Введение

Соответствие между свойствами категории и ее противоположной, общие понятия дуальности в математике

В теории категорий, области математики, дуальность — это соответствие между свойствами категории C и двойственными свойствами ее противоположной категории Cop. Для любого утверждения относительно категории C, путем замены источника и цели каждого морфизма, а также изменения порядка композиции двух морфизмов, можно получить соответствующее двойственное утверждение относительно противоположной категории Cop. Дуальность, таким образом, является утверждением о том, что истинность утверждения не меняется при этой операции. Иными словами, если утверждение верно для C, то его двойственное утверждение верно для Cop. Аналогично, если утверждение ложно для C, то его двойственное утверждение должно быть ложным для Cop. Для конкретной категории C часто бывает, что противоположная категория Cop сама по себе является абстрактной и не обязательно возникает из математической практики. В этом случае другая категория D также называется дуальной к C, если D и Cop эквивалентны как категории. Если C и ее противоположная категория Cop эквивалентны, то такая категория называется самодуальной.

Формальное определение

Мы определяем элементарный язык теории категорий как двухсортный язык первого порядка, где сортами являются объекты и морфизмы, вместе с отношениями, указывающими, что объект является источником или целью морфизма, и символом для композиции двух морфизмов. Пусть σ – любое утверждение в этом языке. Мы формируем двойственное утверждение σop следующим образом: заменяем каждое вхождение слова "источник" в σ на "цель" и меняем порядок композиции морфизмов. То есть, заменяем каждое вхождение на . Неформально, эти условия означают, что двойственное утверждение формируется путем обращения направления стрелок и порядка композиции. Двойственность – это наблюдение, что σ истинно для некоторой категории C тогда и только тогда, когда σop истинно для категории Cop.

Примеры

Морфизм является мономорфизмом, если подразумевает . Выполняя двойственную операцию, мы получаем утверждение, что подразумевает . Для морфизма , это как раз то, что означает, чтобы f был эпиморфизмом. Короче говоря, свойство быть мономорфизмом двойственно свойству быть эпиморфизмом. Применяя двойственность, это означает, что морфизм в некоторой категории C является мономорфизмом тогда и только тогда, когда обратный морфизм в противоположной категории Cop является эпиморфизмом. Пример можно привести, рассматривая изменение направления неравенств в частичном порядке. Так что, если X – множество и ≤ – отношение частичного порядка, мы можем определить новое отношение частичного порядка ≤new следующим образом:

x ≤new y тогда и только тогда, когда y ≤ x. Этот пример с порядками является частным случаем, поскольку частичные порядки соответствуют определенному типу категории, в которой Hom(A,B) может содержать не более одного элемента. Применительно к логике, это выглядит как очень общее описание отрицания (то есть доказательства строятся в противоположном направлении). Например, если взять противоположную решетку, мы увидим, что операции meet и join меняют свои роли местами. Это абстрактная форма законов Де Моргана, или двойственность, примененная к решеткам. Пределы и копределы – двойственные понятия. Фибрации и кофибрации – примеры двойственных понятий в алгебраической топологии и теории гомотопий. В этом контексте двойственность часто называют двойственностью Экмана — Хилтона.