Введение
Полиномиальная функция четвертой степени
the univariate case
In algebra, a quartic function is a function of the form
where a is nonzero,
which is defined by a polynomial of degree four, called a quartic polynomial. A quartic equation, or equation of the fourth degree, is an equation that equates a quartic polynomial to zero, of the form
where a ≠ 0. The derivative of a quartic function is a cubic function. Sometimes the term biquadratic is used instead of quartic, but, usually, biquadratic function refers to a quadratic function of a square (or, equivalently, to the function defined by a quartic polynomial without terms of odd degree), having the form
Since a quartic function is defined by a polynomial of even degree, it has the same infinite limit when the argument goes to positive or negative infinity. If a is positive, then the function increases to positive infinity at both ends; and thus the function has a global minimum. Likewise, if a is negative, it decreases to negative infinity and has a global maximum. In both cases it may or may not have another local maximum and another local minimum. The degree four (quartic case) is the highest degree such that every polynomial equation can be solved by radicals, according to the Abel–Ruffini theorem.
Одновариантный случай
the univariate case
In algebra, a quartic function is a function of the form
where a is nonzero,
which is defined by a polynomial of degree four, called a quartic polynomial. A quartic equation, or equation of the fourth degree, is an equation that equates a quartic polynomial to zero, of the form
where a ≠ 0. The derivative of a quartic function is a cubic function. Sometimes the term biquadratic is used instead of quartic, but, usually, biquadratic function refers to a quadratic function of a square (or, equivalently, to the function defined by a quartic polynomial without terms of odd degree), having the form
Since a quartic function is defined by a polynomial of even degree, it has the same infinite limit when the argument goes to positive or negative infinity. If a is positive, then the function increases to positive infinity at both ends; and thus the function has a global minimum. Likewise, if a is negative, it decreases to negative infinity and has a global maximum. In both cases it may or may not have another local maximum and another local minimum. The degree four (quartic case) is the highest degree such that every polynomial equation can be solved by radicals, according to the Abel–Ruffini theorem.
В алгебре, квартичная функция — это функция вида
the univariate case
In algebra, a quartic function is a function of the form
where a is nonzero,
which is defined by a polynomial of degree four, called a quartic polynomial. A quartic equation, or equation of the fourth degree, is an equation that equates a quartic polynomial to zero, of the form
where a ≠ 0. The derivative of a quartic function is a cubic function. Sometimes the term biquadratic is used instead of quartic, but, usually, biquadratic function refers to a quadratic function of a square (or, equivalently, to the function defined by a quartic polynomial without terms of odd degree), having the form
Since a quartic function is defined by a polynomial of even degree, it has the same infinite limit when the argument goes to positive or negative infinity. If a is positive, then the function increases to positive infinity at both ends; and thus the function has a global minimum. Likewise, if a is negative, it decreases to negative infinity and has a global maximum. In both cases it may or may not have another local maximum and another local minimum. The degree four (quartic case) is the highest degree such that every polynomial equation can be solved by radicals, according to the Abel–Ruffini theorem.
где a не равно нулю,
the univariate case
In algebra, a quartic function is a function of the form
where a is nonzero,
which is defined by a polynomial of degree four, called a quartic polynomial. A quartic equation, or equation of the fourth degree, is an equation that equates a quartic polynomial to zero, of the form
where a ≠ 0. The derivative of a quartic function is a cubic function. Sometimes the term biquadratic is used instead of quartic, but, usually, biquadratic function refers to a quadratic function of a square (or, equivalently, to the function defined by a quartic polynomial without terms of odd degree), having the form
Since a quartic function is defined by a polynomial of even degree, it has the same infinite limit when the argument goes to positive or negative infinity. If a is positive, then the function increases to positive infinity at both ends; and thus the function has a global minimum. Likewise, if a is negative, it decreases to negative infinity and has a global maximum. In both cases it may or may not have another local maximum and another local minimum. The degree four (quartic case) is the highest degree such that every polynomial equation can be solved by radicals, according to the Abel–Ruffini theorem.
