Введение

Решение уравнения плотности давления Лэйн-Эмдена для астрофизических тел

В астрофизике политроп относится к решению уравнения Лэйн-Эмдена, в котором давление зависит от плотности в форме

где P — давление, ρ — плотность, а K — константа пропорциональности. Постоянная n известна как политропный индекс; однако следует отметить, что политропный индекс имеет альтернативное определение, где n является показателем степени. Это соотношение не следует интерпретировать как уравнение состояния, которое выражает P как функцию как ρ, так и T (температуры); однако в конкретном случае, описываемом уравнением политропов, существуют дополнительные соотношения между этими тремя величинами, которые в совокупности определяют уравнение. Таким образом, это просто соотношение, выражающее предположение об изменении давления с радиусом в терминах изменения плотности с радиусом, приводящее к решению уравнения Лэйн-Эмдена. Иногда термин «политроп» может относиться к уравнению состояния, которое выглядит аналогично вышеуказанному термодинамическому соотношению, хотя это может ввести в заблуждение и следует избегать. Предпочтительнее относить саму жидкость (в отличие от решения уравнения Лэйн-Эмдена) к политропной жидкости или политропному газу. В частности, политропный газ — это газ, у которого удельная теплоемкость постоянна. Уравнение состояния политропной жидкости достаточно общее, чтобы такие идеализированные жидкости нашли широкое применение за пределами узкой задачи политропов. Показано, что политропный показатель (политропа) эквивалентен производной давления по объему, и также продемонстрирована его связь с уравнением состояния Мурнагана. Следовательно, соотношение политропов наиболее подходит для относительно низких давлений (ниже 10⁷ Па) и высоких давлений (выше 10¹⁴ Па), когда производная давления по объему, эквивалентная политропному индексу, близка к постоянной.

Примеры моделей по политропическому индексу

Индексный политроп часто используется для моделирования каменистых планет. Причина в том, что политроп имеет постоянную плотность, то есть несжимаемое внутреннее строение. Это приближение нулевого порядка для каменистых (твердых/жидких) планет. Нейтронные звезды хорошо моделируются политропами с индексом между и . Политроп с индексом является хорошей моделью для полностью конвективных звездных ядер (как у красных гигантов), коричневых карликов, гигантских газообразных планет (как Юпитер). При этом индексе политропный показатель равен 5/3, что является отношением теплоемкостей (γ) для моноатомного газа. Для недр газообразных звезд (состоящих из ионизированного водорода или гелия) это следует из приближения идеального газа при естественных условиях конвекции. Политроп с индексом также является хорошей моделью для белых карликов малой массы, согласно уравнению состояния нерелятивистской вырожденной материи. Политроп с индексом является хорошей моделью для ядер белых карликов большей массы, согласно уравнению состояния релятивистской вырожденной материи. Политроп с индексом имеет бесконечный радиус. Он соответствует самой простой правдоподобной модели самосогласованной звездной системы, впервые изученной Артуром Шустером в 1883 году, и имеет точное решение. Политроп с индексом соответствует так называемой изотермальной сфере, то есть изотермальной самогравитирующей сфере газа, структура которой идентична структуре системы звезд без столкновений, такой как шаровое скопление. Это связано с тем, что для идеального газа температура пропорциональна ρ<sup>1/n</sup>, поэтому бесконечное n соответствует постоянной температуре. В целом, с увеличением политропного индекса распределение плотности становится более концентрированным к центру тела.