Введение
Классификация неснижаемых представлений группы Понкаре
В математике и теоретической физике классификация Вигнера — это классификация неотрицательных по энергии неснижаемых унитарных представлений группы Понкаре, имеющих собственные значения массы, равные нулю или конечные. (Эти унитарные представления бесконечномерны; группа не является полупростой и не удовлетворяет теореме Вейля о полной приводимости.) Она была введена Юджином Вигнером для классификации частиц и полей в физике — см. статью «Физика частиц и теория представлений». Она опирается на стабилизирующие подгруппы этой группы, называемые малыми группами Вигнера для различных состояний массы. Инвариантами Казимира группы Понкаре являются (в нотации Эйнштейна), где P — оператор 4-импульса, а — псевдовектор Паули — Любански. Собственные значения этих операторов используются для обозначения представлений. Первый связан с квадратом массы, а второй — с вертолетом или спином. Таким образом, физически релевантные представления можно классифицировать в зависимости от того,
In mathematics and theoretical physics, Wigner's classification
is a classification of the nonnegative energy irreducible unitary representations of the Poincaré group which have either finite or zero mass eigenvalues. (These unitary representations are infinite dimensional; the group is not semisimple and it does not satisfy Weyl's theorem on complete reducibility.) It was introduced by Eugene Wigner, to classify particles and fields in physics—see the article particle physics and representation theory. It relies on the stabilizer subgroups of that group, dubbed the Wigner little groups of various mass states. The Casimir invariants of the Poincaré group are (Einstein notation) where P is the 4 momentum operator, and where W is the Pauli–Lubanski pseudovector. The eigenvalues of these operators serve to label the representations. The first is associated with mass squared and the second with helicity or spin. The physically relevant representations may thus be classified according to whether
but or whether
with
Wigner found that massless particles are fundamentally different from massive particles. For the first case Note that the eigenspace (see generalized eigenspaces of unbounded operators) associated with is a representation of SO(3). In the ray interpretation, one can go over to Spin(3) instead. So, massive states are classified by an irreducible Spin(3) unitary representation that characterizes their spin, and a positive mass, m.
For the second case Look at the stabilizer of
This is the double cover of SE(2) (see projective representation). We have two cases, one where irreps are described by an integral multiple of called the helicity, and the other called the "continuous spin" representation. For the third case The only finite dimensional unitary solution is the trivial representation called the vacuum.
или от того,
где
In mathematics and theoretical physics, Wigner's classification
is a classification of the nonnegative energy irreducible unitary representations of the Poincaré group which have either finite or zero mass eigenvalues. (These unitary representations are infinite dimensional; the group is not semisimple and it does not satisfy Weyl's theorem on complete reducibility.) It was introduced by Eugene Wigner, to classify particles and fields in physics—see the article particle physics and representation theory. It relies on the stabilizer subgroups of that group, dubbed the Wigner little groups of various mass states. The Casimir invariants of the Poincaré group are (Einstein notation) where P is the 4 momentum operator, and where W is the Pauli–Lubanski pseudovector. The eigenvalues of these operators serve to label the representations. The first is associated with mass squared and the second with helicity or spin. The physically relevant representations may thus be classified according to whether
but or whether
with
Wigner found that massless particles are fundamentally different from massive particles. For the first case Note that the eigenspace (see generalized eigenspaces of unbounded operators) associated with is a representation of SO(3). In the ray interpretation, one can go over to Spin(3) instead. So, massive states are classified by an irreducible Spin(3) unitary representation that characterizes their spin, and a positive mass, m.
For the second case Look at the stabilizer of
This is the double cover of SE(2) (see projective representation). We have two cases, one where irreps are described by an integral multiple of called the helicity, and the other called the "continuous spin" representation. For the third case The only finite dimensional unitary solution is the trivial representation called the vacuum.
Вигнер обнаружил, что безмассовые частицы принципиально отличаются от массивных частиц. Для первого случая обратите внимание, что собственное пространство (см. обобщенные собственные пространства неограниченных операторов), связанное с , является представлением SO(3). В лучевой интерпретации можно перейти к Spin(3). Следовательно, массивные состояния классифицируются неснижаемым унитарным представлением Spin(3), характеризующим их спин, и положительной массой m.