которая определяется многочленом четвертой степени, называемым квартичным многочленом. Квартичное уравнение, или уравнение четвертой степени, — это уравнение, приравнивающее квартичный многочлен к нулю, вида
the univariate case
In algebra, a quartic function is a function of the form
where a is nonzero,
which is defined by a polynomial of degree four, called a quartic polynomial. A quartic equation, or equation of the fourth degree, is an equation that equates a quartic polynomial to zero, of the form
where a ≠ 0. The derivative of a quartic function is a cubic function. Sometimes the term biquadratic is used instead of quartic, but, usually, biquadratic function refers to a quadratic function of a square (or, equivalently, to the function defined by a quartic polynomial without terms of odd degree), having the form
Since a quartic function is defined by a polynomial of even degree, it has the same infinite limit when the argument goes to positive or negative infinity. If a is positive, then the function increases to positive infinity at both ends; and thus the function has a global minimum. Likewise, if a is negative, it decreases to negative infinity and has a global maximum. In both cases it may or may not have another local maximum and another local minimum. The degree four (quartic case) is the highest degree such that every polynomial equation can be solved by radicals, according to the Abel–Ruffini theorem.
где a ≠ 0. Производная квартичной функции — кубическая функция. Иногда вместо квартичного используется термин биквадратичный, но обычно биквадратичная функция относится к квадратичной функции квадрата (или, эквивалентно, к функции, определяемой квартичным многочленом без членов нечетной степени), имеющей вид
the univariate case
In algebra, a quartic function is a function of the form
where a is nonzero,
which is defined by a polynomial of degree four, called a quartic polynomial. A quartic equation, or equation of the fourth degree, is an equation that equates a quartic polynomial to zero, of the form
where a ≠ 0. The derivative of a quartic function is a cubic function. Sometimes the term biquadratic is used instead of quartic, but, usually, biquadratic function refers to a quadratic function of a square (or, equivalently, to the function defined by a quartic polynomial without terms of odd degree), having the form
Since a quartic function is defined by a polynomial of even degree, it has the same infinite limit when the argument goes to positive or negative infinity. If a is positive, then the function increases to positive infinity at both ends; and thus the function has a global minimum. Likewise, if a is negative, it decreases to negative infinity and has a global maximum. In both cases it may or may not have another local maximum and another local minimum. The degree four (quartic case) is the highest degree such that every polynomial equation can be solved by radicals, according to the Abel–Ruffini theorem.
Поскольку квартичная функция определяется многочленом четной степени, она имеет один и тот же бесконечный предел при стремлении аргумента к положительной или отрицательной бесконечности. Если a положительно, то функция возрастает до положительной бесконечности на обоих концах; таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если a отрицательно, то она убывает до отрицательной бесконечности и имеет глобальный максимум. В обоих случаях она может иметь или не иметь другой локальный максимум и другой локальный минимум. Четвертая степень (квартичный случай) является наивысшей степенью, для которой любое полиномиальное уравнение может быть решено в радикалах, согласно теореме Абеля — Руффини.
the univariate case
In algebra, a quartic function is a function of the form
where a is nonzero,
which is defined by a polynomial of degree four, called a quartic polynomial. A quartic equation, or equation of the fourth degree, is an equation that equates a quartic polynomial to zero, of the form
where a ≠ 0. The derivative of a quartic function is a cubic function. Sometimes the term biquadratic is used instead of quartic, but, usually, biquadratic function refers to a quadratic function of a square (or, equivalently, to the function defined by a quartic polynomial without terms of odd degree), having the form
Since a quartic function is defined by a polynomial of even degree, it has the same infinite limit when the argument goes to positive or negative infinity. If a is positive, then the function increases to positive infinity at both ends; and thus the function has a global minimum. Likewise, if a is negative, it decreases to negative infinity and has a global maximum. In both cases it may or may not have another local maximum and another local minimum. The degree four (quartic case) is the highest degree such that every polynomial equation can be solved by radicals, according to the Abel–Ruffini theorem.
История
Лодовико Феррари приписывают открытие решения уравнения четвертой степени в 1540 году, но поскольку это решение, как и все алгебраические решения уравнения четвертой степени, требует нахождения решения кубического уравнения, его не удалось опубликовать немедленно. Решение уравнения четвертой степени было опубликовано вместе с решением кубического уравнения наставником Феррари Джероламо Кардано в книге Ars Magna. Советский историк И. Я. Депман (ru) утверждал, что еще раньше, в 1486 году, испанский математик Вальмес был сожжен на костре за утверждение, что он решил уравнение четвертой степени. Генерал-инквизитор Томас де Торкемада, как сообщается, сказал Вальмесу, что такова воля Бога, чтобы подобное решение было недоступно человеческому пониманию. Однако Петр Бекман, который популяризировал эту историю Депмана на Западе, заявил, что она недостоверна и предположил, что она могла быть сфабрикована в качестве советской антирелигиозной пропаганды. Версия Бекмана этой истории была широко скопирована в нескольких книгах и на интернет-сайтах, как правило, без его оговорок и иногда с вымышленными дополнениями. Многочисленные попытки найти подтверждающие доказательства этой истории или даже существования Вальмеса не увенчались успехом. Доказательство того, что четыре – это наивысшая степень общего многочлена, для которой можно найти такие решения, впервые было представлено в теореме Абеля — Руффини в 1824 году, доказав, что все попытки решения многочленов более высокой степени будут тщетны. Заметки, оставленные Эваристом Галуа перед смертью на дуэли в 1832 году, впоследствии привели к элегантной и полной теории корней многочленов, одним из результатов которой стала эта теорема.
