Кіріспе
Поинкаре тобының азайтылмайтын бейнелеулерінің жіктелуі. Математика мен теориялық физикада Вигнер жіктелуі – нөлдік немесе шекті массалық өзіндік мәндері бар Поинкаре тобының оң энергиялық азайтылмайтын унитарлық бейнелеулерінің жіктелуі. (Бұл унитарлық бейнелеулер шексіз өлшемді; топ жартылай қарапайым емес және Вейльдің толық азайту теоремасын қанағаттандырмайды.) Оны физикадағы бөлшектер мен өрістерді жіктеу үшін Эуген Вигнер енгізді – қараңыз бөлшек физикасы және бейнелеу теориясы. Ол осы топтың тұрақтандырушы кіші топтарына сүйенеді, олар әртүрлі массалық күйлердегі Вигнердің кіші топтары деп аталады. Поинкаре тобының Казимир инварианттары (Айнштейн нотациясы) келесідей: P – 4 импульс операторы, ал W – Паули-Лубански псевдовекторы. Бұл операторлардың өзіндік мәндері бейнелеулерді белгілеуге қызмет етеді. Біріншісі массаның квадратына, ал екіншісі спинге немесе гелицитқа байланысты. Сондықтан физикалық маңызы бар бейнелеулерді мынаған қарай жіктеуге болады:
In mathematics and theoretical physics, Wigner's classification
is a classification of the nonnegative energy irreducible unitary representations of the Poincaré group which have either finite or zero mass eigenvalues. (These unitary representations are infinite dimensional; the group is not semisimple and it does not satisfy Weyl's theorem on complete reducibility.) It was introduced by Eugene Wigner, to classify particles and fields in physics—see the article particle physics and representation theory. It relies on the stabilizer subgroups of that group, dubbed the Wigner little groups of various mass states. The Casimir invariants of the Poincaré group are (Einstein notation) where P is the 4 momentum operator, and where W is the Pauli–Lubanski pseudovector. The eigenvalues of these operators serve to label the representations. The first is associated with mass squared and the second with helicity or spin. The physically relevant representations may thus be classified according to whether
but or whether
with
Wigner found that massless particles are fundamentally different from massive particles. For the first case Note that the eigenspace (see generalized eigenspaces of unbounded operators) associated with is a representation of SO(3). In the ray interpretation, one can go over to Spin(3) instead. So, massive states are classified by an irreducible Spin(3) unitary representation that characterizes their spin, and a positive mass, m.
For the second case Look at the stabilizer of
This is the double cover of SE(2) (see projective representation). We have two cases, one where irreps are described by an integral multiple of called the helicity, and the other called the "continuous spin" representation. For the third case The only finite dimensional unitary solution is the trivial representation called the vacuum.
немесе мынаған:
In mathematics and theoretical physics, Wigner's classification
is a classification of the nonnegative energy irreducible unitary representations of the Poincaré group which have either finite or zero mass eigenvalues. (These unitary representations are infinite dimensional; the group is not semisimple and it does not satisfy Weyl's theorem on complete reducibility.) It was introduced by Eugene Wigner, to classify particles and fields in physics—see the article particle physics and representation theory. It relies on the stabilizer subgroups of that group, dubbed the Wigner little groups of various mass states. The Casimir invariants of the Poincaré group are (Einstein notation) where P is the 4 momentum operator, and where W is the Pauli–Lubanski pseudovector. The eigenvalues of these operators serve to label the representations. The first is associated with mass squared and the second with helicity or spin. The physically relevant representations may thus be classified according to whether
but or whether
with
Wigner found that massless particles are fundamentally different from massive particles. For the first case Note that the eigenspace (see generalized eigenspaces of unbounded operators) associated with is a representation of SO(3). In the ray interpretation, one can go over to Spin(3) instead. So, massive states are classified by an irreducible Spin(3) unitary representation that characterizes their spin, and a positive mass, m.
For the second case Look at the stabilizer of
This is the double cover of SE(2) (see projective representation). We have two cases, one where irreps are described by an integral multiple of called the helicity, and the other called the "continuous spin" representation. For the third case The only finite dimensional unitary solution is the trivial representation called the vacuum.
