Нарушение хиральной симметрии в физике высоких энергий.

Введение

Неконсервация хирального тока в физике
В теоретической физике хиральная аномалия — это аномальное несоблюдение закона сохранения хирального тока. Проще говоря, это можно представить как запечатанную коробку, содержащую равное количество винтов с левой и правой резьбой, но при открытии оказывается, что винтов с левой резьбой больше, чем с правой, или наоборот. Такие события, согласно классическим законам сохранения, не должны происходить, однако известно, что существуют механизмы, позволяющие эти законы нарушать, поскольку у нас есть свидетельства нарушения CPT-инвариантности (нарушение CP). Возможно, другие дисбалансы также вызваны нарушением подобного хирального закона. Многие физики полагают, что преобладание материи над антиматерией во наблюдаемой Вселенной обусловлено именно хиральной аномалией. Исследование механизмов нарушения хиральной симметрии является одним из важнейших направлений в современной физике элементарных частиц.

Неофициальное введение

Хиральная аномалия первоначально относилась к аномальной скорости распада нейтрального пиона, как вычислено в текущей алгебре хиральной модели. Эти вычисления показали, что распад пиона подавлен, что явно противоречит экспериментальным результатам. Природа аномальных вычислений была впервые объяснена в 1969 году Стивеном Л. Адлером, Джоном Стюартом Беллом и Романом Джекивом. Это теперь называется аномалией Адлера — Белла — Джекива квантовой электродинамики. Это симметрия классической электродинамики, нарушаемая квантовыми коррекциями. Аномалия Адлера — Белла — Джекива возникает следующим образом. Если рассматривать классическую (не квантованную) теорию электромагнетизма, сопряженную с безмассовыми фермионами (электрически заряженными спинорами Дирака, удовлетворяющими уравнению Дирака), то ожидается наличие не одного, а двух сохраняющихся токов: обычного электрического тока (векторного тока), описываемого полем Дирака, а также осевого тока. При переходе от классической теории к квантовой теории можно вычислить квантовые коррекции к этим токам; в первом порядке это однопетлевые диаграммы Фейнмана. Они хорошо известны своей расходимостью и требуют применения регуляризации для получения перенормированных амплитуд. Чтобы регуляризация была осмысленной, непротиворечивой и согласованной, регуляризованные диаграммы должны подчиняться тем же симметриям, что и амплитуды нулевого порядка (классические). Это справедливо для векторного тока, но не для осевого: его нельзя регуляризовать таким образом, чтобы сохранить осевую симметрию. Осевая симметрия классической электродинамики нарушается квантовыми коррекциями. Формально, тождества Уорда — Такахаси квантовой теории следуют из калибровочной симметрии электромагнитного поля; соответствующие тождества для осевого тока нарушены. В то время, когда аномалия Адлера — Белла — Джекива изучалась в физике, параллельно развивались исследования в дифференциальной геометрии, которые, казалось, включали те же выражения. Они никак не были связаны с квантовыми коррекциями, а скорее представляли собой исследование глобальной структуры расслоенных пространств и, в частности, операторов Дирака на спиновых структурах с формами кривизны, напоминающими форму электромагнитного тензора, как в четырех, так и в трех измерениях (теория Черна — Саймонса). После значительных обсуждений стало ясно, что структуру аномалии можно описать с помощью расслоений с нетривиальной гомотопической группой или, на физическом языке, в терминах инстантонов. Инстантоны — это форма топологического солитона; они являются решением классической теории поля, обладающим свойством стабильности и неспособностью к распаду (например, на плоские волны). Иными словами: традиционная теория поля строится на идее вакуума — грубо говоря, плоского пустого пространства. Классически это «тривиальное» решение; все поля равны нулю. Однако можно упорядочить (классические) поля таким образом, чтобы они имели нетривиальную глобальную конфигурацию. Эти нетривиальные конфигурации также являются кандидатами на роль вакуума, пустого пространства; однако они больше не плоские или тривиальные; они содержат скручивание, инстантон. Квантовая теория способна взаимодействовать с этими конфигурациями; когда это происходит, это проявляется как хиральная аномалия. В математике нетривиальные конфигурации обнаруживаются при изучении операторов Дирака в их полностью обобщенном контексте, а именно на римановых многообразиях в произвольных измерениях. Математические задачи включают поиск и классификацию структур и конфигураций. Известные результаты включают теорему Атия — Сингера об индексе для операторов Дирака. Грубо говоря, симметрии пространства-времени Минковского, инвариантность Лоренца, лапласианы, операторы Дирака и расслоенные пространства U(1) × SU(2) × SU(3) можно рассматривать как частный случай гораздо более общей структуры в дифференциальной геометрии; исследование различных возможностей объясняет значительную часть энтузиазма в теориях, таких как теория струн; богатство возможностей объясняет определенное ощущение отсутствия прогресса. Аномалия Адлера — Белла — Джекива наблюдается экспериментально, поскольку она описывает распад нейтрального пиона и, в частности, ширину распада нейтрального пиона на два фотона. Сам нейтральный пион был открыт в 1940-х годах; его скорость распада (ширина) была правильно оценена Дж. Штей...

