Кіріспе
Категорияның қасиеттері мен оның қарама-қарсысы арасындағы сәйкестік – математикадағы дуалдықтың жалпы ұғымдары. Категория теориясында, математиканың бір саласы, дуалдық – C категориясының қасиеттері мен оның қарама-қарсы категориясы Cop-тың дуалдық қасиеттері арасындағы сәйкестік. Егер C категориясы туралы бір мәлімдеме берілсе, әрбір морфизмнің бастапқы және соңғы нүктелерін ауыстыру арқылы, сондай-ақ екі морфизмді құрастыру ретін өзгерту арқылы, Cop қарама-қарсы категориясы үшін сәйкес дуалды мәлімдеме алынады. Осылайша, дуалдық – мәлімдемелерге осы операция қолданылғанда шындықтың өзгермейтіндігін көрсетеді. Яғни, егер C туралы мәлімдеме дұрыс болса, онда оның дуалы Cop туралы да дұрыс болады. Сол сияқты, егер C туралы мәлімдеме бұрыс болса, онда оның дуалы Cop туралы да бұрыс болуы керек. Нақты C категориясы берілгенде, оның қарама-қарсы категориясы Cop абстрактілі болуы мүмкін. Cop математикалық практикадан туындаған категория болуы міндетті емес. Мұндай жағдайда, егер D және Cop категориялары эквивалентті болса, D категориясы да C категориясымен дуалды деп есептеледі. Егер C және оның қарама-қарсысы Cop эквивалентті болса, онда мұндай категория өзіне-өзі дуалды болып табылады.
general notions of duality in mathematics
In category theory, a branch of mathematics, duality is a correspondence between the properties of a category C and the dual properties of the opposite category Cop. Given a statement regarding the category C, by interchanging the source and target of each morphism as well as interchanging the order of composing two morphisms, a corresponding dual statement is obtained regarding the opposite category Cop. Duality, as such, is the assertion that truth is invariant under this operation on statements. In other words, if a statement is true about C, then its dual statement is true about Cop. Also, if a statement is false about C, then its dual has to be false about Cop. Given a concrete category C, it is often the case that the opposite category Cop per se is abstract. Cop need not be a category that arises from mathematical practice. In this case, another category D is also termed to be in duality with C if D and Cop are equivalent as categories. In the case when C and its opposite Cop are equivalent, such a category is self dual.
Ресми анықтама
Біз категория теориясының элементар тілін екі реттелген бірінші реттік тіл ретінде, нысандар мен морфизмдер екі бөлек түр ретінде, нысанның морфизмнің бастапқы нүктесі немесе соңғы нүктесі болу қатынастарымен, сондай-ақ екі морфизмді біріктіру символымен анықтаймыз. σ осы тілдегі кез келген тұжырым болсын. Біз σ-ның дуалы σop-ын келесідей құраймыз: σ-дағы "бастапқы нүкте" сөзінің әр кездесуін "соңғы нүкте" сөзімен алмастырамыз. Морфизмдерді біріктіру ретін өзгертеміз. Яғни, әр кездесуін алмастырамыз. Бұл шарттар бұл мәлімдеменің дуалы жебелер мен біріктірулерді кері қайтару арқылы құралатынын көрсетеді. Дуальділік – σ C санаты үшін шын болса және тек сонда ғана σop Cop санаты үшін шын болады.
Interchange each occurrence of "source" in σ with "target". Interchange the order of composing morphisms. That is, replace each occurrence of with
Informally, these conditions state that the dual of a statement is formed by reversing arrows and compositions. Duality is the observation that σ is true for some category C if and only if σop is true for Cop.
Мысалдар
Морфизм мономорфизм болады, егер егер болса, онда . Екілік амалды қолдансақ, мына мәлімдемеге жетеміз: егер болса, онда . Морфизм үшін, бұл f эпиморфизм болуының нақты мағынасы. Қысқасы, мономорфизм болу қасиеті эпиморфизм болу қасиетіне екілік. Дuality қолданғанда, бұл C санатындағы морфизмнің мономорфизм екенін білдіреді, егер және тек қана қарама-қарсы санаттағы кері морфизм Cop эпиморфизм болса. Мысал ретінде, жартылай реттегі теңсіздіктердің бағытын кері аударуды қарастырайық. Егер X жиын болса және ≤ жартылай рет қатынасы болса, онда біз жаңа жартылай рет қатынасын ≤new арқылы анықтай аламыз, яғни x ≤new y егер және тек қана y ≤ x болса. Реттерге қатысты бұл мысал ерекше жағдай, себебі жартылай реттер Hom(A,B) ең көп дегенде бір элементке ие болатын нақты бір санатқа сәйкес келеді. Логикада қолданғанда, бұл терістеудің (яғни дәлелдер қарама-қарсы бағытта жүреді) өте жалпы сипаттамасы болып көрінеді. Мысалы, егер тордың қарама-қарсысын алсақ, онда қиылыстар мен біріктірулердің рөлдері ауысқандығын көреміз. Бұл Де Морган заңдарының немесе торларға қолданылатын дуалдықтың абстрактілі түрі. Шектер мен кошектер – екілік ұғымдар. Фибрациялар мен кофибрациялар алгебралық топология және гомотопия теориясындағы екілік ұғымдардың мысалы болып табылады. Осы контексте, дуалдылық көбінесе Экманн-Хилтон дуалдылығы деп аталады.
x ≤new y if and only if y ≤ x. This example on orders is a special case, since partial orders correspond to a certain kind of category in which Hom(A,B) can have at most one element. In applications to logic, this then looks like a very general description of negation (that is, proofs run in the opposite direction). For example, if we take the opposite of a lattice, we will find that meets and joins have their roles interchanged. This is an abstract form of De Morgan's laws, or of duality applied to lattices. Limits and colimits are dual notions. Fibrations and cofibrations are examples of dual notions in algebraic topology and homotopy theory. In this context, the duality is often called Eckmann–Hilton duality.