Кіріспе
Сыртқы алгебралық бейнелеу тензорларды p формаларынан n p формаларына жіберу. Математикада Ходж жұлдызы операторы немесе Ходж жұлдызы – шекті өлшемді бағытталған векторлық кеңістіктің сыртқы алгебрасында анықталған, дегенеративті емес симметриялық билинейлік формамен жабдықталған сызықтық бейнелеу. Операторды алгебраның бір элементіне қолдану нәтижесінде сол элементтің Ходж дуалы туындайды. Бұл бейнелеуді В.В.Д. Ходж енгізген. Мысалы, бағытталған 3 өлшемді Евклид кеңістігінде бағытталған жазықтықты екі базистік вектордың сыртқы көбейтіндісі арқылы көрсетуге болады, ал оның Ходж дуалы – олардың векторлық көбейтіндісімен берілген нормаль вектор; керісінше, кез келген вектор оған перпендикуляр бағытталған жазықтықтың дуалы болып табылады, оған тиісті бивектор беріледі. Бұл n өлшемді векторлық кеңістікке жалпыланғанда, Ходж жұлдызы k векторларды (n – k) векторларға бір-бірге бейнелейтін оператор болып табылады; осы кеңістіктердің өлшемдері биномдық коэффициенттерге тең. Жұлдыз операторының табиғилығы оның дифференциалдық геометриядағы рөлін көрсетеді, оны псевдо-Римандық көптіліктің котангенттік шоғына қолданғанда, демек, дифференциалдық k формаларына қолдануға болады. Бұл сыртқы туындының Ходж-адъюнктысы ретінде коддифференциалды анықтауға мүмкіндік береді, соның нәтижесінде Лаплас-де Рам операторы пайда болады. Бұл 3 өлшемді Евклид кеңістігінің жағдайын жалпылайды, онда векторлық өрістің дивергенциясын градиент операторына қарама-қарсы коддифференциал ретінде жүзеге асыруға болады, ал функциядағы Лаплас операторы оның градиентінің дивергенциясы болып табылады. Маңызды қолданыс – жабық Риманн көптілігіндегі дифференциалдық формалардың Ходж ыдырауы.
In mathematics, the Hodge star operator or Hodge star is a linear map defined on the exterior algebra of a finite dimensional oriented vector space endowed with a nondegenerate symmetric bilinear form. Applying the operator to an element of the algebra produces the Hodge dual of the element. This map was introduced by W. V. D. Hodge. For example, in an oriented 3 dimensional Euclidean space, an oriented plane can be represented by the exterior product of two basis vectors, and its Hodge dual is the normal vector given by their cross product; conversely, any vector is dual to the oriented plane perpendicular to it, endowed with a suitable bivector. Generalizing this to an n dimensional vector space, the Hodge star is a one to one mapping of k vectors to (n – k) vectors; the dimensions of these spaces are the binomial coefficients
The naturalness of the star operator means it can play a role in differential geometry, when applied to the cotangent bundle of a pseudo Riemannian manifold, and hence to differential k forms. This allows the definition of the codifferential as the Hodge adjoint of the exterior derivative, leading to the Laplace–de Rham operator. This generalizes the case of 3 dimensional Euclidean space, in which divergence of a vector field may be realized as the codifferential opposite to the gradient operator, and the Laplace operator on a function is the divergence of its gradient. An important application is the Hodge decomposition of differential forms on a closed Riemannian manifold.
Конформальды инварианттылық
Ходж жұлдызы 2n өлшемді V векторлық кеңістігіндегі n-формалар бойынша конформды инвариантты, яғни егер -де метрика болса және , онда туындаған Ходж жұлдыздары бірдей болады.
are the same.
Манифельдтерде
n өлшемді бағдарланған псевдо-Римандық көпқырлы M үшін, жоғарыдағы құрылымды әр котангенттік кеңістікке және оның сыртқы қуаттарына, содан кейін дифференциалдық k формаларына, топтаманың жаһандық қималарына қолданамыз. Риман метрикасы әр нүктеде ішкі көбейтіндіні тудырады. Біз k формасының Ходж дуалын анықтаймыз, оны кез келген k формасы үшін қанағаттандыратын бірегей (n – k) форма ретінде анықтаймыз, мұнда – нақты мәнді функция, ал көлем формасы Риман метрикасымен шақырылады. Бұл теңдеуді M бойынша интегралдау арқылы оң жағы k формаларындағы (квадратқа интегралданатын) ішкі көбейтіндіге айналады және біз келесіні аламыз:
for every k form , where is a real valued function on , and the volume form is induced by the Riemannian metric. Integrating this equation over , the right side becomes the (square integrable) inner product on k forms, and we obtain:
More generally, if is non orientable, one can define the Hodge star of a k form as a (n – k) pseudo differential form; that is, a differential form with values in the canonical line bundle.
Жалпырақ, егер M бағытталмаса, k формасының Ходж жұлдызын (n – k) псевдодифференциалдық форма ретінде анықтауға болады; яғни, канондық түзу шоғындағы мәндері бар дифференциалдық форма.
for every k form , where is a real valued function on , and the volume form is induced by the Riemannian metric. Integrating this equation over , the right side becomes the (square integrable) inner product on k forms, and we obtain:
More generally, if is non orientable, one can define the Hodge star of a k form as a (n – k) pseudo differential form; that is, a differential form with values in the canonical line bundle.