Кіріспе

Төртінші дәрежелі полиномиялық функция

Бір өзгермалы жағдайы

Алгебрада, төрттік функция – a нөлге тең емес келесі формадағы функция:

мұнда a ≠ 0,
ол төртінші дәрежелі полиномиямен анықталады, бұл төрттік полиномия деп аталады. Төртінші дәрежелі теңдеу, немесе төртінші дәрежелі теңдеу – төрттік полиномияны нөлге теңейтін теңдеу, келесі формада:

мұнда a ≠ 0. Төрттік функцияның туындысы кубикалық функция болып табылады. Кейде төрттік функцияның орнына биквадратикалық термині қолданылады, бірақ көбінесе биквадратикалық функция – квадраттың квадраттық функциясы (немесе, баламалы түрде, тақ дәрежелі мүшелері жоқ төрттік полиномиямен анықталған функция), келесі формада:

Төрттік функция жұп дәрежелі полиномиямен анықталғандықтан, аргумент оң немесе теріс шексіздікке ұмтылғанда бірдей шексіз лимитке ие. Егер a оң болса, функция екі жағынан да оң шексіздікке дейін өседі; демек, функцияның жаһандық минимум нүктесі бар. Сол сияқты, егер a теріс болса, ол теріс шексіздікке дейін кемиді және жаһандық максимум нүктесіне ие. Екі жағдайда да функцияның басқа жергілікті максимум және басқа жергілікті минимум нүктелері болуы немесе болмауы мүмкін. Төртінші дәреже (төрттік жағдай) – Абель-Руффини теоремасына сәйкес, кез келген полиномиялық теңдеуді радикалдар арқылы шешуге болатын ең жоғары дәреже.

Тарих

Лодовико Феррари 1540 жылы төртінші дәрежелі теңдеудің (квартиканың) шешімін тапқаны үшін есімдеріне алынған, бірақ бұл шешім, квартиканың барлық алгебралық шешімдері сияқты, үшінші дәрежелі теңдеудің (кубиканың) шешімін табуды қажет ететіндіктен, бірден жариялануы мүмкін болмады. Квартиканың шешімі кубиканың шешімімен бірге Ферраридің ұстазы Героламо Карданоның «Ars Magna» кітабында жарияланды. Кеңес тарихшысы И. Я. Депман (ru) 1486 жылы испан математигі Вальместің төртінші дәрежелі теңдеуді шешкенім деп мәлімдегені үшін бағанада өртеліп өлгенін айтқан. Бас инквизитор Томас де Торкемаданың айтуынша, мұндай шешімнің адам санасына қол жеткізбеуі – Құдайдың қалауы болған. Алайда, Депманның бұл әңгімесін Батыста танымал еткен Петр Бекман оны сенімсіз деп бағалап, оның кеңестік діни насихат ретінде ойлап табылған болуы мүмкін екенін айтты. Бекманның оқиға нұсқасы бірнеше кітапта және интернетте кеңінен көшірілді, көбінесе оның ескертулерісіз, кейде қиялға толы қосымшалармен. Бұл оқиғаға, тіпті Вальместің өмір сүргеніне дәлел табуға жасалған бірнеше әрекет сәтсіз аяқталды. Төртінші дәрежелі теңдеудің жалпы көпмүше үшін ең жоғары дәреже екендігінің және оған шешім табу мүмкін екендігінің алғашқы дәлелі 1824 жылы Абель-Руффини теоремасында келтірілді, ол жоғары дәрежелі көпмүшелерді шешуге жасалған барлық тырақтаулардың нәтижесіз екенін көрсетті. Эварист Галуаның 1832 жылы дуэльде қаза тапқанға дейінгі жазбалары кейін көпмүшелердің түбірлерінің толыққанды және әдемі теориясына әкелді, оның бір нәтижесі осы теорема болды.

