Хиральды токтардың сақталмауы және физикадағы аномалиялар

Кіріспе

Физикадағы хиральдық токтың сақталмауы Теориялық физикада хиральдық аномалия – хиральдық токтың қалыпты сақталмауы. Жай тілмен айтқанда, бұл сол және оң бұрандалардың саны тең болған, бірақ ашылғанда оңға қарағанда солға көбірек немесе керісінше табылатын жабық қорапқа тең. Мұндай құбылыстар классикалық сақталу заңдары бойынша тыйым салынған болуы керек, бірақ олардың бұзылуына мүмкіндік бар екені белгілі, себебі бізде зарядтық жұптылықтың сақталмауының ("CP бұзылуы") дәлелі бар. Мүмкін, басқа да теңгерімсіздіктер осы сияқты хиральдық заңды бұзу нәтижесінде туындаған болуы мүмкін. Көптеген физиктер байқалатын ғаламшарда антиматерияға қарағанда материяның көп болуы хиральдық аномалияға байланысты деп санайды. Хиральдық симметрияны бұзу заңдарын зерттеу қазіргі кезде бөлшектер физикасы саласындағы маңызды зерттеулердің бірі болып табылады.

Бейресми таныстыру

Хиральды аномалия бастапқыда бейтарап пионның аномальды ыдырау жылдамдығын сипаттады, бұл хиральды модельдің қазіргі алгебрасында есептелді. Бұл есептеулер пионның ыдырауының тежелуін көрсетті, бұл эксперименттік нәтижелерге тікелей қайшы келді. Аномальды есептеулердің мәнін алғаш рет 1969 жылы Стивен Л. Адлер, Джон Стюарт Белл және Роман Жакки түсіндірді. Қазір бұл кванттық электродинамиканың Адлер-Белл-Жакви аномалиясы деп аталады. Бұл классикалық электродинамиканың кванттық түзетулер салдарынан бұзылатын симметриясы. Адлер-Белл-Жакви аномалиясы мынадай жолмен туындайды. Егер классикалық (кванттық емес) электромагнетизм теориясын массасыз фермиондармен (электр заряды бар Дирак спиноры, Дирак теңдеуін шешеді) байланыстырса, онда бір ғана емес, екі сақталатын ток күтіледі: Дирак өрісімен сипатталатын қарапайым электр тогы (вектор тогы), сондай-ақ осьтік ток. Классикалық теориядан кванттық теорияға көшкенде, осы токтарға кванттық түзетулерді есептеуге болады; бірінші ретте бұл бір циклдық Фейнман диаграммалары. Бұл диаграммалар әйгілі түрде дивергентті, сондықтан қайта нормаландырылған амплитудаларды алу үшін реттеу қажет. Реттеудің мағыналы, үйлесімді және дәйекті болуы үшін реттелген диаграммалар нөлдік циклдің (классикалық) амплитудаларымен салыстырылатын симметрияларды сақтауы керек. Бұл вектор тогы үшін орындалады, бірақ осьтік ток үшін емес: оны осьтік симметрияны сақтайтын етіп реттеу мүмкін емес. Классикалық электродинамиканың осьтік симметриясы кванттық түзетулер арқылы бұзылады. Формальды түрде, кванттық теорияның Уорд-Такахаши тождестемелері электромагниттік өрістің калибрлік симметриясынан туындайды; осьтік токқа сәйкес тождестемелер бұзылады. Адлер-Белл-Жакви аномалиясы физикада зерттелген кезде, дифференциалдық геометрияда да осыған ұқсас дамулар болды, олар бірдей өрнектерді қамтыды. Бұл кванттық түзетулермен байланысты емес, керісінше, талшықтық бундельдердің жаһандық құрылымын, әсіресе, төрт және үш өлшемде электромагниттік тензорға ұқсас қисықтық формалары бар спин құрылымдардағы Дирак операторларын (Черн-Симонс теориясы) зерттеу болды. Көптеген талқылаулардан кейін, аномалияның құрылымын тривиальды емес гомотопиялық топтары бар бундельдермен немесе, физика тілімен айтқанда, инстантондар арқылы сипаттауға болатыны анық болды. Инстантондар – топологиялық солитонның бір түрі; олар классикалық өріс теориясының шешімі, тұрақты және ыдырамайтын қасиетке ие (мысалы, жазық толқындарға). Басқаша айтқанда: дәстүрлі өріс теориясы вакуум идеясына негізделген – шамамен айтқанда, жазық, бос кеңістік. Классикалық түрде бұл «тривиальды» шешім; барлық өрістер нөлге тең. Алайда, (классикалық) өрістерді де тривиальды емес жаһандық конфигурацияға ие болу үшін реттеуге болады. Бұл тривиальды емес конфигурациялар да вакуумға, бос кеңістікке үміткер; бірақ олар енді жазық немесе тривиальды емес; олар бұрылысқа, инстантонға ие. Кванттық теория осы конфигурациялармен өзара әрекеттесе алады; ол солай істегенде, ол хиральды аномалия ретінде көрінеді. Математикада тривиальды емес конфигурациялар Дирак операторларын зерттеу кезінде, олардың толыққанды жалпыланған күйінде, атап айтқанда, кез келген өлшемдегі Римандық көптүрліліктерде кездеседі. Математикалық міндеттерге құрылымдар мен конфигурацияларды табу және жіктеу кіреді. Белгілі нәтижелерге Дирак операторлары үшін Атиях-Сингер индекс теоремасы жатады. Шамамен айтқанда, Минковски кеңістік-уақытының симметриялары, Лоренц инварианттылығы, Лапласиандар, Дирак операторлары және U(1)xSU(2)xSU(3) талшықтық бундельдерін дифференциалдық геометриядағы әлдеқайда жалпы жағдайдың ерекше жағдайы ретінде қарастыруға болады; әртүрлі мүмкіндіктерді зерттеу, мысалы, сап теориясы сияқты теориялардағы қызығушылықтың көп бөлігін құрайды; мүмкіндіктердің мол болуы, алға басудың жоқтығы туралы белгілі бір түсінікті білдіреді. Адлер-Белл-Жакви аномалиясы эксперименттік түрде байқалады, себебі ол бейтарап пионның ыдырауын, атап айтқанда, бейтарап пионның екі фотонға ыдырауының енін сипаттайды. Бейтарап пионның өзі 1940 жылдары ашылды; оның ыдырау жылдамдығын (ені) 1949 жылы Дж. Штайнбергер дұрыс бағалады. Аксиалды ток аномальды дивергенциясының дұрыс түрі 1951 жылы Швингер электромагнетизм мен массасыз фермиондардың 2D моделінде алды. Нейтралды пионның ыдырауы хиральды модельдің қазіргі алгебралық талдауында тежеледі деп Сазерленд пен Велтман 1967 жылы анықтады. Бұл аномальды нәтиженің талдауы мен шешімі Адлермен берілді.