Вигнер массасыз бөлшектердің массалы бөлшектерден түбегейлі ерекше екенін тапты. Бірінші жағдайда, -ға байланысты өздік кеңістік (шектелмеген операторлардың обобщендірілген өздік кеңістігіне қараңыз) SO(3) бейнелеуі болып табылады. Сәулелік интерпретацияда Spin(3) -қа өтуге болады. Демек, массивті күйлер олардың спинін сипаттайтын азайтылмайтын Spin(3) унитарлық бейнелеуімен және оң массамен, m жіктеледі. Екінші жағдайда тұрақтандырғышты қарастырыңыз:
In mathematics and theoretical physics, Wigner's classification
is a classification of the nonnegative energy irreducible unitary representations of the Poincaré group which have either finite or zero mass eigenvalues. (These unitary representations are infinite dimensional; the group is not semisimple and it does not satisfy Weyl's theorem on complete reducibility.) It was introduced by Eugene Wigner, to classify particles and fields in physics—see the article particle physics and representation theory. It relies on the stabilizer subgroups of that group, dubbed the Wigner little groups of various mass states. The Casimir invariants of the Poincaré group are (Einstein notation) where P is the 4 momentum operator, and where W is the Pauli–Lubanski pseudovector. The eigenvalues of these operators serve to label the representations. The first is associated with mass squared and the second with helicity or spin. The physically relevant representations may thus be classified according to whether
but or whether
with
Wigner found that massless particles are fundamentally different from massive particles. For the first case Note that the eigenspace (see generalized eigenspaces of unbounded operators) associated with is a representation of SO(3). In the ray interpretation, one can go over to Spin(3) instead. So, massive states are classified by an irreducible Spin(3) unitary representation that characterizes their spin, and a positive mass, m.
For the second case Look at the stabilizer of
This is the double cover of SE(2) (see projective representation). We have two cases, one where irreps are described by an integral multiple of called the helicity, and the other called the "continuous spin" representation. For the third case The only finite dimensional unitary solution is the trivial representation called the vacuum.
Бұл SE(2) -нің қос жабыны (проективтік бейнелеуді қараңыз). Бізде екі жағдай бар: біреуі гелицит деп аталатын -нің бүтін еселігімен сипатталатын азайтылмайтын бейнелеулер, екіншісі – «үздік спин» бейнелеуі. Үшінші жағдайда жалғыз шекті өлшемді унитарлық шешім – вакуум деп аталатын тривиальды бейнелеу.
In mathematics and theoretical physics, Wigner's classification
is a classification of the nonnegative energy irreducible unitary representations of the Poincaré group which have either finite or zero mass eigenvalues. (These unitary representations are infinite dimensional; the group is not semisimple and it does not satisfy Weyl's theorem on complete reducibility.) It was introduced by Eugene Wigner, to classify particles and fields in physics—see the article particle physics and representation theory. It relies on the stabilizer subgroups of that group, dubbed the Wigner little groups of various mass states. The Casimir invariants of the Poincaré group are (Einstein notation) where P is the 4 momentum operator, and where W is the Pauli–Lubanski pseudovector. The eigenvalues of these operators serve to label the representations. The first is associated with mass squared and the second with helicity or spin. The physically relevant representations may thus be classified according to whether
but or whether
with
Wigner found that massless particles are fundamentally different from massive particles. For the first case Note that the eigenspace (see generalized eigenspaces of unbounded operators) associated with is a representation of SO(3). In the ray interpretation, one can go over to Spin(3) instead. So, massive states are classified by an irreducible Spin(3) unitary representation that characterizes their spin, and a positive mass, m.
For the second case Look at the stabilizer of
This is the double cover of SE(2) (see projective representation). We have two cases, one where irreps are described by an integral multiple of called the helicity, and the other called the "continuous spin" representation. For the third case The only finite dimensional unitary solution is the trivial representation called the vacuum.
Проективті бейнелеулер теориясы
Физикалық тұрғыдан, Пуанкаре тобының толықтырылмайтын проективті унитарлық бейнелеулері қызығушылық тудырады. Өйткені, кванттық Гильберт кеңістігіндегі екі вектор тұрақтыға көбейтілгенде айырмашылығы болса да, бірдей физикалық күйді көрсетеді. Осылайша, бірлік операторлардың екеуі де сәйкестіктің еселігімен ерекшеленсе, физикалық күйлерге қатысты әрекеттері бірдей болады. Сондықтан, Пуанкаре симметриясын көрсететін унитарлық операторлар тек тұрақтыға дейін ғана анықталады, демек, топтың құрамын білдіретін заң да тек тұрақтыға дейін сақталуы керек. Баргман теоремасына сәйкес, Пуанкаре тобының кез келген проективті унитарлық бейнесі оның әмбебап жабуының қарапайым унитарлық бейнесінен туындайды, ал ол – екі еселі жабу. (Баргман теоремасы қолданылады, себебі Пуанкаре тобының екі еселі жабуы тривиальды емес бір өлшемді орталық кеңейтулерді қабылдамайды.) Екі еселі жабуға көшу маңызды, өйткені ол жартылай бүтін спин жағдайларын қамтамасыз етеді. Мысалы, оң масса жағдайында кіші топ SU(2) болып табылады, ал SO(3) емес; SU(2) бейнелеулері бүтін және жартылай бүтін спин жағдайларын қамтиды. Баргман теоремасындағы жалпы критерий Вигнер классификация жасаған кезде белгісіз болғандықтан, ол операторлардағы фазаларды топтағы құрам заңының белгісіне дейін сәйкес келуге болатынын қолмен көрсетуге мәжбүр болды (мақаланың 5-тармағы).