The chiral anomaly originally referred to the anomalous decay rate of the neutral pion, as computed in the current algebra of the chiral model. These calculations suggested that the decay of the pion was suppressed, clearly contradicting experimental results. The nature of the anomalous calculations was first explained in 1969 by Stephen L. Adler and John Stewart Bell & Roman Jackiw. This is now termed the Adler–Bell–Jackiw anomaly of quantum electrodynamics. This is a symmetry of classical electrodynamics that is violated by quantum corrections. The Adler–Bell–Jackiw anomaly arises in the following way. If one considers the classical (non quantized) theory of electromagnetism coupled to massless fermions (electrically charged Dirac spinors solving the Dirac equation), one expects to have not just one but two conserved currents: the ordinary electrical current (the vector current), described by the Dirac field as well as an axial current When moving from the classical theory to the quantum theory, one may compute the quantum corrections to these currents; to first order, these are the one loop Feynman diagrams. These are famously divergent, and require a regularization to be applied, to obtain the renormalized amplitudes. In order for the renormalization to be meaningful, coherent and consistent, the regularized diagrams must obey the same symmetries as the zero loop (classical) amplitudes. This is the case for the vector current, but not the axial current: it cannot be regularized in such a way as to preserve the axial symmetry. The axial symmetry of classical electrodynamics is broken by quantum corrections. Formally, the Ward–Takahashi identities of the quantum theory follow from the gauge symmetry of the electromagnetic field; the corresponding identities for the axial current are broken. At the time that the Adler–Bell–Jackiw anomaly was being explored in physics, there were related developments in differential geometry that appeared to involve the same kinds of expressions. These were not in any way related to quantum corrections of any sort, but rather were the exploration of the global structure of fiber bundles, and specifically, of the Dirac operators on spin structures having curvature forms resembling that of the electromagnetic tensor, both in four and three dimensions (the Chern–Simons theory). After considerable back and forth, it became clear that the structure of the anomaly could be described with bundles with a non trivial homotopy group, or, in physics lingo, in terms of instantons. Instantons are a form of topological soliton; they are a solution to the classical field theory, having the property that they are stable and cannot decay (into plane waves, for example). Put differently: conventional field theory is built on the idea of a vacuum – roughly speaking, a flat empty space. Classically, this is the "trivial" solution; all fields vanish. However, one can also arrange the (classical) fields in such a way that they have a non trivial global configuration. These non trivial configurations are also candidates for the vacuum, for empty space; yet they are no longer flat or trivial; they contain a twist, the instanton. The quantum theory is able to interact with these configurations; when it does so, it manifests as the chiral anomaly. In mathematics, non trivial configurations are found during the study of Dirac operators in their fully generalized setting, namely, on Riemannian manifolds in arbitrary dimensions. Mathematical tasks include finding and classifying structures and configurations. Famous results include the Atiyah–Singer index theorem for Dirac operators. Roughly speaking, the symmetries of Minkowski spacetime, Lorentz invariance, Laplacians, Dirac operators and the U(1)xSU(2)xSU(3) fiber bundles can be taken to be a special case of a far more general setting in differential geometry; the exploration of the various possibilities accounts for much of the excitement in theories such as string theory; the richness of possibilities accounts for a certain perception of lack of progress. The Adler–Bell–Jackiw anomaly is seen experimentally, in the sense that it describes the decay of the neutral pion, and specifically, the width of the decay of the neutral pion into two photons. The neutral pion itself was discovered in the 1940s; its decay rate (width) was correctly estimated by J. Steinberger in 1949. The correct form of the anomalous divergence of the axial current is obtained by Schwinger in 1951 in a 2D model of electromagnetism and massless fermions. That the decay of the neutral pion is suppressed in the current algebra analysis of the chiral model is obtained by Sutherland and Veltman in 1967. An analysis and resolution of this anomalous result is provided by Adler

Кварковая модель пиона указывает на то, что он является связанным состоянием кварка и антикварка. Однако квантовые числа, включая четность и угловой момент, которые считаются сохраняющимися, запрещают распад пиона, по крайней мере, в вычислениях нулевого порядка (просто амплитуды равны нулю). Если предположить, что кварки массивные, а не безмассовые, то разрешен распад, нарушающий хиральность; однако его величина не соответствует наблюдаемой. (Хиральность не является постоянной величиной движения для массивных спиноров; они будут менять свою хиральность по мере распространения, и, следовательно, масса сама по себе является членом, нарушающим хиральную симметрию. Вклад массы задается результатом Сатерленда и Велтмана; он называется «PCAC», частично сохраняющимся осевым током.) Анализ Адлера — Белла — Джекива, представленный в 1969 году (а также более ранние работы Штейинбергера и Швингера), действительно дает правильную ширину распада нейтрального пиона. Помимо объяснения распада пиона, он играет вторую очень важную роль. Амплитуда в одном цикле включает в себя фактор, который подсчитывает общее количество лептонов, которые могут циркулировать в петле. Чтобы получить правильную ширину распада, необходимо ровно три поколения кварков, а не четыре или более. Таким образом, он играет важную роль в ограничении Стандартной модели. Он предоставляет прямое физическое предсказание о количестве кварков, которые могут существовать в природе. Современные исследования сосредоточены на аналогичных явлениях в различных условиях, включая нетривиальные топологические конфигурации электрослабой теории, то есть сфалероны. Другие приложения включают гипотетическое ненарушение барионного числа в GUT и других теориях.

Расчет

Хиральная аномалия может быть точно рассчитана с помощью однопетлевых диаграмм Фейнмана, например, "треугольной диаграммы" Штайнбергера, вносящей вклад в распады пионов. Амплитуду для этого процесса можно рассчитать непосредственно из изменения меры фермионных полей при хиральном преобразовании. Весс и Зумино разработали набор условий, определяющих поведение функционала распределения при калибровочных преобразованиях, которые называются условием согласованности Весса — Зумино. Фудзикава вывел эту аномалию, используя соответствие между функциональными определителями и функционалом распределения, опираясь на теорему об индексе Атия — Сингера. См. метод Фудзикавы.