Для второго случая рассмотрим стабилизатор
In mathematics and theoretical physics, Wigner's classification
is a classification of the nonnegative energy irreducible unitary representations of the Poincaré group which have either finite or zero mass eigenvalues. (These unitary representations are infinite dimensional; the group is not semisimple and it does not satisfy Weyl's theorem on complete reducibility.) It was introduced by Eugene Wigner, to classify particles and fields in physics—see the article particle physics and representation theory. It relies on the stabilizer subgroups of that group, dubbed the Wigner little groups of various mass states. The Casimir invariants of the Poincaré group are (Einstein notation) where P is the 4 momentum operator, and where W is the Pauli–Lubanski pseudovector. The eigenvalues of these operators serve to label the representations. The first is associated with mass squared and the second with helicity or spin. The physically relevant representations may thus be classified according to whether
but or whether
with
Wigner found that massless particles are fundamentally different from massive particles. For the first case Note that the eigenspace (see generalized eigenspaces of unbounded operators) associated with is a representation of SO(3). In the ray interpretation, one can go over to Spin(3) instead. So, massive states are classified by an irreducible Spin(3) unitary representation that characterizes their spin, and a positive mass, m.
For the second case Look at the stabilizer of
This is the double cover of SE(2) (see projective representation). We have two cases, one where irreps are described by an integral multiple of called the helicity, and the other called the "continuous spin" representation. For the third case The only finite dimensional unitary solution is the trivial representation called the vacuum.
Это двойное накрытие SE(2) (см. проективное представление). У нас есть два случая: один, где неприводимые представления описываются целым кратным , называемым вертолетом, а другой называется представлением «непрерывного спина». Для третьего случая единственным конечномерным унитарным решением является тривиальное представление, называемое вакуумом.
In mathematics and theoretical physics, Wigner's classification
is a classification of the nonnegative energy irreducible unitary representations of the Poincaré group which have either finite or zero mass eigenvalues. (These unitary representations are infinite dimensional; the group is not semisimple and it does not satisfy Weyl's theorem on complete reducibility.) It was introduced by Eugene Wigner, to classify particles and fields in physics—see the article particle physics and representation theory. It relies on the stabilizer subgroups of that group, dubbed the Wigner little groups of various mass states. The Casimir invariants of the Poincaré group are (Einstein notation) where P is the 4 momentum operator, and where W is the Pauli–Lubanski pseudovector. The eigenvalues of these operators serve to label the representations. The first is associated with mass squared and the second with helicity or spin. The physically relevant representations may thus be classified according to whether
but or whether
with
Wigner found that massless particles are fundamentally different from massive particles. For the first case Note that the eigenspace (see generalized eigenspaces of unbounded operators) associated with is a representation of SO(3). In the ray interpretation, one can go over to Spin(3) instead. So, massive states are classified by an irreducible Spin(3) unitary representation that characterizes their spin, and a positive mass, m.
For the second case Look at the stabilizer of
This is the double cover of SE(2) (see projective representation). We have two cases, one where irreps are described by an integral multiple of called the helicity, and the other called the "continuous spin" representation. For the third case The only finite dimensional unitary solution is the trivial representation called the vacuum.
Теория проективных представлений
Физически, нас интересуют неприводимые проективные унитарные представления группы Понкаре. Ведь два вектора в квантовом гильбертовом пространстве, отличающиеся умножением на константу, представляют одно и то же физическое состояние. Следовательно, два унитарных оператора, отличающиеся кратным единичному оператору, действуют на физические состояния одинаково. Таким образом, унитарные операторы, представляющие симметрию Понкаре, определены с точностью до константы, и, следовательно, закон композиции группы должен выполняться с точностью до константы. Согласно теореме Баргмана, каждое проективное унитарное представление группы Понкаре происходит из обычного унитарного представления её универсальной накрывающей группы, которая является двойной накрывающей группой. (Теорема Баргмана применима, поскольку двойная накрывающая группа Понкаре не допускает нетривиальных одномерных центральных расширений.) Переход к двойной накрывающей группе важен, поскольку он позволяет учитывать случаи со спином, равным полуцелому числу. В случае положительной массы, например, малой группой является SU(2), а не SO(3); представления SU(2) включают в себя как целые, так и полуцелые спины. Поскольку общий критерий теоремы Баргмана был неизвестен во время классификации Вигнера, ему пришлось вручную (в §5 статьи) показать, что фазы в операторах можно выбрать таким образом, чтобы они отражали закон композиции в группе с точностью до знака, который затем учитывается переходом к двойной накрывающей группе Понкаре.