The chiral anomaly originally referred to the anomalous decay rate of the neutral pion, as computed in the current algebra of the chiral model. These calculations suggested that the decay of the pion was suppressed, clearly contradicting experimental results. The nature of the anomalous calculations was first explained in 1969 by Stephen L. Adler and John Stewart Bell & Roman Jackiw. This is now termed the Adler–Bell–Jackiw anomaly of quantum electrodynamics. This is a symmetry of classical electrodynamics that is violated by quantum corrections. The Adler–Bell–Jackiw anomaly arises in the following way. If one considers the classical (non quantized) theory of electromagnetism coupled to massless fermions (electrically charged Dirac spinors solving the Dirac equation), one expects to have not just one but two conserved currents: the ordinary electrical current (the vector current), described by the Dirac field as well as an axial current When moving from the classical theory to the quantum theory, one may compute the quantum corrections to these currents; to first order, these are the one loop Feynman diagrams. These are famously divergent, and require a regularization to be applied, to obtain the renormalized amplitudes. In order for the renormalization to be meaningful, coherent and consistent, the regularized diagrams must obey the same symmetries as the zero loop (classical) amplitudes. This is the case for the vector current, but not the axial current: it cannot be regularized in such a way as to preserve the axial symmetry. The axial symmetry of classical electrodynamics is broken by quantum corrections. Formally, the Ward–Takahashi identities of the quantum theory follow from the gauge symmetry of the electromagnetic field; the corresponding identities for the axial current are broken. At the time that the Adler–Bell–Jackiw anomaly was being explored in physics, there were related developments in differential geometry that appeared to involve the same kinds of expressions. These were not in any way related to quantum corrections of any sort, but rather were the exploration of the global structure of fiber bundles, and specifically, of the Dirac operators on spin structures having curvature forms resembling that of the electromagnetic tensor, both in four and three dimensions (the Chern–Simons theory). After considerable back and forth, it became clear that the structure of the anomaly could be described with bundles with a non trivial homotopy group, or, in physics lingo, in terms of instantons. Instantons are a form of topological soliton; they are a solution to the classical field theory, having the property that they are stable and cannot decay (into plane waves, for example). Put differently: conventional field theory is built on the idea of a vacuum – roughly speaking, a flat empty space. Classically, this is the "trivial" solution; all fields vanish. However, one can also arrange the (classical) fields in such a way that they have a non trivial global configuration. These non trivial configurations are also candidates for the vacuum, for empty space; yet they are no longer flat or trivial; they contain a twist, the instanton. The quantum theory is able to interact with these configurations; when it does so, it manifests as the chiral anomaly. In mathematics, non trivial configurations are found during the study of Dirac operators in their fully generalized setting, namely, on Riemannian manifolds in arbitrary dimensions. Mathematical tasks include finding and classifying structures and configurations. Famous results include the Atiyah–Singer index theorem for Dirac operators. Roughly speaking, the symmetries of Minkowski spacetime, Lorentz invariance, Laplacians, Dirac operators and the U(1)xSU(2)xSU(3) fiber bundles can be taken to be a special case of a far more general setting in differential geometry; the exploration of the various possibilities accounts for much of the excitement in theories such as string theory; the richness of possibilities accounts for a certain perception of lack of progress. The Adler–Bell–Jackiw anomaly is seen experimentally, in the sense that it describes the decay of the neutral pion, and specifically, the width of the decay of the neutral pion into two photons. The neutral pion itself was discovered in the 1940s; its decay rate (width) was correctly estimated by J. Steinberger in 1949. The correct form of the anomalous divergence of the axial current is obtained by Schwinger in 1951 in a 2D model of electromagnetism and massless fermions. That the decay of the neutral pion is suppressed in the current algebra analysis of the chiral model is obtained by Sutherland and Veltman in 1967. An analysis and resolution of this anomalous result is provided by Adler