Қолданбалар

Екі конус қимасының қиылысу нүктелерінің әрбір координатасы – төртіншілік теңдеудің шешімі болып табылады. Бұл тура және тордың қиылысуы үшін де дұрыс. Осыдан кварттық теңдеулер жиі есептеу геометриясында және компьютерлік графика, компьютерлік дизайн, компьютерлік өндіріс және оптика сияқты барлық байланысты салаларда кездеседі. Міне, төртінші теңдеуді шешуді қажет ететін басқа геометриялық мәселелердің мысалдары. Компьютерлік көмекпен өндірісте тор – әдетте ұңғы кескішпен байланысты пішін. Оның үшбұрышты бетке қатысты орналасуын есептеу үшін z осьіндегі көлденең тордың орналасуын табу қажет, ол тұрақты сызыққа жанасатын жерде, ал бұл жалпы төртіншілік теңдеудің шешімін есептеуді талап етеді. Кесілген баспалдақтар мәселесін шешу кезінде де төртіншілік теңдеу пайда болады, онда екі қиылысқан баспалдақтың ұзындығы, олардың әрқайсысы бір қабырғаға сүйеніп, екіншісіне сүйеніп, олардың қиылысатын биіктігімен бірге беріледі, және қабырғалар арасындағы қашықтықты табу керек. Оптикада Алхазеннің мәселесі: «Жар көзі мен шар тәрізді айна берілгенде, жарық көрерменнің көзіне қай нүктеде шағылысатынын анықтаңыз». Бұл төртіншілік теңдеуге алып келеді. Екі эллипстің ең жақын арақашықтығын табу үшін төртіншілік теңдеуді шешу қажет. 4×4 матрицаның өзіндік мәндері – матрицаның сипаттамалық полиномы болып табылатын төртіншілік полиномның түбірі. Төртінші реттік сызықтық айырмалық теңдеудің немесе дифференциалдық теңдеудің сипаттамалық теңдеуі – кварттық теңдеу. Мысал ретінде Тимошенконың Rayleigh сәуле иілу теориясын қарастыруға болады. Сфералар, цилиндрлер немесе басқа квадриктердің қиылысуын кварттық теңдеулер арқылы табуға болады.

Алгебралық геометриямен шешу

Алгебралық геометрияны қолдана отырып, баламалы шешім бар. Қысқаша айтқанда, түбірлерді екі квадраттық қисықтың қиылысы ретінде қарастырады, содан кейін осы нүктелер арқылы өтетін үш тоқтатылатын квадраттық қисықтарды (сызықтар жұбын) табады (бұл шешімдік кубқа сәйкес келеді, ал сызықтар жұбы Лагранж шешімдері болып табылады), содан кейін осы сызықтық теңдеулерді квадраттық теңдеуді шешу үшін қолданады. Қысылған төртінші дәрежелі теңдеудің төрт түбірі де екі квадраттық теңдеудің қиылыс нүктелерінің x координаталары ретінде берілуі мүмкін, яғни екі квадраттық қисықтың төрт нүктеде қиылысуы Безу теоремасының бір мысалы болып табылады. Нақтырақ айтқанда, төрт нүкте Pi ≔ (xi, xi^(2)) – төртінші дәрежелі теңдеудің төрт түбірі xi үшін. Бұл төрт нүкте бір түзудің бойында жатпайды, себебі олар тоқтатылмайтын квадраттық қисықта жатады, демек осы нүктелер арқылы өтетін бір параметрлі квадраттықтар отбасы (қисықтар шоғыры) бар. Екі квадраттық форманы үш айнымалыда квадраттық формалар түрінде жазайық:

қисықтар шоғыры λF1 + μF2 формаларымен беріледі, мұнда [λ, μ] – проективті түзудегі кез келген нүкте, яғни λ және μ екеуі де нөлге тең емес, ал квадраттық форманы тұрақты санға көбейту оның нөлдерінің квадраттық қисығын өзгерте алмайды. Бұл шоғырға үш тоқтатылатын квадраттық кіреді, олардың әрқайсысы сызықтар жұбына сәйкес келеді, әрқайсысы төрт нүктенің екісі арқылы өтеді, бұл 6 түрлі тәсібен жасалуы мүмкін. Оларды , , және деп белгілейік. Кез келген екісін қарастырсақ, олардың қиылысы дәл төрт нүктеден тұрады. Тоқтатылатын квадраттық қисықтар, өз кезегінде, λF1 + μF2 квадраттық формасын 3×3 матрица түрінде көрсету арқылы анықталуы мүмкін: тоқтатылатын квадраттық қисықтар осы матрицаның жекеше болуына сәйкес келеді, яғни оның детерминанты нөлге тең, ал детерминант λ және μ-ге байланысты гомогенді үшінші дәрежелі полином болып табылады және шешімдік кубқа сәйкес келеді.