Введение
Внешнее алгебраическое отображение, переводящее тензоры из p-форм в n p-формы.
В математике оператор звезды Ходжа, или звезда Ходжа, — это линейное отображение, определенное на внешней алгебре ориентированного векторного пространства конечной размерности, наделенного вырожденной симметричной билинейной формой. Применение оператора к элементу алгебры дает двойственный к этому элементу по Ходжу. Это отображение было введено У. В. Д. Ходжем. Например, в ориентированном трехмерном евклидовом пространстве ориентированная плоскость может быть представлена внешним произведением двух базисных векторов, а ее двойственная по Ходжу — нормальным вектором, задаваемым их векторным произведением; обратно, любой вектор двойственен ориентированной плоскости, перпендикулярной ему, снабженной подходящим бивектором. Обобщая это на n-мерное векторное пространство, звезда Ходжа является взаимно однозначным отображением из k-векторов в (n – k)-векторы; размерности этих пространств задаются биномиальными коэффициентами. Естественность оператора звезды означает, что он может играть роль в дифференциальной геометрии при применении к кокасательному расслоению псевдориманова многообразия и, следовательно, к дифференциальным k-формам. Это позволяет определить кодифференциал как сопряженный оператор звезды Ходжа к внешней производной, что приводит к оператору Лапласа — де Рама. Это обобщает случай трехмерного евклидова пространства, в котором дивергенция векторного поля может быть представлена как кодифференциал, противоположный оператору градиента, а оператор Лапласа, действующий на функцию, является дивергенцией ее градиента. Важным применением является разложение Ходжа дифференциальных форм на замкнутом римановом многообразии.
In mathematics, the Hodge star operator or Hodge star is a linear map defined on the exterior algebra of a finite dimensional oriented vector space endowed with a nondegenerate symmetric bilinear form. Applying the operator to an element of the algebra produces the Hodge dual of the element. This map was introduced by W. V. D. Hodge. For example, in an oriented 3 dimensional Euclidean space, an oriented plane can be represented by the exterior product of two basis vectors, and its Hodge dual is the normal vector given by their cross product; conversely, any vector is dual to the oriented plane perpendicular to it, endowed with a suitable bivector. Generalizing this to an n dimensional vector space, the Hodge star is a one to one mapping of k vectors to (n – k) vectors; the dimensions of these spaces are the binomial coefficients
The naturalness of the star operator means it can play a role in differential geometry, when applied to the cotangent bundle of a pseudo Riemannian manifold, and hence to differential k forms. This allows the definition of the codifferential as the Hodge adjoint of the exterior derivative, leading to the Laplace–de Rham operator. This generalizes the case of 3 dimensional Euclidean space, in which divergence of a vector field may be realized as the codifferential opposite to the gradient operator, and the Laplace operator on a function is the divergence of its gradient. An important application is the Hodge decomposition of differential forms on a closed Riemannian manifold.
Конформная инвариантность
Звезда Ходжа является конформно инвариантной относительно n-форм на 2n-мерном векторном пространстве V, то есть, если g — метрика на V, а φ — конформное преобразование, то индуцированные звезды Ходжа совпадают.
are the same.
На коллекторах
Для n-мерного ориентированного псевдориманова многообразия M мы применяем вышеуказанную конструкцию к каждому котангентному пространству и его внешним степеням, и, следовательно, к дифференциальным k-формам, глобальным сечениям расслоения. Риманова метрика индуцирует внутреннее произведение на в каждой точке. Мы определяем двойственное преобразование Ходжа для k-формы, определяя как единственную (n – k)-форму, удовлетворяющую
для любой k-формы , где – функция, принимающая действительные значения на , а форма объема индуцируется римановой метрикой. Интегрируя это уравнение по , правая часть становится (квадратично интегрируемым) внутренним произведением на k-формах, и мы получаем:
В более общем случае, если M не ориентируемо, можно определить звезду Ходжа для k-формы как (n – k)-псевдодифференциальную форму, то есть дифференциальную форму со значениями в каноническом линейном расслоении.