Пионның кварк моделі оның кварк пен антикварктан тұратын байланыс күйі екенін көрсетеді. Алайда, парлық және бұрыштық импульс сияқты кванттық сандар, сақталатыны болжанады, пионның ыдырауын тыйымдайды, кемінде, нөлдік циклдық есептеулерде (жарайды, амплитудалар нөлге тең). Егер кварктардың массасы болса, массасыз емес, онда парлықты бұзатын ыдырауға рұхсат етіледі; алайда, ол дұрыс мөлшерде емес. (Парлық массалы спиноры үшін қозғалыс тұрақтысы емес; олар таралу кезінде қолдарын өзгертеді, сондықтан массаның өзі парлық симметрияны бұзатын мүше болып табылады. Массаның үлесі Сазерленд пен Велтман нәтижесімен берілді; ол «PCAC», жартылай сақталатын осьтік ток деп аталады.) Адлер-Белл-Жакви талдауы 1969 жылы (сондай-ақ Штайнбергер мен Швингердің бұрынғы түрлері) бейтарап пион үшін дұрыс ыдырау енін береді. Пионның ыдырауын түсіндіруден басқа, оның екінші өте маңызды рөлі бар. Бір циклдық амплитудада циклде айнала алатын барлық лептондардың жалпы санын есептейтін фактор бар. Дұрыс ыдырау енін алу үшін дәл үш кварк ұрпағы болуы керек, төрт немесе одан көп емес. Осылайша, ол Стандартты модельді шектеуде маңызды рөл атқарады. Ол табиғатта болуы мүмкін кварктардың санын тікелей физикалық болжам береді. Қазіргі зерттеулер электрослақ теориясының тривиальды емес топологиялық конфигурацияларындағы ұқсас құбылыстарға, яғни сфалеронға бағытталған. Басқа қолданыстарда GUT және басқа теориялардағы бариондық санды сақтамау гипотетикалық жағдайлары бар.

Есептеу

Хиральды аномалияны бір циклді Фейнман диаграммалары арқылы, мысалы, Штайнбергердің "үшбұрышты диаграммасы" арқылы дәл есептеуге болады, бұл пионның ыдырауына әсер етеді. Осы процестің амплитудасы хиральды түрлендіру кезінде фермиондық өрістердің өлшемінің өзгеруінен тікелей есептелуі мүмкін. Весс пен Зумино өлшегіш түрлендірулердегі бөлшек функциясының қалай болу керектігін анықтайтын Wess–Zumino консистенттік шартын жасады. Фудзикава бұл аномалияны функционалдық детерминанттар мен бөлшек функциясы арасындағы сәйкестік арқылы, Atiyah–Singer индекс теоремасын пайдаланып шығарды. Фудзикава әдісіне жүгініңіз.