным теоретическим инструментом в теории интегральных уравнений; используется в теории гильбертовых пространств стохастических процессов, например, в теореме Кархунена — Лоева; и также применяется в теории гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром, где она характеризует симметричное положительно определенное ядро как воспроизводящее ядро.
In mathematics, specifically functional analysis, Mercer's theorem is a representation of a symmetric positive definite function on a square as a sum of a convergent sequence of product functions. This theorem, presented in , is one of the most notable results of the work of James Mercer (1883–1932). It is an important theoretical tool in the theory of integral equations; it is used in the Hilbert space theory of stochastic processes, for example the Karhunen–Loève theorem; and it is also used in the reproducing kernel Hilbert space theory where it characterizes a symmetric positive definite kernel as a reproducing kernel.
Введение
Чтобы объяснить теорему Мерсера, мы сначала рассмотрим важный частный случай; более общая формулировка приведена ниже. Ядро, в данном контексте, — это симметричная непрерывная функция, где симметричность означает, что для всех K называется положительно определенным ядром, если и только если для всех конечных последовательностей точек x₁, …, xₙ из [a, b] и всех выборов действительных чисел c₁, …, cₙ. Следует отметить, что термин «положительно определенный» прочно укоренился в литературе, несмотря на использование неравенства в определении. С ядром K связан линейный оператор (точнее, интегральный оператор Гильберта — Шмидта), действующий на функции и определяемый интегралом. В целях технического анализа предположим, что область определения может охватывать пространство L₂[a, b] (см. Lp-пространство) квадратично интегрируемых функций, принимающих действительные значения. Поскольку Tₖ является линейным оператором, мы можем говорить о собственных значениях и собственных функциях Tₖ. Теорема. Пусть K — непрерывная симметричная положительно определенная функция ядра. Тогда существует ортонормальный базис {eᵢ}ᵢ в L₂[a, b], состоящий из собственных функций Tₖ, такой что соответствующая последовательность собственных значений {λᵢ}ᵢ неотрицательна. Собственные функции, соответствующие ненулевым собственным значениям, непрерывны на [a, b], и K имеет следующее представление: где сходимость абсолютная и равномерная.
where symmetric means that for all
K is said to be a positive definite kernel if and only if
for all finite sequences of points x1, , xn of [a, b] and all choices of real numbers c1, , cn. Note that the term "positive definite" is well established in literature despite the weak inequality in the definition. Associated to K is a linear operator (more specifically a Hilbert–Schmidt integral operator) on functions defined by the integral
For technical considerations we assume can range through the space
L2[a, b] (see Lp space) of square integrable real valued functions. Since TK is a linear operator, we can talk about eigenvalues and eigenfunctions of TK. Theorem. Suppose K is a continuous symmetric positive definite kernel. Then there is an orthonormal basis
{ei}i of L2[a, b] consisting of eigenfunctions of TK such that the corresponding
sequence of eigenvalues {λi}i is nonnegative. The eigenfunctions corresponding to non zero eigenvalues are continuous on [a, b] and K has the representation
where the convergence is absolute and uniform.
Дискретный аналог
Это аналогично определению положительно полуопределённой матрицы. Это матрица размерности , которая удовлетворяет, для всех векторов , свойству .
.