Санаттардағы копроиздіктер

Кіріспе

Категория теориясында копродукт немесе категориялық қосынды – жиындардың және топологиялық кеңістіктердің ажыратылған біріктірілісі, топтардың бос көбейтіндісі және модульдер мен векторлық кеңістіктердің тікелей қосындысы сияқты мысалдарды қамтитын құрылым. Объектілер отбасының копродуктісі – отбасыдағы әрбір объектіге морфизм болатын "ең бейтарап" объект. Бұл категориялық өнімге қатысты екіұшты ұғым, яғни анықтамасы өніммен бірдей, бірақ барлық бағытталған сызықтар кері қайрылады. Атау мен белгілеудегі осы көрінеу қарапайым өзгеріске қарамастан, копродукттер өнімдерден күрт өзгеше болуы мүмкін және көбінесе солай болады.

Мысалдар

Жинақтар санатындағы копродукт – жай ғана ажыратылған қосынды, мұндағы ij бейнелеулері кіріктіру бейнелеулері болып табылады. Тікелей көбейтінділерден айырмашылығы, басқа санаттардағы копродукттардың бәрі жинақтарға тікелей негізделмейді, себебі қосындылар операцияларды сақтау тұрғысынан жақсы қасиеттерге ие болмайды (мысалы, екі топтың қосындысы міндетті түрде топ бола бермейді), сондықтан әртүрлі санаттардағы копродукттар бір-бірінен айқын түрде ерекшеленуі мүмкін. Мысалы, топтар санатындағы копродукт, еркін көбейтінді деп аталады, және ол өте күрделі. Екінші жағынан, абельдік топтар санатында (сондай-ақ векторлық кеңістіктер үшін) тікелей қосынды деп аталатын копродукт, тікелей көбейтіндінің элементтерінен тұрады, мұнда тек шекті саны ғана нөлдік емес мүшелер бар. (Осылайша, ол шекті факторлар саны болған жағдайда тікелей көбейтіндімен толық сәйкес келеді.) Коммутативті R сақинасы берілгенде, коммутативті R алгебралар санатындағы копродукт – тензорлық көбейтінді болып табылады. (Коммутативті емес) R алгебралар санатында копродукт – тензорлық алгебраның бөлігі болып табылады (ассоциативтік алгебралардың еркін көбейтіндісіне қараңыз). Топологиялық кеңістіктер жағдайында копродукттар – олардың ажыратылған қосындылары, ажыратылған топологиясымен бірге. Яғни, бұл негізгі жинақтардың ажыратылған қосындысы, ал ашық жинақтар – кеңістіктердің әрқайсысында ашық жинақтар болып табылады, бұл айқын мағынада. Гомотопия теориясындағы маңызды рөл атқаратын нүктеленген кеңістіктер санатында копродукт – клиндік қосынды (бұл кеңістіктер жиынтығын ортақ нүктедегі базалық нүктелермен біріктіруге тең). Ажыратылған қосынды тұжырымы жоғарыдағы мысалдардың барлығына жасырын түрде негіз болады: абельдік топтардың тікелей қосындысы – «шамалы» ажыратылған қосынды (барлық нөлдік емес элементтердің ортақ нөлмен бірге ажыратылған қосындысы) арқылы туындайтын топ, сондай-ақ векторлық кеңістік үшін: «шамалы» ажыратылған қосынды қамтитын кеңістік; топтар үшін еркін көбейтінді ұқсас «шамалы» ажыратылған қосындыдан алынған барлық әріптер жиынтығымен құралады, мұнда әртүрлі жинақтардың екі элементінің ауысуына рұқсат етілмейді. Бұл үлгі универсалды алгебра мағынасындағы кез келген түр үшін орындалады. Қысқа бейнелеулері бар Банах кеңістіктерінің санатындағы копродукт – l^(1) қосындысы, оны «шамалы» ажыратылған қосынды ретінде оңай түсіндіруге болмайды, бірақ оның бірлік шарлары кофакторлар арқылы «шамалы» ажыратылған түрде туындайды. Реттелген жиын санатындағы копродукт – қосылу операциясы.

The coproduct in the category of sets is simply the disjoint union with the maps ij being the inclusion maps. Unlike direct products, coproducts in other categories are not all obviously based on the notion for sets, because unions don't behave well with respect to preserving operations (e. g. the union of two groups need not be a group), and so coproducts in different categories can be dramatically different from each other. For example, the coproduct in the category of groups, called the free product, is quite complicated. On the other hand, in the category of abelian groups (and equally for vector spaces), the coproduct, called the direct sum, consists of the elements of the direct product which have only finitely many nonzero terms. (It therefore coincides exactly with the direct product in the case of finitely many factors.) Given a commutative ring R, the coproduct in the category of commutative R algebras is the tensor product. In the category of (noncommutative) R algebras, the coproduct is a quotient of the tensor algebra (see free product of associative algebras). In the case of topological spaces, coproducts are disjoint unions with their disjoint union topologies. That is, it is a disjoint union of the underlying sets, and the open sets are sets open in each of the spaces, in a rather evident sense. In the category of pointed spaces, fundamental in homotopy theory, the coproduct is the wedge sum (which amounts to joining a collection of spaces with base points at a common base point). The concept of disjoint union secretly underlies the above examples: the direct sum of abelian groups is the group generated by the "almost" disjoint union (disjoint union of all nonzero elements, together with a common zero), similarly for vector spaces: the space spanned by the "almost" disjoint union; the free product for groups is generated by the set of all letters from a similar "almost disjoint" union where no two elements from different sets are allowed to commute. This pattern holds for any variety in the sense of universal algebra. The coproduct in the category of Banach spaces with short maps is the l^(1) sum, which cannot be so easily conceptualized as an "almost disjoint" sum, but does have a unit ball almost disjointly generated by the unit ball is the cofactors. The coproduct of a poset category is the join operation.