Приложения
Каждая координата точек пересечения двух конических сечений является решением уравнения четвертой степени. То же самое верно для пересечения прямой и тора. Следовательно, уравнения четвертой степени часто возникают в вычислительной геометрии и во всех связанных областях, таких как компьютерная графика, системы автоматизированного проектирования, системы автоматизированного производства и оптика. Вот примеры других геометрических задач, решение которых требует решения уравнения четвертой степени. В системах автоматизированного производства торус – это форма, обычно ассоциируемая с концевой фрезой. Для вычисления его положения относительно треугольной поверхности необходимо найти положение горизонтального тора на оси z, где он касается фиксированной прямой, что требует вычисления решения общего уравнения четвертой степени. Уравнение четвертой степени также возникает при решении задачи о скрещенных лестницах, в которой заданы длины двух скрещенных лестниц, каждая из которых опирается на одну стену и прислонена к другой, а также высота, на которой они пересекаются, и требуется найти расстояние между стенами. В оптике задача Альхазена формулируется следующим образом: "Имея источник света и сферическое зеркало, найти точку на зеркале, в которой свет отразится в глаз наблюдателя". Это приводит к уравнению четвертой степени. Определение кратчайшего расстояния между двумя эллипсами требует решения уравнения четвертой степени. Собственные значения матрицы 4×4 являются корнями полинома четвертой степени, который является характеристическим полиномом матрицы. Характеристическое уравнение линейного разностного или дифференциального уравнения четвертого порядка является уравнением четвертой степени. Пример можно найти в теории изгиба балок Тимошенко-Рейли. Пересечения сфер, цилиндров или других квадрик можно найти с помощью уравнений четвертой степени.
Решение с помощью алгебраической геометрии
Существует альтернативное решение с использованием алгебраической геометрии. Вкратце, корни интерпретируются как пересечение двух квадратичных кривых, затем находятся три редуцируемые квадратичные кривые (пары прямых), проходящие через эти точки (это соответствует кубике-разрешителю, а пары прямых являются разрешителями Лагранжа), и затем эти линейные уравнения используются для решения квадратичного уравнения. Четыре корня приведенного квартического уравнения также могут быть выражены как x-координаты пересечений двух квадратичных уравнений, то есть, используя подстановку, что две квадратичные кривые пересекаются в четырех точках – это пример теоремы Безу. Явно, эти четыре точки задаются как Pi ≔ (xi, xi^(2)) для четырех корней xi квартического уравнения. Эти четыре точки не коллинеарны, поскольку они лежат на неприводимой квадратичной кривой, и, следовательно, существует одномерное семейство квадратичных кривых (пучок кривых), проходящих через эти точки. Записывая проективизацию двух квадратичных форм как квадратичных форм в трех переменных:
пучок задается формами λF1 + μF2 для любой точки [λ, μ] на проективной прямой, иными словами, где λ и μ не равны нулю одновременно, и умножение квадратичной формы на константу не меняет ее квадратичную кривую нулей. Этот пучок содержит три редуцируемые квадратичные кривые, каждая из которых соответствует паре прямых, каждая из которых проходит через две из четырех точек, что можно сделать 6 различными способами. Обозначим их , , и . Для любых двух из них их пересечение содержит ровно четыре точки. Редуцируемые квадратичные кривые, в свою очередь, могут быть определены путем представления квадратичной формы λF1 + μF2 в виде матрицы 3×3: редуцируемые квадратичные кривые соответствуют тому, что эта матрица является сингулярной, что эквивалентно тому, что ее определитель равен нулю, а определитель является однородным многочленом третьей степени относительно λ и μ и соответствует кубике-разрешителю.