Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Астрофизикалық денелер үшін Лэйн-Эмден қысым-тығыздық теңдеуінің шешімі
Solution of the Lane Emden pressure density equation for astrophysical bodies
Астрофизикада политроп – бұл Лэйн-Эмден теңдеуінің шешімі, онда қысым тығыздыққа келесі формула бойынша байланысты болады:
In astrophysics, a polytrope refers to a solution of the Lane–Emden equation in which the pressure depends upon the density in the form
мұнда P – қысым, ρ – тығыздық және K – пропорционалдық тұрақтысы. Тұрақты n политроптық индекс деп аталады; бірақ политроптық индекстің n-нің дәрежесі ретінде де анықтамасы бар екенін ескеру керек. Бұл қатынасты ρ және T (температура) функциясы ретінде P-ны көрсететін күй теңдеуі ретінде қарастырудың қажеті жоқ; алайда политроптық теңдеумен сипатталған нақты жағдайда, осы үш шаманың арасында тағы да қосымша қатынастар бар, олар бірлесіп теңдеуді анықтайды. Демек, бұл – Лэйн-Эмден теңдеуінің шешімін беретін радиус бойынша тығыздық өзгеруі тұрғысынан радиус бойынша қысым өзгеруі туралы болжамды білдіретін қатынас. Кейде «политроп» сөзі жоғарыда келтірілген термодинамикалық қатынасқа ұқсас күй теңдеуін білдіруі мүмкін, бірақ мұндай жағдайда шатасу туындауы мүмкін, сондықтан одан аулақ болу керек. Политроптық сұйықтық немесе политроптық газ деп атау артық – сұйықтықтың өзін (Лэйн-Эмден теңдеуінің шешімімен салыстырғанда) атаған дұрыс. Нақтырақ айтқанда, политроптық газ – иілу сыйымдылығы тұрақты газ. Политроптық сұйықтықтың күй теңдеуі соншалықты жалпылама, осы идеалды сұйықтықтарды политроптардың шектеулі мәселесінен тыс кеңінен қолдануға мүмкіндік береді. Политроптық көрсеткіштің (политроп үшін) көлемдік модульдің қысым бойынша туындысына тең екендігі көрсетілді, сондай-ақ оның Мурнаган күй теңдеуімен байланысы да дәлелденді. Сондықтан политроптық қатынас салыстырмалы түрде төмен қысымда (107 Па-дан төмен) және жоғары қысымда (1014 Па-дан жоғары) жақсырақ қолданылады, өйткені бұл жағдайларда көлемдік модульдің қысым бойынша туындысы, политроптық индекске тең, тұрақтыға жақын болады.
where P is pressure, ρ is density and K is a constant of proportionality. The constant n is known as the polytropic index; note however that the polytropic index has an alternative definition as with n as the exponent. This relation need not be interpreted as an equation of state, which states P as a function of both ρ and T (the temperature); however in the particular case described by the polytrope equation there are other additional relations between these three quantities, which together determine the equation. Thus, this is simply a relation that expresses an assumption about the change of pressure with radius in terms of the change of density with radius, yielding a solution to the Lane–Emden equation. Sometimes the word polytrope may refer to an equation of state that looks similar to the thermodynamic relation above, although this is potentially confusing and is to be avoided. It is preferable to refer to the fluid itself (as opposed to the solution of the Lane–Emden equation) as a polytropic fluid or polytropic gas. Specifically, the polytropic gas is a gas for which the specific heat is constant. The equation of state of a polytropic fluid is general enough that such idealized fluids find wide use outside of the limited problem of polytropes. The polytropic exponent (of a polytrope) has been shown to be equivalent to the pressure derivative of the bulk modulus where its relation to the Murnaghan equation of state has also been demonstrated. The polytrope relation is therefore best suited for relatively low pressure (below 107 Pa) and high pressure (over 1014 Pa) conditions when the pressure derivative of the bulk modulus, which is equivalent to the polytrope index, is near constant.
Политроптық индекс бойынша үлгілер
Тасты планеталарды модельдеу үшін жиі индекстік политроп қолданылады. Мұның себебі политроптың тығыздығы тұрақты, яғни ішкі қабаты қысымға берілмейді. Бұл тасты (қатты/сұйық) планеталар үшін бірінші реттік жуықтау. Нейтрон жұлдыздары индексі арасындағы политроптармен жақсы модельденеді, ал индексі бар политроп толық конвективті жұлдыз ядролары (қызыл алыптар сияқты), қоңыр жұлдыздар, алып газды планеталар (Юпитер сияқты) үшін жақсы модель болып табылады. Бұл индекспен политроптық көрсеткіш 5/3-ке тең, бұл моноатомдық газдың жылу сыйымдылығының (γ) қатынасы. Газды жұлдыздардың ішкі бөлігі үшін (иондалған сутектен немесе гелийден тұрады) бұл табиғи конвекция жағдайларындағы идеалды газ жуықтауынан туындайды. Индекспен политроп, релятивистік емес дегенерацияланған материяның күй теңдеуіне сәйкес, төмен салмақты ақ жұлдыздар үшін де жақсы модель болып табылады. Индекспен политроп – релятивистік дегенерацияланған материяның күй теңдеуіне сәйкес, жоғары салмақты ақ жұлдыздардың ядролары үшін жақсы модель. Индекспен политроптың радиусы шексіз. Бұл 1883 жылы Артур Шустер алғаш зерттеген өздігінен тұрақты жұлдыздық жүйенің ең қарапайым ықтимал моделіне сәйкес келеді және оның нақты шешімі бар. Индекспен политроп, изотермиялық сфера деп аталатын нәрсеге сәйкес келеді, яғни газдың изотермиялық өзін-өзі тартатын сферасы, оның құрылымы шарықты шоғыр сияқты жұлдыздардың соқтығыспайтын жүйесінің құрылымына ұқсас. Себебі идеалды газ үшін температура ρ1/n-ге пропорционал, сондықтан шексіз n тұрақты температураға сәйкес келеді. Жалпы алғанда, политроптық индекс өскен сайын тығыздық таралуы дененің ортасына қарай көбірек жинақталады.
An index polytrope is often used to model rocky planets. The reason is that polytrope has constant density, i. e., incompressible interior. This is a zero order approximation for rocky (solid/liquid) planets. Neutron stars are well modeled by polytropes with index between and A polytrope with index is a good model for fully convective star cores (like those of red giants), brown dwarfs, giant gaseous planets (like Jupiter). With this index, the polytropic exponent is 5/3, which is the heat capacity ratio (γ) for monatomic gas. For the interior of gaseous stars (consisting of either ionized hydrogen or helium), this follows from an ideal gas approximation for natural convection conditions. A polytrope with index is also a good model for white dwarfs of low mass, according to the equation of state of non relativistic degenerate matter. A polytrope with index is a good model for the cores of white dwarfs of higher masses, according to the equation of state of relativistic degenerate matter. A polytrope with index has an infinite radius. It corresponds to the simplest plausible model of a self consistent stellar system, first studied by Arthur Schuster in 1883, and it has an exact solution. A polytrope with index corresponds to what is called an isothermal sphere, that is an isothermal self gravitating sphere of gas, whose structure is identical to the structure of a collisionless system of stars like a globular cluster. This is because for an ideal gas, the temperature is proportional to ρ1/n, so infinite n corresponds to a constant temperature. In general as the polytropic index increases, the density distribution is more heavily weighted toward the center of the body.